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10 Ophélie Cinarelli – Emanuelle Cloître(G1) la loi · est associative;(G2) il existe dans (G, ·) un élément neutre e;(G3) tout élément de (G, ·) est symétrisable.Définition 1.2 (Sous-groupe). G étant un groupe, une partie non vide H de G est un sousgroupe de G si :– ∀(x, y) ∈ H × H, x · y ∈ H– ∀x ∈ H, x −1 ∈ HThéorème 1.3. Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sous groupe deG si et seulement si :∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ HDéfinition 1.4 (Groupe distingué). Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est ditdistingué dans G si et seulement si ∀g ∈ G, gHg −1 = HDéfinition 1.5 (Morphisme de groupes). Étant donné deux groupes (G, ·) et (G′ , ∗), unmorphisme de groupes de G dans G ′ est une application f : G → G ′ telle que, quels quesoient x et y dans G, on ait : f(xy) = f(x) ∗ f(y).Un morphisme de groupes est aussi appelé homomorphisme de groupes.Définition 1.6 (Groupes finis).Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le cardinal deG s’appelle l’ordre du groupe G; il est noté |G|.Notation. On notera [G : A] = card(G/A), appelé indice de A dans G.[Cal98, Chap.1, p17][Tau07, p51]Voyons, à present, ce que l’on peut dire sur les groupes résolubles.1.2 Groupes résolublesDéfinition 1.7. Soit G un groupe.(i) Si (x, y) ∈ G 2 , on appelle commutateur de x et y l’élément x · y · x −1 · y −1 .(ii) Le groupe dérivé de G, noté D(G), est le sous-groupe de G engendré par les commutateursd’éléments de G.(iii) On appelle suite dérivée de G la suite (D n (G)) n0de sous-groupes de G définie parD 0 (G) = G et ∀n 0, D n+1 (G) = D (D n (G)).Définition 1.8. Soit (G, ·) un groupe. On dit que G est résoluble s’il existe n ∈ N tel queD n (G) = {e}.Lemme 1.9. Soit (G, ·) un groupe fini non réduit à {e}. G est résoluble si et seulements’il existe une suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telsque ∀0 i m − 1, G i /G i+1 soit cyclique d’ordre premier.