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Ondes sonores 147(∂y(x, t))(∂t)=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du) sin(mπ L x)(mπ L a)(− sin(mπ L at))(∂ 2 y(x, t))(∂t 2 )=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du sin(mπ L x)(mπ L a)2 (− cos(m π L at)))∑ ∞= a 2 (−( 2 ∫ LL ) f(u) sin(m π L u)du (mπ L )2 sin(m π L x) cos(mπ L at))m=1= a 2 (∂2 y(x, t))(∂x 2 )0On en conclut que y(x, t) = ∑ ∞m=1 ( ∫ 2 Lf(u) sin(m πu)du sin(m πx) cos(m π at)) estL 0 L L Lsolution de l’équation de la corde vibrante.Interprétation des résultats Un son complexe de hauteur fixe se décompose en sommede vibrations élémentaires, appelées harmoniques naturelles ou modes naturels (ou normaux)de vibration, dont la fréquence est multiple de celle de la fondamentale (cf partiemusique). La fréquence fondamentale donne la hauteur perçue d’une note. Les harmoniquesdéfinissent le timbre qui permet de distinguer un piano d’un violon jouant la même note.Un mode normal ou naturel de vibration est un mode dans lequel chaque point de lacorde vibre à la même fréquence.Rappelons la solution que nous avons trouvée :y(x, t) = ∑ ∞m=1 ( ∫ 2 Lf(u) sin(m πu)du sin(m πx) cos(m π at)), les termes de cette sérieL 0 L L Lreprésentent les modes naturels de vibration de la corde. La fréquence f n du n-ième modenormal s’obtient à partir du terme en cos(n π at) et a pour expression :L(D’après la partie 1, f n est le nombre de fois où la fonction cos(n π at) s’annule sur unLintervalle d’une seconde.)2πf n = n π L a ⇔ f n = na 2 L ⇔ f n = n 2 L √TρAu fil du temps les courbes de ces modes naturels varient des courbes pleines auxcourbes en pointillés et vice versa.Regardons maintenant ce qui se passe dans un tuyau ferméIci, la première ligne représente le mode fondamental, la deuxième, le deuxième harmoniqueet la troisième le troisième mode naturel. De même que pour la corde vibrante,au cours du temps les dépressions et surpressions s’inversent ce qui équivaut, sur notreschéma, à l’alternance des dessins bleus et blancs. On remarque que les courbes de la cordeet les variations de pression dans le tuyau sont similaires.