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La théorie de Galois 13Corps finiThéorème 2.9. Soit F un corps fini. Alors,(i) sa caractéristique est un nombre premier p;(ii) il existe n ∈ N \ {0} tel que Card(F) = p n .Théorème 2.10 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.[Cal06, p55][Tau07, p111][Goz97, p81]Que peut-on dire des extensions algébriques et des extensions transcendantes?2.2 Extensions algébriques et transcendantesExtensions algébriques (et élément algébrique)Définition 2.11. Soit L une extension d’un corps K, µ un élément de L et K(µ) l’extensionde K obtenue par l’adjonction de µ. L’élément µ est dit algébrique sur K, s’il existeun polynôme non constant f(X), dans K[X], tel que f(µ) = 0. Dans ce cas, on dit queK(µ) est une extension simple, algébrique de K.Définition 2.12. Une extension L d’un corps K est dite algébrique si tout élément de Lest algébrique sur K. On dit également que L est algèbrique sur K.Théorème 2.13. Etant donné une extension de corps L/K, si µ est un élément de L,algèbrique sur K, alors :(i) Il existe un unique polynôme P(X) unitaire et irréductible dans K[X] tel que(f(X) ∈ K[X] \ {0} et f(µ) = 0) ⇒ P(X) | f(x) dans K[X](ii) L’extension simple K(µ) vérifie l’égalité K(µ) = {f(µ) : f(X) ∈ K[X]}(iii) (K(µ) : K) = deg P[Cal06, p11][Tau07, p79][Goz97, p30]Extensions transcendantes (et élément transcendant)Définition 2.14. Soit L une extension d’un corps K, µ un élément de L et K(µ) l’extensionde K obtenue par l’adjonction de µ. L’élément µ est dit transcendant sur K, si µn’est pas algèbrique sur K, donc, si ∀f(X) ∈ K[X] \ K, f() ≠ 0.On dit alors que K(µ) est une extension simple, transcendante de K.