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102 Geoffrey Nichil3 Approche topologique.Le mot « topologie »vient de la contraction des mots grecs ’topos’ et ’logos’ signifiant respectivement’lieu’ et ’étude’. Littéralement la topologie signifie « l’étude du lieu ».Cette branche des mathématiques traite de l’étude des déformations spatiales par des transformationscontinues, sans arrachage ni recollement des structures.Dans cette partie on donnera une définition topologique du chaos pour les systèmes dynamiquestopologiques.Définition 15.Soient Ω un espace topologique et ϕ une application continue de Ω dans Ω.On appelle système dynamique topologique le couple ( Ω; ϕ ).Cette définition repose sur des principes analogues à la définition ergodique du chaos.On introduit dans un premier temps les notions utiles à la définition.3.1 Transformation topologiquement transitive.On définit pour ce faire la notion correspondante à l’ergodicité pour les systèmes topologiques.Définition 16.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation minimale si :∀x ∈ Ω on a {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans ΩRemarque.Une orbite {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans Ω si sa fermeture est égale à Ω.Il existe une notion plus faible que celle de transformation minimale. En effet,Définition 17.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation topologiquement transitive si :∃x ∈ Ω on a {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans ΩOn a également :Proposition 2.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.ϕ est une transformation topologiquement transitive si et seulement si :∀U, V ∈ Ω, ouverts non vides, ∃k : ϕ k (U) ∩ V ≠ ∅
La théorie du chaos 103Illustration :Fig. 20 – Application transitive.Proposition 3.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Si ϕ est une transformation minimale alors ϕ est topologiquement transitive.Preuve.EvidentIl existe une notion plus forte que celle que nous venons de définir et qui est l’analogue du’mélange’ dans les systèmes mesurés.Définition 18.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation topologiquement mélangeante si :∀U, V ∈ Ω, ouverts non vides, ∃k, ∀n k : ϕ n (U) ∩ V ≠ ∅Proposition 4.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Si ϕ est une transformation mélangeante alors ϕ est topologiquement transitive.Preuve.d’après la proposition 4.13.2 Sensibilité aux conditions initiales.On rapelle pour terminer, le principe de sensibilité aux conditions initiales :
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Travail d’initiative personnelle
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Table des matièresOphélie Cinarel
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8 Ophélie Cinarelli - Emanuelle Cl
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10 Ophélie Cinarelli - Emanuelle C
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26 Cédric MollIntroductionLes hami
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28 Cédric MollFig. 3 - Le pendule
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30 Cédric Moll2. La fonction hamil
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32 Cédric MollRevenons alors à la
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34 Cédric MollConclusionLe systèm
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36 Cédric Mollou est-ce qu’elles
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38 Cédric MollDémonstration. Comm
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40 Cédric Moll2. On calcule l’é
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44 Cédric Molld’oscillation auto
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48 Paul MonnotUn graphe est dit com
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50 Paul Monnot[Meny, J-C Fou, Koh]
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Page 82 and 83: 80 Geoffrey Nichilde ces systèmes.
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152 Émilie Legendre - Audray Langb
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