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126 Geoffrey NichilAnnexe 7 : Théorèmes de Lyapunov.On va, ici, énoncer deux théorèmes concernant la stabilité des systèmes dynamiques àtemps discret et à temps continu.Pour ce faire, on définiera les notions de générateur et générateur infinitésimal.Définition 21.1. Soit {ϕ s ; s ∈ N ou Z} un système dynamique à temps discret sur un ensemble Ω.On appelle générateur de ce système l’application ϕ 1 , définie sur une partie U 1 de Ωà valeurs dans Ω .2. Soit {ϕ s ; s ∈ R} un système dynamique à temps continu sur un ensemble Ω tel que :(a) l’ensemble Ω est un ouvert d’un espace vectoriel affine réel de dimension finie.(b) ∀x ∈ Ω l’ensemble {t ∈ R : x ∈ U s } contient un intervalle centrée sur l’origine,et l’application s ↦−→ ϕ s (x) est différentiable à l’origine.On pose,∀x ∈ ΩX(x) = dϕs(x) |dt t=0 , où le terme de droite désigne la dérivée de l’applications ↦−→ ϕ s (x) à l’origine. Le champs de vecteur X ainsi défini sur? est appelé générateurinfinitésimal du système dynamique.On cherche désormais à montrer qu’un système dynamique à temps discret est entièrementdéterminé par son générateur.Proposition 6. Un système dynamique à temps discret {ϕ s ; s ∈ N ou Z} sur un ensembleΩ est entièrement déterminé par son générateur. En effet, en notant U s la partie de Ω surlaquelle est définie l’application ϕ s , on a :1. ∀s ∈ N, ϕ s est l’itérée s-ième de ϕ 1 :U n+1 = ϕ 1 −1 U 1 , ϕ n+1 = ϕ 1 ◦ ϕ n = ϕ n ◦ ϕ 1 = ϕ 1n+12. Si le système dynamique est paramétré par Z , l’application ϕ 1 est une bijection deU 1 sur U −1 , dont l’inverse est ϕ −1De plus, ∀n ∈ N : ϕ −n = ϕ n −1 = ϕ 1nMontrons également que l’on peut associer à un système dynamique à temps continu songénérateur infinitésimal.Proposition 7. Soit Soit {ϕ s ; s ∈ R} un système dynamique à temps continu vérifiant leshypothéses de la définition précedente. Soit X son générateur infinitésimal.∀x ∈ Ω l’ensemble {I x , x ∈ U s } est un intervalle ouvert de R contenant l’origine.L’application Ψ : I x → Ω tel que s ↦−→ Ψ(s) = ϕ s (x) est solution de l’équation différentielle :dΨ(s)ds= X(Ψ(s))