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108 Geoffrey NichilLa jacobienne de ce système est :⎛⎝−η η 0r − Z −1 XY X −b⎞⎠soit en (0, 0, 0) :Les valeurs propres sont :⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝−η η 0r −1 00 0 −b⎞⎠√λ 1 = − η+1 (η+1)+2 −4η(1−r)2 √ 2λ 2 = − η+12−(η+1) 2 −4η(1−r)2λ 3 = −bD’après le théorème de linéarisation le point (0, 0, 0) est stable pour r < 1 (régime stationnaire).Lorque r > 1 le point (0, 0, 0) perd sa stabilité : il y a bifurcation.On passe donc d’une solution stationnaire à deux solutions stationnaires correspondantesaux points fixes x = y = ± √ η(r − 1).Explication physique :– X est lié à la vitesse angulaire de rotation des rouleaux de convection.– Y est lié au gradient de température.– Le paramètre r, nombre de Rayleight, est responsable de l’apparition d’un phénomèneconvectif et aussi d’un changement d’état du système.Ce type de bifurcation s’appelle bifurcation fourche.Les deux nouvelles solutions perdent leurs stabilités quand r = 24, 74, mais un état chaotiqueapparait dès que r > 24, 06.En réalité 3 états coexistent entre r = 13, 926 et r = 24, 74 :– les deux solutions stationnaires de ]1; 24, 74[– chaos métastable pour r ∈ [13, 926; 24, 06] : certaines trajectoires sont temporairementchaotiques avant de converger vers un point fixe.– un régime correspondant à une ’bifurcation de Hopf sous critique’ (c’est àdire 2 valeurs propres du gradient sont complexes et conjuguées), donnantlieu à une trajectoire spirale pour r ∈ [13, 926; 24, 74].Le choix de l’un ou l’autre des états est déterminé par le choix des conditions initiales.Bibliographie : [19]