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La théorie du chaos 127Ces deux propositions sont très importantes car elles nous permettrons plus tard de simpliferles différentes notions de stabilité.Ayant définie auparavant toutes les notions nécessaires, On peut maintenant énoncer deuxformes du théorème de Lyapunov.Théorème 5.1. Théorème de Lyapunov : cas d’un système à temps discret.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ N ou Z}) un flot.On suppose que :– Ω est un ouvert d’un espace affine de dimension finie– le générateur ϕ 1 est une application continue définie sur unouvert U 1Soit a ∈ U 1 un point d’équilibre.Si il existe une fonction f, définie sur un voisinage ouvert V de a, continue sur V, à valeursréelles et véifiant les égalités suivantes :1. f admet un minimun strict au point a.2. ∀x ∈ V ∩ U 1 ∩ ϕ −11 (V ) on a : f(ϕ 1 (x)) f(x)Alors le point d’équilibre a est ω-stable au sens de Lyapunov.Si de plus : ∀x ∈ V ∩ U 1 ∩ (ϕ 1 ) −1 (V ) vérifiant x ≠ a on a : f(ϕ 1 (x)) f(x)Alors, le point a est attractif.Théorème 5.2. Théorème de Lyapunov : cas d’un système à temps continu.Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs localement lipschitzien sur l’ouvert Ω, à valeursdans l’espace vectoriel E. Soit ϕ son flot réduit et {ϕ s ; s ∈ R} le système dynamique quilui est associé.Soit a un point d’équilibre.Si il existe une fonction f, définie sur un voisinage ouvert V de a, à valeurs réelles, telleque :1. f admet un minimun strict au point a.2. f est différentiable sur V − {a} et ∀x ∈ V, x ≠ a on a 〈df(x)|X(x)〉 0Alors le point a est ω-stable au sens de Lyapunov.Si de plus : ∀x ∈ V, x ≠ a on a 〈df(x)|X(x)〉 < 0 , alors le point a est attractif.Pour terminer on énonce deux corollaires découlant des théorèmes de Lyapunov, égalementappelés « théorèmes de linéarisations ».