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168 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider– 12 cadres tonals avec exactement 4 transposés différents, qui définissent 3 types.– 6 cadres tonals avec exactement 3 transposés différents, qui définissent 2 types.– 2 cadres tonals avec exactement 2 transposés différents, qui définissent 1 types.– 2 cadres tonals avec exactement 1 transposé, qui définissent 2 types.Démonstration– Le cercle dodécaphonique comporte 12 notes.Le nombre de cadres tonals totals est donc le cardinal de l’ensemble des parties de l’ensembledes 12 éléments :Z/12Z = {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6, ¯7, ¯8, ¯9, ¯10, ¯11} ,qui correspond à :D = {Do, Dod, Ré, Réd, Mi, Fa, Fad, Sol, Sold, La, Lad, Si} .Donc P(D) = 2 12 = 4096– Soit G le groupe Z/12ZSoit C un cadre tonal c’est à dire un sous-ensemble de Z/12Z .Soit • une action de G sur C par addition modulo 12 qui correspond ici à une rotationde r « crans » (= transposition).L’orbite du cadre C = O C = {g•C/g ∈ G}= l’ensemble des cadres tonals qu’on obtient par transpositionOn a que |O C | = le nombre d’image différentes par transposition.Le stabilisateur de C dans G = Stab G (C) = {g ∈ G/g•C = C}= l’ensemble des éléments de G qui envoie C sur lui-même.D’après le cours de Structure Algébrique ( Mr Dax, année 2008 L3 semestre 2) on aque|G|= |O |Stab G (C)| C| ⇒ 12 = |Stab |O C | G(C)|⇒ Le nombre de transposés d’un cadre est donc un diviseur de 12.– On a trivialement que : il y a 2 cadres tonals avec exactement 1 transposé.Ces cadres sont l’ensemble vide et l’ensemble des 12 notes.– On définit des motifs sur le cercle dodécaphonique :_ R correspond à : la note appartient au cadre._ B correspond à : la note n’appartient pas au cadre._ Le motif « démarre » toujours sur la même note ( on choisit de prendre le Do).Par exemple : le motif RRB correspond à l’ensemble de notes{Do, Dod, Réd, Mi, Fad, Sol, La, Lad}. En effet, un motif engendre un cadre par rotation: « longueur du motif ».Pour engendrer un cadre, on a que le nombre d’éléments par motif est un diviseur de12.Le nombre de transposés du cadre composé par un motif, tel que le motif ne soir pas «redivisible en motifs plus petits », correspond au nombre d’éléments de ce motif.