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104 Geoffrey NichilDéfinition 19.Soit ( Ω; ϕ ) un système dynamique topologique où Ω est un espace métrique muni de ladistance d.On dit que la transformation ϕ est sensible aux conditions initiales si :∃ε : ∀x ∈ Ω, ∀V ⊂ Ω voisinage de x : ∃y ∈ V et ∃n 0 tel que d(ϕ n (x); ϕ n (y)) > ε3.3 Définition topologique du chaos.Nous pouvons maintenant donner la défnition topologique du chaos :Définition 20.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Le système dynamique précedent est chaotique si :1. ϕ est sensible aux conditions initiales.2. ϕ est topologiquement transitive.3. l’orbite de tout point périodique est dense dans Ω.3.4 Equivalence entre chaos topologique et ergodique ?On considère un système dynamique topologique (Ω, ϕ), où Ω est un espace topologique etϕ une application continue de Ω dans Ω. On considère la tribu β induite par la topologiesur Ω et la mesure induite µ.On suppose que l’application ϕ préserve la mesure µ (ϕ est bien mesurable car ϕ estcontinue) et que µ(Ω) = 1On a donc le système dynamique mesuré suivant : (Ω, β, µ, ϕ).La propriété de sensibilité aux conditions initiales est commune aux deux définitions duchaos.1. Chaos ergodique implique chaos topologique?On suppose que ϕ est ergodique.Montrons que ϕ est topologiquement transitive.On définit tout d’abord l’ensemble, ω-limite, des valeurs d’adhérence de la suite{ϕ k (x)} par :ω(x) = {y ∈ Ω : ∃k i : lim ki →∞ϕ k i(x) = y}ω(x) = ⋂ k¯ {ϕ n (x), n k}On a le résultat suivant :