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La théorie du chaos 1095 Exemple : l’application logistique.Comme on l’a vu dans l’introduction, l’application logistique représente l’évolution d’unepopulation d’individus.Dans cette partie nous allons montrer, à l’aide des différentes notions abordées dans ceTIPE, la nature chaotique de la fonction logistique.On considère le système dynamique suivant :{(∗) :x 0 ∈ [0; 1]x n+1 = f(x n ) où f(x) = 4x(1 − x)Dans un premier temps, on représente, le diagramme de bifurcation , ie le comportementasymptotique des solutions, et sur le même graphique l’évolution du coefficient de Lypaunov:Fig. 23 – Diagramme de bifuraction et exposants de Lyapunov.Comme on l’avait vu dans la troisième partie, un exposant de Lyapunov positif est synonymede comportement chaotique, tout comme un doublement succesif de période.L’aspect géométrique de ce diagramme de bifucaction nous laisse penser que la fonctionlogistique est chaotique.Vérifions maintenant, à l’aide des différentes définitions du chaos obtenues dans les parties3 et 4, cette hypothèse. On essaie de montrer que le système est chaotique au sens topologique.Vérifions, à l’aide de la procédure ’Mapple sci’ la propriété de sensibilté aux conditionsinitiales (l’éxécution de cette procédure se fait sous mapple.) :1. On initialise tout d’abord notre schéma itératif :with(plots) :f := x− > 4 ∗ x ∗ (1 − x) :#le paramètre limitant de l’itérateur est fixé à 4.