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128 Geoffrey NichilCorollaire 4.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ N ou Z}) un flot.On suppose que le générateur ϕ 1 de ce système est défni sur un ouvert U 1 de Ω, et que ϕ 1est une application continue sur U 1 et différentiable en a.Soit a ∈ U 1 un point d’équilibre, et A = Dϕ 1 (a) la différentielle du générateur au point a.Si toutes les valeurs propres de A sont de module strictement inférieur à 1, le point a estω-stable et attractif.Corollaire 5. Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs de classe C1 sur Ω. Soit ϕ son flotréduit, {ϕ s ; s ∈ R} le système dynamique qui lui est associé.Soit a un point d’équilibre et A=DX(a) la différentielle de X en a.Si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative (resp.strictementpositive), alors a est ω-stable et attractif ( resp. α-stable et répussif).Remarquons qu’il existe une variante du théorème de Lyapunov sur les systèmes dynamiquesà temps continu, reliant le bassin d’attraction et la stabilité d’un point d’équilibre.Théorème 5.3.Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs localement lipschitzien sur l’ouvert Ω, à valeursdans l’espace vectoriel E. Soit ϕ son flot réduit et {ϕ s , s ∈ R} le système dynamique quilui est associé. Soit a un point d’équilibre.On suppose qu’il existe une fonction définie sur un voisinage ouvert V de a, continue surV, à valeurs réelles telle que :1. f admet un minimun strict en a .2. f est différentiable sur V-a, ∀x ∈ V : 〈df(x)|X(x)〉 0Soit P ⊆ V ∩ Ω, P compacte, ∀x ∈ P : ϕ s (x) ∈ P .On suppose qu’il n’existe aucune orbite complète, ie ∀x ∈ Ω : ϕ s (x) est définie ∀s ∈ sRsur laquelle f a une valeur constante , autre que celle du point a.Alors a appartient à P, et son bassin d’attraction contient P.Si de plus P est un voisinage de a, alors a est attractif.Exemple d’application :On considère le système différentielle (S) :⎧⎨ ẋ = 2y(z − 1)ẏ = −x(z − 1)⎩ż = −z 3Etudions la stabilité de O R 3 :On étudie dans un premier temps le linéarisé du système (S) :