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La théorie du chaos 129Posons : X = (2y(z − 1); −x(z − 1); −z 3 )On a bien X(0; 0; 0) = (0; 0; ⎛0) , donc a = (0; ⎞0; 0) est un point d’équilibre.0 −2 −1D’autre part : A=JacX(a)= ⎝ 0 0 0 ⎠0 0 0Ce qui implique : ∀λ i ∈ sp(A) on a Re(λ = 0On est dans un cas critique et on ne peut rien en déduire quant à la stabilitéde O R 3.Dans un second temps, on utilise le théorème de Lyapunov :Soit f(x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2f est bien définie positive si et seulement si a, b, c > 0, et f est C 1 sur R 3 (commesomme de polynomes C 1 ).On calcul : f(x; ˙ y; z) = 〈df(x; y; z)|X(x; y; z)〉 = 2xy(z − 1)(2a − b) − 2cz 4On fixe 2a = b, et donc f(x; ˙ y; z) = −2cz 4 0et comme c > 0 f(x; ˙ y; z) = 0 ⇒ z = 0 mais x,y quelconque.Donc, d’après Lyapunov, O R 3 est stable.Le point O R 3 est-il asymptotiquement satble?On cherche le plus grand invariant inclus dans M = {(x; y; z) ∈ R 3 : f(x; ˙ y; z) =0}Ici M = {(x; y; z) ∈ R 3 : z = 0}, ie le plan (x;y).On étudie :⎧⎨ ẋ = −2yS |M : ẏ = x⎩ż = 0Donc : z =constante, donc toute trajectoire issue de M , y reste ∀t ∈ R , ie leplus grand invariant est M lui même.Donc toute trajectoire bornée tend vers M quand t tend vers +∞,De plus en fixant a = 1 et b = 2, on a f(x; ˙ y; z) = x 2 +2y 2 +cz 2 tend vers +∞,quand ‖(x; y; z)‖ 2 tend vers +∞, donc f est propre. Par conséquent toutes lestrajectoires sont bornées.Donc, comme M n’est pas réduit à O R 3, le point O R 3 n’est pas asymptotiquementstable.