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98 Geoffrey NichilD’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue :Donc :∫ N−11 ∑∫lim 1 A (ϕ n )1 B =N→+∞Ω NlimN→+∞n=0limN→+∞limN→+∞limN→+∞1N1N1NN−1∑n=0N−1∑n=0N−1∑n=0N−11 ∑Nn=0∫∫∫ΩΩΩΩlimN→+∞∫1 A (ϕ n )1 B =N−11 ∑NΩn=0µ(A)1 B1 ϕ −n (A)1 B = µ(A)µ(B)1 ϕ −n (A)∩B = µ(A)µ(B)µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)1 A (ϕ n )1 B′ ←− ′ Supposons que :N−11 ∑∀A, B ∈ β : lim µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)N→+∞ Nn=0Soit C ∈ β tel que : ϕ −1 (C) = C.On remplace A et B par C, on obtient :limN→+∞N−11 ∑Nn=0µ(C) = µ(C) 2C’est à dire : µ(C) = µ(C) 2 . Donc ϕ est ergodique.On énonce maintenant un corollaire du théorème précedent reliant les notions de systèmesergodiques et de systèmes indécomposables.Corollaire 2.Un système dynamique mesuré ( Ω; β ; µ; ϕ ) est ergodique si et seulement si : il estindécomposable, au sens où tout ensemble invariant de Ω est de mesure nulle.Preuve.”→””←”évident car ϕ est ergodique.