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142 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider2.1 Définition des conditions initialesRappelons l’équation : (∂2 y)= (∂t 2 ) a2 ( (∂2 y)) (∂x 2 )On fixe plusieurs conditions initiales :– La corde est fixée à ses extrémités (1)→ y(0, t) = y(L, t) = 0 pour tout t > 0– Au temps initial, t = 0, la position de la corde est donnée par f(x) (2)→ y(x, 0) = f(x) pour tout 0 < x < L ,f ∈ L 2 ([0, L])– La vitesse initiale est nulle (3)→∂y(x, t)∂t= 0 pour tout 0 < x < L .A la fin de la résolution, nous ferons varier ces conditions initiales pour mettre enévidence leurs influences sur les solutions de l’équation.2.2 Séparation des variablesPour résoudre notre équation nous allons utiliser la méthode de séparation des variables.Ici on cherche les solutions particuli ‘eres de la forme y(x, t) = X(x).T(t) ou X(x) est unefonction ne dépendant que de x et T(t) une fonction ne dépendant que du temps t.L’équation devient alorsX(d 2 T dt2) = a 2 (d 2 X 2)Tdx(d2 T 2 2dt )⇔ T = (d2 X dxa XX et T sont des fonctions d’une seule variable et ne s’annulent pas sur l’intervalleconsidéré. Si l’on regarde les deux membres de l’équation précédente, on voit que le membrede gauche ne dépend que de t et celui de droite que de x, nous pouvons donc avoir égalitési et seulement si ces deux fractions sont constantes et égales.Résolution des équations différentiellesPrenons λ comme constante de séparation. Montrons, avant de continuer la résolutionde notre équation, que pour aboutir à des solutions non triviales il faut que λ soit négative.Pour cela, résolvons l’équation la plus simple c’est-à-dire (d 2 X 2dx ) − λX = 0Pour résoudre une telle équation, on peut utiliser la méthode de l’équation caractéristique( méthode qui consiste à associer à chaque degrés de dérivation un monôme de degréégal.)2)