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La théorie de Galois 11Démonstration. [Tau07, p184]Proposition 1.10. Soit (G, ·) un groupe. Si G est fini d’ordre premier, il est cyclique ettout élément de G distinct de e engendre G.Raisonnons par récurrence sur N, l’ordre de G. Si N ∈ {2, 3}, G est cyclique d’aprèsla proposition précédente car 2 et 3 sont premiers et on a le résultat.Supposons donc N 4.Définition 1.11. On dit qu’un groupe (G, ·) est simple si les seuls sous-groupes distinguésde G sont {e} et G.Si G est simple, son groupe dérivé étant distingué, il est réduit à {e}, car G est résoluble.Alors, G est abélien et il est clair qu’il est cyclique d’ordre premier.Supposons G non simple. Soit H un sous-groupe distingué de G distinct de {e} et deG. Comme H et K = G/H sont résolubles, l’hypothèse de récurrence implique l’existencedes suites normales : H = H 0 ⊃ H 1 ⊃ · · · ⊃ H p = {e} et K = K 0 ⊃ K 1 ⊃ · · · ⊃ K r = {e}à quotients successifs cycliques d’ordres premiers.Les groupes K i s’écrivent G i /H, où les G i sont des sous-groupes contenant H, et oùG i+1 est distingué dans G i . D’autre part G i /G i+1 est isomorphe à K i /K i+1 .Dans ces conditions, la suite G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G r = H = H 0 ⊃ H 1 ⊃ · · · ⊃ H p ={e} vérifie les propriétés voulues.Réciproquement :Proposition 1.12. Soit (G, ·) un groupe. Alors G est résoluble si et seulement s’il existeune suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telle que G i /G i+1soit abélien pour 0 i m − 1.La réciproque est donc immédiate d’après cette proposition.[Cal98, p235][Tau07, p55][Goz97, p159]Qu’appelle-t-on groupe symétrique?1.3 Groupes symétriquesDéfinition 1.13. Pour n ∈ N \ {0}, l’ensemble S n des bijections de [1; n] dans lui-même(permutations de [1; n]), muni de la loi de composition des applications, est un groupeappelé le groupe symétrique d’indice n.[Cal98, p105][Tau07, p58][Goz97, p162]Afin de comprendre la théorie de Galois, parlons maintenant des corps.