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170 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderIl y a 5 façons de les construire mais on doit ne pas comptabiliser certains motifs (déjàtraités) à savoir :BBBB : ensemble videRRRR : ensemble des 12 notesBRBR et RBRB qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsAlors il y a( 40)+( ( ( ( 4 4 4 4+ + +1)2)3)4)−4 = 1+4+ 4! + 4! +1−4 = 2+6+4 = 12(2!2!) (3!1!)cadres tonals avec exactement 4 transposés car on a supprimé les cas divisibles.– Motifs à 6 éléments.Comme pour le motif à 4 éléments, on doit supprimer certains cas :BBBBBB : ensemble videRRRRRR : ensemble des 12 notesRBRBRB et BRBRBR qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsRBBRBB, BRRBRR, RBRRBR, BRBBRB, RRBRRB, BBRBBR qui sont divisiblesen motifs à 3 éléments ( 6On a donc +0)( 61)+( 62)+( 63)+( 64)+( 65)+( 66)−10 = 1+6+ 6!(2!4!) + 6!(3!3!) +6!+ 6! + 1 − 10(4!2!) (5!1!)=7 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 − 10 = 54 cadres tonals avec exactement 6 transposés car ona supprimé les cas divisibles.– Il ne reste que les motifs à 12 éléments donc 12 transposés.Or on sait qu’il y a 4096 cadres tonals en tout. Donc il y a4096 − 54 − 12 − 6 − 2 − 2 = 4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés.– Cherchons maintenant le nombre de types dans chacun des cas, ce qui achèvera ladémonstration.Soit A l’ensemble des cadres tonals qui ont t transposés différents c’est à dire les cadresqui ont des orbites de taille t.Notons x = |A|On regroupe, dans A, un cadre avec ses t − 1 transposés ; ce sous-ensemble de cardinalt correspond à un type.Ceci donne une partition de A en n sous-ensembles à t éléments (où n est le nombre detypes).On a donc la formule suivante :Nombre de types = Nombre de sous-groupes différentsn = x t = |A|tD’où4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés différents qui définissent 402012= 335types.54 cadres tonals avec exactement 6 transposés différents qui définissent 54 6 = 9 types.12 cadres tonals avec exactement 4 transposés différents qui définissent 12 4 = 3 types.6 cadres tonals avec exactement 3 transposés différents qui définissent 6 3 = 2 types.2 cadres tonals avec exactement 2 transposés différents qui définissent 2 2 = 1 type.2 cadres tonals avec exactement 1 transposé qui définissent 2 1 = 2 types.