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La théorie du chaos 105Proposition 5.Soient Ω un espace topologique, µ une mesure sur Ω et ϕ une application de Ω dansΩ qui préserve la mesure µ. On suppose de plus que ϕ est ergodique.Alors : pour presque tout x ∈ µ : supp{x} ∈ ω(x).Or on peut trouver un sous ensemble dénombrable de supp{x} dense dans Ω.Comme supp{x} est inclu dans Ω on a : ω(x) = Ω.Donc l’application ϕ est topologiquement transitive.On peut aussi montrer que si ϕ est ergodique alors l’orbite d’un point périodique deΩ est dense dans Ω.Donc si un système est chaotique au sens ergodique il l’est également au sens topologique.2. Chaos topologique implique chaos ergodique?On suppose que ϕ est topologiquement transitive donc : il existe x ∈ Ω tel que l’orbitede x est dense dans Ω, ie : orb{x}=Ω. ¯On vérifie maintenant que ∀x ∈ Ω : la trajectoire de x est ergodique, c’est à dire :∀x ∈ Ω : ∀A ∈ β tel que ϕ −1 (A) = A alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 1Soit A ∈ Ω tel que : ϕ −1 (A) = A, alors :(a) Si ∃x ∈ A tel que : orb{x} soit dense dans Ω alors :ϕ(x) ∈ A donc : ϕ k (x) ∈ ADonc orb{x} ⊂ A ⊂ ΩDonc A est dense dans Ω : Ā = ΩMontrons que µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 :– si µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 : ok.– si µ(A) ≠ 0 et µ(A) ≠ 1 :– si suppµ ⊂ A alors :A c ⊂ supp c µµ(A c ) µ(supp c µ)1 − µ(A) 0µ(A) = 1contradictionDonc µ(A) = 0 ou µ(A) = 1– sinon : on admet que sa marche également.(b) Si ∄x ∈ A tel que : orb{x} soit dense dans Ω alors : on refait la même chose enpassant au complémentaire.Donc si ϕ est topologiquement transitive alors ϕ est ergodique.C’est à dire que si un système dynamique est chaotique au sens topologique alors ill’est aussi au sens ergodique.On a donc équivalence entre chaos topologique et ergodique.Bibliographie : [18] [14]