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152 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider∫ L0Or B m = 2 Lf(x) sin(m π ( −LhL x)dx = mπ + Lhmπ( L 2 h==+∫ Lf(x) sin(m π x)dx. Donc ici0 L)cos(m π L x 0)L 2 hm 2 π 2 (L − x 0 ))sin(m π L x 0)+m 2 π 2 x 0( )L 3 h − L 2 hx 0m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) + L 2 hx 0sin(m π m 2 π 2 (L − x 0 )x 0 L x 0)L 3 hm 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)B m = 2 L 3 hL m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)2L 2 h=m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)doncy(x, t) =∞∑m=12L 2 hm 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0) sin(m π L x) cos(mπ L at)Prenons, par exemple, x 0 = L 2la formule devientEn développant on ay(x, t) = 8hπ 2 (y(x, t) =∞∑m=18hm 2 π 2 sin(mπ 2 ) sin(mπ L x) cos(mπ L at)sin π L x cos π L at − 1} {{ } 3 sin 3π 2 L x cos 3π L at + 1} {{ } 5 sin 5π 2 L x cos 5π L at} {{ }fondamental troisième harmonique cinquième harmonique)+ · · · .On constate que les harmoniques paires sont nulles. En effet, sin(2k π ) = sin(kπ) = 0.2Le fondamental a pour fréquence f 1 = (πa) = aL.(2πL) 2Le troisième harmonique a pour fréquence f 3 = (3πa) = (2πL) 3aL = 3f 2 1.Le cinquième harmonique a pour fréquence f 5 = (5πa) = (2πL) 5aL = 5f 2 1.On constate que toutes ces fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale. Onremarque que si l’on avait pris x 0 = L , on aurait les harmoniques multiples de 3 :3(f 3 , f 6 , f 9 , f 12 , ...) nulles.On a donc trouvé une condition pour supprimer certaines harmoniques.