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La théorie du chaos 101{x ↦−→2x six ∈ [0, 1 2 [2x − 1 six ∈ [ 1 2 , 1[1. Montrons tout d’abord que l’application ϕ préserve la mesure de Lebesgue.L’image réciproque d’un intervalle [a, b] par ϕ est une réunion disjointe de 2 intervallesde longueur b−a . La transformation conserve donc la mesure de lebesgue2car :λ(ϕ −1 ([a, b])) = λ([a, b]) = b − a.2. Montrons que cette application est mélangeante.Soit A un intervalle dyadique de la forme : [k2 −n , k + 2 −n [, n ∈ N, 0 < k < 2 n − 1Cette intervalle engendre la tribu de Borel.L’ensemble ϕ − N[k2 −n , (k + 1)2 −n ] est composé des 2 N intervalles suivant : [(k +i2 n )2 −(n+N) , (k + 1 + i2 n )2 −(n+N) [ pour i ∈ NSi n+N > n ′ , l’intersection de ces intervalles avec : B = [k ′ 2 −n′ , k ′ +2 −n′ [ est constituéde 2 N−n′ intervalles de longueur 2 −n−N ce qui donne : µ(B ∩ ϕ −n (A)) = µ(A)µ(B)Donc l’application ϕ est mélangeante, le système est donc mixing et d’après le corollaire3 le système est ergodique.2.4 Définition du chaos ergodique.Nous allons maintenant essayer de définir le chaos ergodique :Définition 14.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.On dit que ce système est chaotique au sens ergodique si il vérifie les deux propriétéssuivantes :1. Sensibilité aux conditions initiales.2. Pour µ presque tout x ∈ Ω la trajectoire de x est ergodique.Remarque.La première propriété signifie que si l’on perturbe, même infiniment, les données initiales,alors la trajectoire final du système sera complètement modifiée.Bibliographie : [07] [12] [13] [14] [15] [16] [17]