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16 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreCorrespondance de GaloisDéfinition 2.27. Soient K un corps, L une extension de K et Gal(L/K) le groupe deGalois. On note M l’ensemble des corps intermédiaires de l’extension, c’est à dire l’ensembledes corps M tels que K ⊆ M ⊆ L et G l’ensemble des sous groupes de Gal(L/K).Pour tout H ∈ G, on appelle invariant de H dans L, l’ensemble :Inv L (H) := {x ∈ L / forallσ ∈ H, σ(x) = x}Théorème 2.28 (Correspondance de Galois). Soit M une extension galoisienne de degréfini de K. Pour tout sous-groupe G de Gal(L/K), on note φ(G) le corps des invariants deG dans M. Alors φ est une bijection de l’ensemble H des sous-groupes de Gal(M/K) surl’ensemble des sous-corps de M contenant K. Le groupe G est le groupe de Galois de Msur φ(G). On a dim φ(G) = card(G) et (Gal(M/K) : G) = [φ(G) : K].Soit E l’ensemble des corps intermédiaires de l’extension et H l’ensemble des sousgroupesde Gal(M/K). L’application φ : H → E est décroissante lorsque E et H sontordonnés par inclusion.Soient K un corps, M une extension galoisienne de degré fini de K. Soit E un corpsintermédiaire. Si E est une extension galoisienne finie de K, alors Gal(E/K) est isomorpheau groupe quotient Gal(M/K)/Gal(M/E).[Cal06, p110][Tau07, p157,p161][Goz97, p133]Extensions galoisiennesDéfinition 2.29. On dit qu’une extension de corps L est galoisienne sur K si(i) L est algébrique sur K ;(ii) K = Inv L (Gal(L/K)).Théorème 2.30. L est une extension galoisienne de K si et seulement si L est normaleet séparable sur K. De plus, si L est de degré fini, on a |Gal(L/K)| = [L/K].Lemme 2.31. Soit ξ une racine primitive m-ième de l’unité. Posons S = {ξ}. Soit Mune extension galoisienne finie de K. Alors, l’extension M(S) de K(S) est galoisienne. Deplus, le groupe Gal(M(S)/K(S)) est isomorphe à un sous-groupe de Gal(M/K).Démonstration. [Tau07, p181] Posons Q ∈ K[X] \ K définit par Q(X) = X m − 1. Q estdonc séparable.Soit M une extension galoisienne finie de K.Proposition 2.32. Soit M une extension finie de K. L’extension M de K est galoisiennesi et seulement s’il existe P ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que M soit un corps dedécomposition de P sur K.