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144 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneidery(0, t) = (B 2 cos(0) + A 2 sin(0))(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))→ B 2 = 0= B 2 (B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))= 0d’où y(x, t) = A 2 sin(λx)(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))ou encore y(x, t) = sin(λx)(Bcos(λat) + A sin(λat)) avec B = B 1A 2et B = A 1A 2Utilisons maintenant l’autre condition donnée par (1), on obtient :y(L, t) = sin(λL)(Bcos(λat) + A sin(λat)) = 0⇒ sin(λL) = 0⇒ λL = mπ m ∈ N⇒ λ = m π m ∈ NLRegardons la condition (3)Car le second membre nul équivautà T(t)=0(∂y(x, t))(∂t)= sin(λx)(Aλa cos(λat) − Bλa sin(λat))on sait que (∂y(x,0))(∂t)= 0⇔ sin(λx)(Aλa cos(0) − Bλa sin(0)) = 0⇔ sin(λx)(Aλa) = 0⇒ A = 0Sous ces conditions : y(x, t) = sin(λx)(Bcos(λat)) = B sin(m Π L x) cos(mΠ L at)Supposons maintenant qu’en sommant cette solution sur tous les m ∈ N on obtiendrabien une solution de l’équation de départ. La sommation nous donneet (2) nous apprend quey(x, t) =∞∑B m sin(m Π L x) cos(mΠ L at)m=1y(x, 0) = f(x) ==∞∑B m sin(m π L x)(cos0)m=1∞∑B m sin(m Π L x)m=1On reconnaît là une série trigonométrique de période L. En décomposant f en série deFourier on obtient, par ailleurs, que f(x) = ∑ ∞n=1 A n sin(nx) + B n (cosnx). On a donc