Untitled

114 Geoffrey NichilAnnexe 2 : Le problème à N corps.Enoncé :Le problème à N corps est l’étude du mouvement de N masses ponctuelles qui s’attirentconformément à la loi de NewtonPar exemple : le système solaire peut etre considéré comme système dynamique composéde 10 corps en négligeant les satellites et les astéroïdes .Le problème à 2 corps est intégrable, c’est à dire que l’on peut trouver une solution analytiqueexacte.Par exemple : Etude du mouvement du soleil et d’une planète : la trajectoire de la planèteest une ellipse dont le soleil occupe l’un des foyers.Contrairement à une idée répandue, le problème à 3 corps (par exemple,le soleil et 2planètes) possède une solution analytique exacte, découverte par Karl Sundman en 1909.Mais cette solution se présente sous la forme d’une série infinie qui converge très lentement,ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.L’objectif de la résolution du problème à N corps est de pouvoir prédire le comportement(ie la trajectoire) à long terme des différents corps interagissant les uns envers lesautres.Méthodes d’étude :1. Par approximations successives :Laplace et Lagrange ont mis au point des méthodes permettant de trouver des solutionsapprochées qui consistent à rechercher la solution sous forme de séries. Mais cessolutions ne donnent une approximation qu’à un temps fini près, trés petit comparéà l’échelle du système solaire.Poincaré montra par ailleurs, que ces séries divergeaient généralement et il envisageal’étude d’un point de vue qualitatif.2. Etude qualitative de Poincaré :En 1890 Poincaré mit au point une méthode consistant à étudier la succession despoints qui sont à l’intersection de la trajectoire avec la section de Poincaré (planperpendiculaire à la trajectoire). Et c’est l’étude de cette succession de points quipermet de prévoir l’avenir de la trajectoire.