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166 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderLa convention du dodécaphonisme– On fixe la fréquence d’une de ces 12 notes : en général celle du La.– Deux fréquences successives ont toujours le même intervalle (c’est à dire que lesrapports sont égaux, cf partie Un logarithme naturel).Quel est ce rapport ?Notons le δ.Et posons :f 1 = fréquence du Laf 2 = fréquence du Lad...f 12 = fréquence du Soldf 13 = fréquence du La à l’octaveD’après cette convention on a que : δ = f 2f 1= f 3f 2= ... = f 13f 12⇒f 2 = δ ∗ f 1f 3 = δ ∗ f 2 = δ 2 ∗ f 1...f 13 = δ ∗ f 12 = δ 12 ∗ f 1Or on sait que f 13 = 2 ∗ f 1 . Donc δ 12 = 2, et δ = 12√ 2Il est pratique de représenter l’ensemble D des 12 notes du dodécaphonisme sur uncercle, comme sur une montre.Donc multiplier la fréquence d’une note de ce cercle par δ n revient à faire une rotationde n « crans » dans le sens des aiguilles d’une montre et ceci est équivalent à faire unerotation de r « crans » où r est tel que n ≡ r[mod12] . Et donc transposer une mélodie,c’est faire « tourner » toutes les notes de celle-ci parle même nombre de « crans ».Un cadre tonal est un sous-ensemble, noté T de l’ensemble D.Par exemple O = {Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si} est un cadre tonal correspondant à lagamme de Do Majeur et sa transposé O+4 = {Mi,Fad, Sold, La, Si, Dod, Réd} correspondà la gamme Majeure de Mi.Donc le sous-ensemble T +n est une transposition de T .Un type tonal est donc l’ensemble des transposés d’un cadre tonal T .Par exemple le type tonal de O est constitué des cadres tonals suivants : O , O +1,O +2, ..., O +10, O +11 car O +12 correspond à O et que tous les cadres O + i aveci = {1, 2, ..., 11} sont différent de O .Cadres tonals voisins et distants Deux cadres voisins sont deux cadres peu différents.Cela permet en musique un passage « en douceur » d’un cadre tonal à un autre,voisin de celui-ci.Deux cadres non voisins sont dits distants.