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Ondes sonores 145f(x) ==∞∑A n sin(nx) + B n (cosnx)n=1∞∑B m sin(m Π L x)m=1d’où B m = A npar unicité des coefficients.B n = 0On sait que les coefficients de Fourier∫de la fonction f se calculent de la manièresuivante, on en déduit donc que B m = 2 Lf(u) sin(m πu)duL 0 Ld’où∞∑[ ∫ 2 L (y(x, t) = f(u) sin(m π ) )L L u du sin(m π )L x cos(m π ) ]L atm=10VérificationVérifions que cette fonction est solution de notre équation.Nous allons pour cela vérifier deux points.– Tout d’abord que cette série est absolument convergente∞∑2∣L∞∑2∣L∞∑2∣L∞∑2∣Lm=1m=1m=1m=1∫ L0∫ L0∫ L0∫ L0(f(u) sin(m π ) )L u du sin(m π ) (L x cos m π ) ∣L at ∣∣f(u) sin(m π )L uf(u) sin(m π )L uf(u) sin(m π )L udu∣∣ ∣sin(m π )∣ ∣ ( ∣∣ ∣∣cosL x m π )∣ ∣∣L at du∣ × 1 × 1 car −1 cos(x) 1et −1 sin(x) 1∞du∣ = ∑C n (f)m=1Où les C n (f) sont les coefficients de Fourier de f.Proposition 2.1. Soit f une fonction 2π-périodique continue et de classe C 1 parmorceaux. En prolongeant la définition de f ′ à R tout entier, on obtient, une fonction2π- périodique dont les coefficients de Fourier exponentiels C n (f’) sont liés à ceuxde f par la formule :C n (f’) = inC n (f) ∀n ∈ N \ 0Théorème 2.2 (Théorème de Parseval). Soit f une fonction 2π-périodique alorsles coefficients de Fourier de f vérifient les égalités suivantes appelées égalités deParseval :