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12 Ophélie Cinarelli – Emanuelle Cloître2 Les corpsVoici donc des résultats sur les corps.2.1 GénéralitésGénéralités sur les corpsDéfinition 2.1. On dit que (A, +, ×) est un anneau si :(i) (A, +) est un groupe commutatif;(ii) × est associative et distributive par rapport à +.Proposition 2.2. Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) Tout élément non nul de A est inversible.(ii) L’ensemble A \ {0} des éléments non nuls de A, muni de la multiplication, est ungroupe.Si ces conditions sont vérifiées, on dit que A est un corps.Proposition 2.3. Tout corps est un anneau intègre.Proposition 2.4. La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier.[Goz97, Chap.1, p1]Définissons à présent une extension de corps, notion à la base de la théorie de Galois.Notion d’extensions de corps (et degré d’extension)Définition 2.5. Soit K un corps. On appelle extension de K tout corps L tel qu’il existeun homomorphisme de corps, j, de K dans L.Notation. ”L/K” signifie ”le corps L est une extension du corps K”.Exemple 2.6. L = Q[ √ 3] = { a + √ 3b, a ∈ Q, b ∈ Q } une extension de corps sur Q.Définition 2.7. Soient K un corps, L une extension de K. On appelle degré de l’extensionL de K et on note (L : K) la dimension de L comme K-espace vectoriel.Définition 2.8. Etant donné un polynôme f(X) non constant dans K[X], on appelleracorps de décomposition de f sur K, toute extension L de K vérifiant :(i) K ⊆ L et f(X) est scindé sur L.(ii) (K ⊆ L ′ ⊆ L et f(X) scindé sur L ′ ) ⇒ (L ′ = L).[Cal06, Chap.1,pp1-36][Tau07, Chap.4, p77][Goz97, Chap.2, p21]