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14 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreDéfinition 2.15. Une extension L du corps K est dite transcendante si elle n’est pasalgébrique.Théorème 2.16. Toute extension simple, transcendante K(µ) de K est K-isomorphe àl’extension K(X) de K où K(X) est le corps des fractions rationnelles à une indéterminéesur K. Plus précisément, il existe un isomorphisme f de K(X) sur K(µ) tel que f |K = id Ket f(X) = µ.[Cal06, p11][Tau07, p79][Goz97, p30]Parlons alors des extensions séparables et normales, qui permettront, par la suite, dedéfinir une extension galoisienne.2.3 Extensions séparables et normalesExtensions séparablesDéfinition 2.17.(i) On dit qu’un polynôme irréductible de K[X] est séparable sur K s’il n’a que desracines simples dans un corps de décomposition sur K.(ii) Un polynôme irréductible de K[X], qui n’est pas séparable sur K, sera dit inséparablesur K.Proposition 2.18. Soit K un corps. Soit P ∈ K[X] un polynôme de deg 1. On noteD K (P) le corps de décomposition de P sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) P et P ′ sont premiers entre eux dans K[X];(ii) P et P ′ n’ont pas de racine commune dans D K (P);(iii) Dans toute extension L de K, P et P ′ n’ont pas de racine commune;(iv) P n’a pas de racine multiple dans D K (P);(v) P a deg(P) racines distinctes dans D K (P);(vi) P n’a que des racines simples dans toute extension L de K.Définition 2.19. Soit L extension de K. A tout élément µ ∈ L, avex µ algébrique sur K,on associe son polynôme minimal irr(µ, K, X), qui est un élément irréductible de K[X].On dit que µ est séparable sur K, si et seulement si, le polynôme minimal irr(µ, K, X) estséparable; et que µ est inséparable sur K dans le cas contraire.Définition 2.20. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est une extensionséparable (ou algébrique séparable) de K si et seulement si, tout élément de L est séparablesur K.