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140 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderDéplacement vertical.A 1 = A 1T 1.T 1 = sin(α)T 1 A 2 = A 2T 2.T 2 = sin(β)T 2Application de la 2 ‘eme loi de NewtonLa 2 ‘eme loi de Newton :Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuelest égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération.On a donc l’égalité :∑ ⃗Fi = m.⃗aoù F ⃗ i : forces exercées sur l’objetm : masse⃗a : accélérationOn pose ρ la masse par unité de longueur de la corde et ∆x la longueur de cordeconsidérée.L’accélération verticale est donnée par : ⃗a = ∂2 y∂t 2La 2 ‘eme loi de Newton nous donne la formule suivante :(On néglige les forces horizontales)A 2 − A 1 = ρ.∆x. ∂2 y∂t 2T 2 . sin(β) − T 1 . sin(α) = ρ.∆x. ∂2 y∂t 2Déduction de l’équation de la corde vibrante. Comme T 1 cos(α) = T 2 cos(β) = T ,on peut effectuer la division suivante :T 2 sin(β)T 2 cos(β) − T 1 sin(α)T 1 cos(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2⇒sin(β)cos(β) − sin(α)cos(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2⇒ tan(β) − tan(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2Or tan(α) et tan(β) sont respectivement les pentes aux points x et x + ∆x . C’est àdire :tan(α) = ∂y∂y(x, t) et tan(β) = (x + ∆x, t)∂x ∂xL’équation devient alors :∂y ∂y ρ.∆x y(x + ∆x, t) − (x, t) =∂x ∂x T .∂2 ∂t 2