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100 Geoffrey NichilFig. 18 – Shaker.Preuve.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mixing.On considère un sous ensemble mesurable et invariant A de Ω.Posons B = Ω − A, on a alors :Comme le système est mixing :ϕ s (A) ∩ B = A ∩ B = ∅µ(A)µ(B) = 0 ⇔ µ(A) µ(Ω \ A) = 0 ⇔ µ(A)(µ(Ω) − µ(A)) = 0 ⇔ µ(A)(1 − µ(A)) = 0D’ou : µ(A) = 0 ou 1.Donc le système est ergodique.Cette notion, bien plus générale que l’ergodicité, sera cependant plus facile à démontrer.Exemple de système ergodique.Exemple 1 : Système non ergodique.Fig. 19 – Exemple de système décomposable.Exemple 2 : Système ergodiqueSoit le système mesuré ([0, 1[, β, λ) où β est la tribu de Borel et λ la mesure de Lebesgue.On considèreϕ : [0, 1[−→ [0, 1[