Untitled

150 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderVariations des conditions initiales. Faisons varier les conditions initiales pour montrerleurs influences sur les fréquences des harmoniques. Nous pouvons pour cela modifierplusieurs paramètres de la corde : sa longueur, sa matière, les tensions exercées à ses extrémités...La longueur. Considérons une corde de longueur L 2la fréquence du n-ième harmonique. On a alorset reprenons la formule qui donnef n = n √ τ2 L µ ⇔ f n = n √ τL µ .2On constate qu’avec une corde deux fois plus courte la fréquence des harmoniques estmultipliée par deux. En particulier, la fondamentale est multipliée par deux. Ainsi, lafréquence qui était fondamentale avant de modifier la longueur de la corde devient deuxièmeharmonique c’est à dire qu’elle est toujours présente dans la composition du son que l’onentend mais ce n’est plus elle qu’on entend le plus. C’est pour cela que l’on entend un sondifférent. (Il se passe le même genre de phénomène si la corde considérée est trois fois pluscourte ou deux fois plus longue par exemple...)La matière de la corde. La variable µ représente la masse par unité de longueur,donc c’est une constante du matériel dont est fait la corde c’est pourquoi prendre une cordede matière différente change les fréquences des harmoniques. Etant donné que les cordesdes différents instruments ( piano, guitare, violon....) sont faites en matières différentes, lafréquence des harmoniques permet de reconnaître l’instrument.Pour passer d’un octave à l’autre il faut multiplier les fréquences par 2. Si on veutpasser à l’octave juste en changeant µ il faut prendre un ν (qui représente la masse parunité de longueur de la nouvelle corde) quatre fois plus petit que µ.En effet,2 n √ τL µ L√ = n τν ⇔ τ4n2 L 2 µ = n2 τL 2 ν ⇔ 4 µ = 1 ν ⇔ ν = µ 4La position initiale de la corde. Fixons pour cela la position initiale de la corde.On considère la fonction suivante :Il vient∫ L0f(x) =f(x) sin(m π L x)dx = ∫ x00{ hxx 0si x ∈ [0, x 0 ] ,h L−xL−x 0si x ∈ [x 0 , L] .hxsin(m π ∫ Lx 0 L x)dx + h L − x sin(m πx 0L − x 0 L x)dx .