Untitled

La théorie du chaos 1074.2 Transition vers le chaos.Comme on l’avait vu à travers l’exemple de la fonction logistique dans l’introduction, l’apparitiond’un phénomêne chaotique n’est pas immédiat, il passe par des bifurcations, c’està dire des changements d’état brusque du système.Les bifurcations sont causées par la variation des paramètres de contrôle, ce sont donc euxqui sont responsables de la nature du système.Par exemple, pour l’application logistique, le paramètre ’r’, représentant le facteur de croissance,détermine l’aspect chaotique ou non.Pour le modèle de Lorentz, le paramètre de contrôle est le nombre ’r’(Rayleight), et c’estsuivant la valeur de ce paramètre que le système évoluera suivant plusieurs bifurcationsvers un état chaotique. Modifier ce paramètre permetrait donc d’empêcher l’apparitiond’un phénomène chaotique et pourrait permettre de prédire l’évolution des mouvementsde l’atmosphère, donc de la météo.On avait déjà illustré les différentes bifurcations dans la partie 2 pour le modèle de Lorentz,à savoir :– r < 1 : régime stationnaire, un point fixe.– 1 < r < 24, 06 : deux solutions stationnaires, bifurcation fourche.– r ∈ [13, 926; 24, 06] : chaos métastable.– r > 24, 06 : état chaotique.On peut résumer ces différents états à l’aide du diagramme de bifurcation suivant :Fig. 22 – Diagramme de bifurcation du système de Lorentz.Le passage d’un état à un autre est causé par un changement de stabilité des points fixes.On avait vu dans la partie 2 que les points fixes du système de Lorentz étaient : x = y =z = 0, z = r − 1 et x = y = ± √ η(r − 1).