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Ondes sonores 143L’équation précédente devient alors l’équation du second degré suivantep 2 − λ = 0Trois cas peuvent se présenter :1er cas λ = 0( )Dans ce cas l’équation donne clairement p 2 d= 0 et donc2 X= 0, d’où X est unedx 2fonction du premier degré, c’est-à-dire X(x) = cx+b. Tenons compte maintenant desconditions initiales, d’apr ‘es (1), on a X(0) = b = X(L) = cL = 0, d’où X(x) = 0.Cette solution identiquement nulle est inintéressante.2 ‘eme cas λ > 0Les solutions de l’équation caractéristique sont alors p 1 = √ λ et p 2 = − √ ( )λ d’oùdles solutions de l’équation différentielle2 X= 0 − λX = 0 sont de la formedx 2X(x) = C 1 e (√ λ)x +C 2 e (−√ λ)x . Tenons compte maintenant des conditions initiales.(1) donne :{C 1 + C 2 = 0C 1 e (√λ)L +C 2 e (−√λ)L = 0Le déterminant de ce syst ‘eme linéaire est non nul donc d’apr ‘es Cramer il y aune solution unique qui est C 1 = C 2 = 0 d’où X(x) = 0, cette nouvelle solutionégalement triviale ne nous intéresse pas.3 ‘eme cas λ < 0L’équation caractéristique a deux solutions imaginaires p 1 = i √ −λ et p 1 = −i √ −λ laforme générale de la solution de l’équation différentielle est X(x) = C 1 cos(x √ −λ) +C 2 sin(x √ −λ). Tenons compte à nouveau de la condition initiale (1). On a toutd’abord X(0) = C 1 = 0 ce qui entraîne X(x) = C 2 sin(x √ −λ).Ce cas est le seul à nous amener a une solution non trivial c’est pourquoi notreconstante de séparation doit être négative.Revenons à notre problème proprement dit :Posons alors −λ 2 comme constante de séparation. D’après ce qui précède on déduitaisément que T(t) = B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat) et X(x) = B 2 cos(λx) + A 2 sin(λx).On a donc une première solution généraley(x, t) = X(x)T(t) = (B 2 cos(λx) + A 2 sin(λx))(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))Restriction de l’ensemble des solutionsAppliquons maintenant l’ensemble des conditions initiales pour affiner cette solution.(1) nous donne tout d’abord :