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La théorie de Galois 9Enfin, le 31 mai 1832, après un duel l’opposant à un officier, Galois succombe à sesblessures (Certains croient que ce duel a en fait été organisé par la police secrète). La nuitprécédente, sentant sa fin proche, il avait veillé afin d’écrire son testament mathématique,envoyé ensuite, sous forme de lettres, à son ami Auguste Chevalier. Il lui avait égalementdemandé de faire imprimer ses écrits dans la Revue Encyclopédique.E. Galois n’ayant pu détailler son raisonnement en une seule nuit, ses écrits restèrentincompris jusqu’en 1843. Ils seront publiés en 1846 par Liouville, fondateur du Journaldes mathématiques pures et appliquées, qui affirme que Galois a complété le théorèmed’Abel sur l’impossibilité de résoudre les équations du cinquième degré par radicaux.Il est aujourd’hui considéré comme l’inventeur de la théorie des groupes, notion développéeensuite par Cauchy. Son travail sur la théorie des équations algébriques fut soumis àl’Académie des Sciences et examiné par Poisson, qui ne le comprit pas.Si l’histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, l’idéed’associer un groupe à cette équation n’apparaît qu’au XVIII e siècle. En effet, Joseph-LouisLagrange (1736–1813) met en évidence la relation entre un groupe de permutations desracines et la possibilité de résolution d’une équation de degré 3 ou 5.E. Galois a d’ailleurs étudié les travaux de Lagrange lorsqu’il était en classe préparatoire.Paolo Ruffini (1765–1822) est le premier à comprendre que l’équation générale, etparticulièrement celle de degré 5, n’admet pas de solution. Il utilise pour cela les propriétéssur les groupes de permutation.Ensuite, Niels Henrik Abel (1802–1829) expose la preuve rigoureuse de l’impossibilitéde la résolution des équations de degré 5 et envisage le même résultat pour un degrésupérieur à 5 mais ne trouve pas de preuve parfaite. Ses travaux sont d’abord jugés sansintérêt par Gauss et Cauchy mais ce dernier finit par s’y interesser, ce qui permet à Abeld’obtenir le Grand Prix de Mathématiques de l’Académie des Sciences, à titre posthume.Finalement, il manque encore trois éléments dans cette théorie : une preuve rigoureuse,la condition nécessaire et suffisante de résolvabilité de l’équation et la compréhension profondedes mécanismes qui rendent possible la résolvabilité.[Tit82, Gal08, Dup92, Wik3, Wik4]1 Les groupesCommençons par rappeler quelques résultats sur les groupes, qui nous seront utilespour mieux expliquer la notion de groupe de Galois.1.1 Structure de groupeÉnonçons quelques définitions élémentaires sur les groupes.Définition 1.1 (Groupe). Soit G un ensemble non vide, muni d’une loi de compositioninterne définie par (x, y) ↦→ x · y. On dit que la loi · définit sur G une structure de groupe,ou que G est un groupe relativement à cette loi, si les trois axiomes suivants sont vérifiés :