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Ondes sonores 141⇒ 1 ∂y ∂y(x + ∆x, t) −(∆x) ∂x ∂x (x, t) = ρ yT .∂2 ∂t 2⇒ ⌊ ∂y∂y(x + ∆x, t) − (x, t)⌋∂x ∂xx + (∆)x − x= ρ T .∂2 y∂t 2Grâce à la formule de la dérivée, lorsque ∆x est infiniment petit on obtient√Tρ∂ 2 y∂x = ρ y2 T .∂2 ∂t 2Pour finir, on pose a =√En physique, la célérité de l’onde est donnée parTρ, a est alors la célérité de l’onde,ou vitesse de l’onde.L’équation qui régit la propagation des ondes dans un tuyau d’orgue est la même quel’équation de la corde vibrante c’est-à-dire(∂ 2 y)(∂t 2 ) = a2 ( (∂2 y)(∂x 2 ) )L’équation en dimension supérieure (pour un tambour par exemple dont on suppose quel’impulsion initiale est dirigée perpendiculairement au plan de la membrane du tambour)est :∂ 2 z∂t = 2 a2 ∇ 2 z encore notée ∂2 z∂t = a2( ∂ 2 z2 ∂x + ∂2 z)2 ∂y 2Soit une peau de tambour carrée de longueur L, on a alors :– z(x, y,t) représente le déplacement transversal d’un point de coordonnées (x, y) enfonction du temps t– 0 < x < L– 0 < y < L– t > 0– a désigne la vitesse de propagation de l’ondeL’importance des conditions initialesLes conditions initiales sont importantes car elles détermineront les coefficients de lasolution trouvée, en effet, elles permettent de restreindre l’ensemble des solutions.2 Résolution de l’équationNous allons maintenant résoudre l’équation donnée dans le paragraphe précédent c’està-direl’équation de la corde vibrante. On consid ‘ere une corde de longueur L tendue.