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146 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderIci,∫1 2π+∑∞|f(x)| 2 dx = |C n (f)| 2(2π) 0∞∑C n (f) =n=1n=1− ∞∞∑( ) n × 1n C n(f)n=1∞∑ 1∞∑ (× n 2 |Cn 2n (f)| 2)} {{ }Riemannintégrablen=1} {{ }∣ ∞∑=∣ C d 2 f ∣∣∣2ndx 2n=1Or, ∑ ∞m=1 |C n(f”)| 2 représente les coefficients de Fourier de f ′′ . Cette somme estfinie si f ∈ L 2 ([0, L]).Or f ∈ L 2 ([0, L]) , donc on a :sum ∞ m=1 |C n (f”)| 2 < +∞∞∑d’où C n (f) < +∞d’oùm=1∞∑2∣Lm=1∫ L0(f(u) sin(m π L u)du )sin(m π L x) cos(mπ L at)) ∣ ∣∣∣< +∞La série converge bien normalement.– Ensuite, que l’équation est satisfaiteThéorème 2.3 (Théorème de dérivabilité). Soit ∑ f n une série de fonctions declasse C 1 sur un intervalle I de R, convergeant simplement sur I, si la série ∑ (f n ’)converge uniformément sur I, alors la fonction somme, ∑ f n est dérivable sur I et( ∑ f n )’ = ∑ (f n ’).Par le même genre de majoration que dans la partie précédente, on a que les différentesdérivées partielles convergent absolument, donc uniformément et simplementon peut donc appliquer le théorème de dérivabilité et on obtient :(∂y(x, t))(∂x)=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du (mπ L ) cos(mπ L x) cos(mπ L at))(∂ 2 y(x, t))(∂x 2 )∞∑= (−( 2 ∫ LL ) f(u) sin(m π L u)du (mπ L )2 sin(m π L x) cos(mπ L at))m=1 0