Untitled

La théorie de Galois 15Définition 2.21. Soit L une extension de K. Soit y un élément de L. Le polynôme minimalde y est le polynôme unitaire, s’il existe, de plus bas degré à coefficients dans K, admettanty comme racine.[Cal06, p41][Tau07, p130][Goz97, p95]Extensions normalesDéfinition 2.22. Une extension L de K est dite normale sur K, si(i) L est algébrique sur K.(ii) Tout polynôme irréductible de K[X], qui a une racine dans L, est scindé sur L.Théorème 2.23. L étant une extension de K, alors L est normale et de degré fini sur Ksi et seulement si L est corps de décomposition sur K d’un polynôme de K[X].[Cal06, p39][Tau07, p145][Goz97, p124]Enfin, nous arrivons à la théorie de Galois en définissant le groupe de Galois, la correspondancede Galois et les extensions galoisiennes.2.4 Théorie de GaloisGroupe de Galois[Wik1, Esc04]Définition 2.24. Etant donné une extension L d’un corps K, on dit qu’un automorphismeσ du corps L est un K-automorphisme de L, si σ |K = id KDéfinition 2.25. On appelle groupe de Galois d’une extension L d’un corps K, le groupedes K-automorphismes de L.Notation. Le groupe de Galois d’une extension L du corps K sera noté Gal(L/K).Définition 2.26. Etant donné un polynôme P, non constant dans K[X] et D K [X] un corpsde décomposition de P sur K, le groupe de Galois Gal(D K (P)/K) est appelé groupe deGalois du polynôme P sur K.[Cal06, pp109-177][Tau07, p180][Goz97, p25]