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La théorie du chaos 99Par contraposé :Supposons que le système n’est pas ergodique Il existe donc une fonction f dontla moyenne temporelle f ∗ dépend de x.Posons : M 1 = {x : f ∗ (x) < a} et M 2 = {x : f ∗ (x) a}On peut choisir a tel que µ(M 1 ), µ(M 2 ) > 0, et d’après le 2) du théorème deBirkhoff on a : ϕ(M 1 ) = M 1 et ϕ(M 2 ) = M 2 .On en déduit que µ(M 1 ) et µ(M 2 ) sont différentes de 0.Donc le système est décomposable.Transformation mélangeanteNotons qu’il existe une notion plus forte et plus compréhensible que l’ergodicité, elle estappelée ”mixing”.Définition 13.Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) est mixing si :Remarque.∀A, B ∈ β, lims→+∞ µ(ϕs (A) ∩ B) = µ(A)µ(B)1. Si le système est mixing, la mesure ϕ est appelée transformation mélangeante.2. Si on veut montrer qu’une transformation est mélangeante il suffit de le vérifier pourtout ensemble A et B appartenant à une famille qui engendre la tribu β.Exemple :On considère un shaker Ω rempli par des liquides incompréssibles : 90% demartini et 10% de gin. Supposons que le gin occupe à l’état initial une portionA( en noir sur le dessin). Après n agitations ϕ, le gin occupe ϕ n (A) de Ω.Le fait que le système considéré soit mixing implique qu’après le mélange onretrouvera la même proportion de gin et de martini.( cf figure 18)Corollaire 3.Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) mixing est ergodique.