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170 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderIl y a 5 façons de les construire mais on doit ne pas comptabiliser certains motifs (déjàtraités) à savoir :BBBB : ensemble videRRRR : ensemble des 12 notesBRBR et RBRB qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsAlors il y a( 40)+( ( ( ( 4 4 4 4+ + +1)2)3)4)−4 = 1+4+ 4! + 4! +1−4 = 2+6+4 = 12(2!2!) (3!1!)cadres tonals avec exactement 4 transposés car on a supprimé les cas divisibles.– Motifs à 6 éléments.Comme pour le motif à 4 éléments, on doit supprimer certains cas :BBBBBB : ensemble videRRRRRR : ensemble des 12 notesRBRBRB et BRBRBR qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsRBBRBB, BRRBRR, RBRRBR, BRBBRB, RRBRRB, BBRBBR qui sont divisiblesen motifs à 3 éléments ( 6On a donc +0)( 61)+( 62)+( 63)+( 64)+( 65)+( 66)−10 = 1+6+ 6!(2!4!) + 6!(3!3!) +6!+ 6! + 1 − 10(4!2!) (5!1!)=7 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 − 10 = 54 cadres tonals avec exactement 6 transposés car ona supprimé les cas divisibles.– Il ne reste que les motifs à 12 éléments donc 12 transposés.Or on sait qu’il y a 4096 cadres tonals en tout. Donc il y a4096 − 54 − 12 − 6 − 2 − 2 = 4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés.– Cherchons maintenant le nombre de types dans chacun des cas, ce qui achèvera ladémonstration.Soit A l’ensemble des cadres tonals qui ont t transposés différents c’est à dire les cadresqui ont des orbites de taille t.Notons x = |A|On regroupe, dans A, un cadre avec ses t − 1 transposés ; ce sous-ensemble de cardinalt correspond à un type.Ceci donne une partition de A en n sous-ensembles à t éléments (où n est le nombre detypes).On a donc la formule suivante :Nombre de types = Nombre de sous-groupes différentsn = x t = |A|tD’où4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés différents qui définissent 402012= 335types.54 cadres tonals avec exactement 6 transposés différents qui définissent 54 6 = 9 types.12 cadres tonals avec exactement 4 transposés différents qui définissent 12 4 = 3 types.6 cadres tonals avec exactement 3 transposés différents qui définissent 6 3 = 2 types.2 cadres tonals avec exactement 2 transposés différents qui définissent 2 2 = 1 type.2 cadres tonals avec exactement 1 transposé qui définissent 2 1 = 2 types.
Ondes sonores 171D’où 335 + 9 + 3 + 2 + 1 + 2 = 352 types pour les 4096 cadres tonals.3.3 L’harmoniqueLes harmoniques sont les fréquences multiples de la fondamentale. Les intensités relativesdes harmoniques permettent de distinguer l’instrument. Pourquoi?4 ConclusionLa musique est un sujet très vaste et complexe, grâce à ce travail nous avons pu «éclairer » mathématiquement certaines notions.Références[ALA07] F.Alabau, Cours L2 : séries entières et analyse de Fourier, 2007[AZO03] Les mathématiques en licence, E. Azouli, J. Avignant, G. Auliac, Ediscience, ,BU Saulcy, 510.AZO[BOS95] Séries de fonctions et intégrale de Riemann, Boschet Françoise, Masson, , BUSaulcy, 515.43.BOS[BRO01] Michel Broué,[CIN06] L’utilisation des mathématiques et de la physique en musique, Cinarelli Ophélie,2006[DAN96] Théorie de la musique, A. Danhauser, Henry Lemoine, Paris, 1996, appartient àAnaïs,[GDEco] Grand dictionnaire encyclopédique comma, Larousse, 1983, appartient à Anaïs,[GDEga] Grand dictionnaire encyclopédique Gamme, Larousse, 1983, appartient à Anaïs,[GDEha] Grand dictionnaire encyclopédique harmonique, Larousse, 1983, appartient àAnaïs,[HTMcv] La corde vibrante théorique,http ://www.jpbourgeois.org/guitar/corde.htm/Théorie[HTMln] Les lois de Newton,http ://www.institut.math.jussieu.fr/ broue/tonamath.pdf[PDFac] Produire des sons, écouter,http ://e.m.c.2.free.fr/spe6-acoustique-musicale.pdf[PDFco] Equation de la corde vibrante,http ://www.cmi.univ-mrs.fr/∼rau/Tdteleman/corde.pdfhttp ://www.educnet.education.fr/orbito/orb/meca/meca12.htm
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Travail d’initiative personnelle
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