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Travail d’initiative personnelle encadréUniversité de Metz – UFR MIM

Préfacepar Nicolas Prudhon, enseignant-chercheurLe Travail d’Initiative Personnelle Encadré (TIPE) de mathématiques a été mis enplace à l’université Paul Verlaine de Metz dès l’année universitaire 2005–2006. Proposéaux étudiants de troisième année, ceux-ci sont invités à choisir un sujet de TIPE qu’ilstraiteront tout au long l’année en l’approfondissant progressivement. A l’issue de l’année,ils ont composé un texte mathématique complet, et présentent alors leur travail lors d’unexposé oral.L’objectif de ce travail est de permettre aux étudiants de se confronter à la réalitémathématique du chercheur : composer d’abord une bibliographie cernant le sujet, repérerles théorèmes fondamentaux, leurs liens aux applications annoncées, puis comprendre lesdémonstrations et les rédiger en détail, ce qui est rarement le cas dans les ouvrages disponibles; enfin écrire une introduction, invitant le lecteur à entrer dans le texte, en situantles aspects historiques, les applications avérées ou potentielles, et au besoin en détaillantun exemple simple, le fameux ”toy model”. Au cours d’un travail progressif, les étudiantsapprennent ainsi à composer un texte mathématique structuré : chaque section regroupeles définitions, les théorèmes et biensûr les démonstrations se rapportant à une notionbien déterminée. Depuis sa phase de conception (recherche d’ouvrages à la bibliothèques,d’articles de vulgarisation trouvés sur internet notamment) jusqu’à la mise en page tipographiquedes articulations du corpus mathématique (les citations et renvois), tous lesaspects de l’écriture des mathématiques sont abordés et doivent permettre de mener cetravail à sa finalité : la mise en lumière des démonstrations.Les textes présentés dans ce livret sont le fruit du travail des étudiants tels que ceux-ciont été écrits. Seule une uniformisation de la typographie a été réalisée, après transcriptiondes textes au format L A TEX. Cette tâche fastidieuse n’a pu être réalisée que grâce à laparticipation essentielle de Cédric Moll, sans qui la présentation du présent livret auraitété impossible. Qu’il en soit remercié. Ne pas modifier les écrits des étudiants, en respectantleurs éventuelles erreurs ou imperfections, est aussi une façon de rendre compte des efforts etde l’énergie qu’ils ont mis dans leurs réalisations en montrant le cheminement du véritabletravail mathématique. Cela m’évoque une question qu’un jour un examinateur me posa :qu’est-ce que ”faire des mathématiques” ? La colle ! Question si hardue que, pétrifié pourle reste de l’examen, je fus recallé. Et c’est seulement aujourd’hui, à la lumière du travaildes étudiants que j’ai aidés, que je commence à entrevoir une réponse : et si au fond, onne faisait pas de mathématiques, mais plutôt que ce sont les mathématiques qui font lesmathématiciens. Car pendant que les intemporelles mathématiques ne bougeaient pas d’uniota, les étudiants – par leur travail, leurs questions, leurs hésitations, puis leur réussite– se laissaient toucher par les mathématiques, consentaient à ce qu’elles fassent d’eux desmathématiciens accomplis. Les enseignants que nous sommes témoignent de leur cheminparcouru, sur lequel nous les avons invités puis guidés.Enfin, un grand merci aux étudiants qui ont contribué à l’édition de cet ouvrage, enacceptant que soient publiés leurs écrits : voici donc le meilleur du TIPE de l’université deMetz !3

Table des matièresOphélie Cinarelli – Émanuelle Cloître,La théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Cédric Moll,Systémes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Paul Monnot,Algorithmes Labyrinthiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Geoffrey Nichil,La Théorie du Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Émilie Legendre – Andray Langbach – Anaïs Schneider,Ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Marilyne Jaytener – Lydie-Anne Wagner,La géométrie non euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735

LATHÉORIE DE GALOISOphélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreL3 MathématiquesTravail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E.Année 2007 - 2008Table des matièresIntroduction 81 Les groupes 91.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Groupes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Les corps 122.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Extensions algébriques et transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Extensions séparables et normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Résolution des équations par radicaux 173.1 Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Equations résolubles par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Exemple d’équation non résoluble par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . 217

8 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreIntroductionNotre intérêt pour la théorie de Galois (fondamentale dans la théorie des groupes) atout d’abord été suscité par l’incroyable histoire de son auteur, mathématicien français,mort à seulement 20 ans.Parlons désormais du contexte historique, dans lequel vivait Evariste Galois (1811–1832). La restauration s’installe en France en 1814, à la chute de l’empire de NapoléonI er . La France voit alors se succéder au pouvoir Louis XVIII puis son frère, Charles X.Cette restauration de la monarchie s’achève en 1830, lors de la révolution surnommée”Les Trois Glorieuses ”. Elle permet à Louis Philippe d’Orléans, issu de la bourgeoisie, dediriger la France jusqu’en 1848. Il incarne l’opposition et l’innovation constitutionnelle ense déclarant Roi des Français et non plus Roi de France, pour prouver son attachement aupeuple.C’est sous son règne que la France commence à s’industrialiser et que les grandesfamilles bourgeoises s’affirment. pagecolor=black, Alors qu’il est interne au lycée parisienLouis le Grand, Galois trouve une condition nécessaire et suffisante pour qu’une équationpolynomiale à coefficients fixes soit résoluble par radicaux.Malgré son génie certain pour les mathématiques, il échoue deux fois à l’oral d’entrée del’Ecole Polytechnique (qui nécessitait à l’époque des cours privés). Pour la petite anecdote,on raconte que les questions de l’examinateur auraient été trop simples pour lui et qu’illui aurait jeté le chiffon pour effacer la craie en pleine tête. Il intègre finalement l’Ecolepréparatoire, qui formait des instituteurs et qui devient l’Ecole Normale Supérieure en1830.Etant un républicain très engagé, Evariste Galois est renvoyé de l’école en janvier1831. La même année, il est emprisonné pendant dix mois, pour avoir manqué de respectenvers Louis-Philippe d’Orléans, alors à la tête de la France.

La théorie de Galois 9Enfin, le 31 mai 1832, après un duel l’opposant à un officier, Galois succombe à sesblessures (Certains croient que ce duel a en fait été organisé par la police secrète). La nuitprécédente, sentant sa fin proche, il avait veillé afin d’écrire son testament mathématique,envoyé ensuite, sous forme de lettres, à son ami Auguste Chevalier. Il lui avait égalementdemandé de faire imprimer ses écrits dans la Revue Encyclopédique.E. Galois n’ayant pu détailler son raisonnement en une seule nuit, ses écrits restèrentincompris jusqu’en 1843. Ils seront publiés en 1846 par Liouville, fondateur du Journaldes mathématiques pures et appliquées, qui affirme que Galois a complété le théorèmed’Abel sur l’impossibilité de résoudre les équations du cinquième degré par radicaux.Il est aujourd’hui considéré comme l’inventeur de la théorie des groupes, notion développéeensuite par Cauchy. Son travail sur la théorie des équations algébriques fut soumis àl’Académie des Sciences et examiné par Poisson, qui ne le comprit pas.Si l’histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, l’idéed’associer un groupe à cette équation n’apparaît qu’au XVIII e siècle. En effet, Joseph-LouisLagrange (1736–1813) met en évidence la relation entre un groupe de permutations desracines et la possibilité de résolution d’une équation de degré 3 ou 5.E. Galois a d’ailleurs étudié les travaux de Lagrange lorsqu’il était en classe préparatoire.Paolo Ruffini (1765–1822) est le premier à comprendre que l’équation générale, etparticulièrement celle de degré 5, n’admet pas de solution. Il utilise pour cela les propriétéssur les groupes de permutation.Ensuite, Niels Henrik Abel (1802–1829) expose la preuve rigoureuse de l’impossibilitéde la résolution des équations de degré 5 et envisage le même résultat pour un degrésupérieur à 5 mais ne trouve pas de preuve parfaite. Ses travaux sont d’abord jugés sansintérêt par Gauss et Cauchy mais ce dernier finit par s’y interesser, ce qui permet à Abeld’obtenir le Grand Prix de Mathématiques de l’Académie des Sciences, à titre posthume.Finalement, il manque encore trois éléments dans cette théorie : une preuve rigoureuse,la condition nécessaire et suffisante de résolvabilité de l’équation et la compréhension profondedes mécanismes qui rendent possible la résolvabilité.[Tit82, Gal08, Dup92, Wik3, Wik4]1 Les groupesCommençons par rappeler quelques résultats sur les groupes, qui nous seront utilespour mieux expliquer la notion de groupe de Galois.1.1 Structure de groupeÉnonçons quelques définitions élémentaires sur les groupes.Définition 1.1 (Groupe). Soit G un ensemble non vide, muni d’une loi de compositioninterne définie par (x, y) ↦→ x · y. On dit que la loi · définit sur G une structure de groupe,ou que G est un groupe relativement à cette loi, si les trois axiomes suivants sont vérifiés :

10 Ophélie Cinarelli – Emanuelle Cloître(G1) la loi · est associative;(G2) il existe dans (G, ·) un élément neutre e;(G3) tout élément de (G, ·) est symétrisable.Définition 1.2 (Sous-groupe). G étant un groupe, une partie non vide H de G est un sousgroupe de G si :– ∀(x, y) ∈ H × H, x · y ∈ H– ∀x ∈ H, x −1 ∈ HThéorème 1.3. Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sous groupe deG si et seulement si :∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ HDéfinition 1.4 (Groupe distingué). Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est ditdistingué dans G si et seulement si ∀g ∈ G, gHg −1 = HDéfinition 1.5 (Morphisme de groupes). Étant donné deux groupes (G, ·) et (G′ , ∗), unmorphisme de groupes de G dans G ′ est une application f : G → G ′ telle que, quels quesoient x et y dans G, on ait : f(xy) = f(x) ∗ f(y).Un morphisme de groupes est aussi appelé homomorphisme de groupes.Définition 1.6 (Groupes finis).Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le cardinal deG s’appelle l’ordre du groupe G; il est noté |G|.Notation. On notera [G : A] = card(G/A), appelé indice de A dans G.[Cal98, Chap.1, p17][Tau07, p51]Voyons, à present, ce que l’on peut dire sur les groupes résolubles.1.2 Groupes résolublesDéfinition 1.7. Soit G un groupe.(i) Si (x, y) ∈ G 2 , on appelle commutateur de x et y l’élément x · y · x −1 · y −1 .(ii) Le groupe dérivé de G, noté D(G), est le sous-groupe de G engendré par les commutateursd’éléments de G.(iii) On appelle suite dérivée de G la suite (D n (G)) n0de sous-groupes de G définie parD 0 (G) = G et ∀n 0, D n+1 (G) = D (D n (G)).Définition 1.8. Soit (G, ·) un groupe. On dit que G est résoluble s’il existe n ∈ N tel queD n (G) = {e}.Lemme 1.9. Soit (G, ·) un groupe fini non réduit à {e}. G est résoluble si et seulements’il existe une suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telsque ∀0 i m − 1, G i /G i+1 soit cyclique d’ordre premier.

La théorie de Galois 11Démonstration. [Tau07, p184]Proposition 1.10. Soit (G, ·) un groupe. Si G est fini d’ordre premier, il est cyclique ettout élément de G distinct de e engendre G.Raisonnons par récurrence sur N, l’ordre de G. Si N ∈ {2, 3}, G est cyclique d’aprèsla proposition précédente car 2 et 3 sont premiers et on a le résultat.Supposons donc N 4.Définition 1.11. On dit qu’un groupe (G, ·) est simple si les seuls sous-groupes distinguésde G sont {e} et G.Si G est simple, son groupe dérivé étant distingué, il est réduit à {e}, car G est résoluble.Alors, G est abélien et il est clair qu’il est cyclique d’ordre premier.Supposons G non simple. Soit H un sous-groupe distingué de G distinct de {e} et deG. Comme H et K = G/H sont résolubles, l’hypothèse de récurrence implique l’existencedes suites normales : H = H 0 ⊃ H 1 ⊃ · · · ⊃ H p = {e} et K = K 0 ⊃ K 1 ⊃ · · · ⊃ K r = {e}à quotients successifs cycliques d’ordres premiers.Les groupes K i s’écrivent G i /H, où les G i sont des sous-groupes contenant H, et oùG i+1 est distingué dans G i . D’autre part G i /G i+1 est isomorphe à K i /K i+1 .Dans ces conditions, la suite G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G r = H = H 0 ⊃ H 1 ⊃ · · · ⊃ H p ={e} vérifie les propriétés voulues.Réciproquement :Proposition 1.12. Soit (G, ·) un groupe. Alors G est résoluble si et seulement s’il existeune suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telle que G i /G i+1soit abélien pour 0 i m − 1.La réciproque est donc immédiate d’après cette proposition.[Cal98, p235][Tau07, p55][Goz97, p159]Qu’appelle-t-on groupe symétrique?1.3 Groupes symétriquesDéfinition 1.13. Pour n ∈ N \ {0}, l’ensemble S n des bijections de [1; n] dans lui-même(permutations de [1; n]), muni de la loi de composition des applications, est un groupeappelé le groupe symétrique d’indice n.[Cal98, p105][Tau07, p58][Goz97, p162]Afin de comprendre la théorie de Galois, parlons maintenant des corps.

12 Ophélie Cinarelli – Emanuelle Cloître2 Les corpsVoici donc des résultats sur les corps.2.1 GénéralitésGénéralités sur les corpsDéfinition 2.1. On dit que (A, +, ×) est un anneau si :(i) (A, +) est un groupe commutatif;(ii) × est associative et distributive par rapport à +.Proposition 2.2. Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) Tout élément non nul de A est inversible.(ii) L’ensemble A \ {0} des éléments non nuls de A, muni de la multiplication, est ungroupe.Si ces conditions sont vérifiées, on dit que A est un corps.Proposition 2.3. Tout corps est un anneau intègre.Proposition 2.4. La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier.[Goz97, Chap.1, p1]Définissons à présent une extension de corps, notion à la base de la théorie de Galois.Notion d’extensions de corps (et degré d’extension)Définition 2.5. Soit K un corps. On appelle extension de K tout corps L tel qu’il existeun homomorphisme de corps, j, de K dans L.Notation. ”L/K” signifie ”le corps L est une extension du corps K”.Exemple 2.6. L = Q[ √ 3] = { a + √ 3b, a ∈ Q, b ∈ Q } une extension de corps sur Q.Définition 2.7. Soient K un corps, L une extension de K. On appelle degré de l’extensionL de K et on note (L : K) la dimension de L comme K-espace vectoriel.Définition 2.8. Etant donné un polynôme f(X) non constant dans K[X], on appelleracorps de décomposition de f sur K, toute extension L de K vérifiant :(i) K ⊆ L et f(X) est scindé sur L.(ii) (K ⊆ L ′ ⊆ L et f(X) scindé sur L ′ ) ⇒ (L ′ = L).[Cal06, Chap.1,pp1-36][Tau07, Chap.4, p77][Goz97, Chap.2, p21]

La théorie de Galois 13Corps finiThéorème 2.9. Soit F un corps fini. Alors,(i) sa caractéristique est un nombre premier p;(ii) il existe n ∈ N \ {0} tel que Card(F) = p n .Théorème 2.10 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.[Cal06, p55][Tau07, p111][Goz97, p81]Que peut-on dire des extensions algébriques et des extensions transcendantes?2.2 Extensions algébriques et transcendantesExtensions algébriques (et élément algébrique)Définition 2.11. Soit L une extension d’un corps K, µ un élément de L et K(µ) l’extensionde K obtenue par l’adjonction de µ. L’élément µ est dit algébrique sur K, s’il existeun polynôme non constant f(X), dans K[X], tel que f(µ) = 0. Dans ce cas, on dit queK(µ) est une extension simple, algébrique de K.Définition 2.12. Une extension L d’un corps K est dite algébrique si tout élément de Lest algébrique sur K. On dit également que L est algèbrique sur K.Théorème 2.13. Etant donné une extension de corps L/K, si µ est un élément de L,algèbrique sur K, alors :(i) Il existe un unique polynôme P(X) unitaire et irréductible dans K[X] tel que(f(X) ∈ K[X] \ {0} et f(µ) = 0) ⇒ P(X) | f(x) dans K[X](ii) L’extension simple K(µ) vérifie l’égalité K(µ) = {f(µ) : f(X) ∈ K[X]}(iii) (K(µ) : K) = deg P[Cal06, p11][Tau07, p79][Goz97, p30]Extensions transcendantes (et élément transcendant)Définition 2.14. Soit L une extension d’un corps K, µ un élément de L et K(µ) l’extensionde K obtenue par l’adjonction de µ. L’élément µ est dit transcendant sur K, si µn’est pas algèbrique sur K, donc, si ∀f(X) ∈ K[X] \ K, f() ≠ 0.On dit alors que K(µ) est une extension simple, transcendante de K.

14 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreDéfinition 2.15. Une extension L du corps K est dite transcendante si elle n’est pasalgébrique.Théorème 2.16. Toute extension simple, transcendante K(µ) de K est K-isomorphe àl’extension K(X) de K où K(X) est le corps des fractions rationnelles à une indéterminéesur K. Plus précisément, il existe un isomorphisme f de K(X) sur K(µ) tel que f |K = id Ket f(X) = µ.[Cal06, p11][Tau07, p79][Goz97, p30]Parlons alors des extensions séparables et normales, qui permettront, par la suite, dedéfinir une extension galoisienne.2.3 Extensions séparables et normalesExtensions séparablesDéfinition 2.17.(i) On dit qu’un polynôme irréductible de K[X] est séparable sur K s’il n’a que desracines simples dans un corps de décomposition sur K.(ii) Un polynôme irréductible de K[X], qui n’est pas séparable sur K, sera dit inséparablesur K.Proposition 2.18. Soit K un corps. Soit P ∈ K[X] un polynôme de deg 1. On noteD K (P) le corps de décomposition de P sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) P et P ′ sont premiers entre eux dans K[X];(ii) P et P ′ n’ont pas de racine commune dans D K (P);(iii) Dans toute extension L de K, P et P ′ n’ont pas de racine commune;(iv) P n’a pas de racine multiple dans D K (P);(v) P a deg(P) racines distinctes dans D K (P);(vi) P n’a que des racines simples dans toute extension L de K.Définition 2.19. Soit L extension de K. A tout élément µ ∈ L, avex µ algébrique sur K,on associe son polynôme minimal irr(µ, K, X), qui est un élément irréductible de K[X].On dit que µ est séparable sur K, si et seulement si, le polynôme minimal irr(µ, K, X) estséparable; et que µ est inséparable sur K dans le cas contraire.Définition 2.20. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est une extensionséparable (ou algébrique séparable) de K si et seulement si, tout élément de L est séparablesur K.

La théorie de Galois 15Définition 2.21. Soit L une extension de K. Soit y un élément de L. Le polynôme minimalde y est le polynôme unitaire, s’il existe, de plus bas degré à coefficients dans K, admettanty comme racine.[Cal06, p41][Tau07, p130][Goz97, p95]Extensions normalesDéfinition 2.22. Une extension L de K est dite normale sur K, si(i) L est algébrique sur K.(ii) Tout polynôme irréductible de K[X], qui a une racine dans L, est scindé sur L.Théorème 2.23. L étant une extension de K, alors L est normale et de degré fini sur Ksi et seulement si L est corps de décomposition sur K d’un polynôme de K[X].[Cal06, p39][Tau07, p145][Goz97, p124]Enfin, nous arrivons à la théorie de Galois en définissant le groupe de Galois, la correspondancede Galois et les extensions galoisiennes.2.4 Théorie de GaloisGroupe de Galois[Wik1, Esc04]Définition 2.24. Etant donné une extension L d’un corps K, on dit qu’un automorphismeσ du corps L est un K-automorphisme de L, si σ |K = id KDéfinition 2.25. On appelle groupe de Galois d’une extension L d’un corps K, le groupedes K-automorphismes de L.Notation. Le groupe de Galois d’une extension L du corps K sera noté Gal(L/K).Définition 2.26. Etant donné un polynôme P, non constant dans K[X] et D K [X] un corpsde décomposition de P sur K, le groupe de Galois Gal(D K (P)/K) est appelé groupe deGalois du polynôme P sur K.[Cal06, pp109-177][Tau07, p180][Goz97, p25]

16 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreCorrespondance de GaloisDéfinition 2.27. Soient K un corps, L une extension de K et Gal(L/K) le groupe deGalois. On note M l’ensemble des corps intermédiaires de l’extension, c’est à dire l’ensembledes corps M tels que K ⊆ M ⊆ L et G l’ensemble des sous groupes de Gal(L/K).Pour tout H ∈ G, on appelle invariant de H dans L, l’ensemble :Inv L (H) := {x ∈ L / forallσ ∈ H, σ(x) = x}Théorème 2.28 (Correspondance de Galois). Soit M une extension galoisienne de degréfini de K. Pour tout sous-groupe G de Gal(L/K), on note φ(G) le corps des invariants deG dans M. Alors φ est une bijection de l’ensemble H des sous-groupes de Gal(M/K) surl’ensemble des sous-corps de M contenant K. Le groupe G est le groupe de Galois de Msur φ(G). On a dim φ(G) = card(G) et (Gal(M/K) : G) = [φ(G) : K].Soit E l’ensemble des corps intermédiaires de l’extension et H l’ensemble des sousgroupesde Gal(M/K). L’application φ : H → E est décroissante lorsque E et H sontordonnés par inclusion.Soient K un corps, M une extension galoisienne de degré fini de K. Soit E un corpsintermédiaire. Si E est une extension galoisienne finie de K, alors Gal(E/K) est isomorpheau groupe quotient Gal(M/K)/Gal(M/E).[Cal06, p110][Tau07, p157,p161][Goz97, p133]Extensions galoisiennesDéfinition 2.29. On dit qu’une extension de corps L est galoisienne sur K si(i) L est algébrique sur K ;(ii) K = Inv L (Gal(L/K)).Théorème 2.30. L est une extension galoisienne de K si et seulement si L est normaleet séparable sur K. De plus, si L est de degré fini, on a |Gal(L/K)| = [L/K].Lemme 2.31. Soit ξ une racine primitive m-ième de l’unité. Posons S = {ξ}. Soit Mune extension galoisienne finie de K. Alors, l’extension M(S) de K(S) est galoisienne. Deplus, le groupe Gal(M(S)/K(S)) est isomorphe à un sous-groupe de Gal(M/K).Démonstration. [Tau07, p181] Posons Q ∈ K[X] \ K définit par Q(X) = X m − 1. Q estdonc séparable.Soit M une extension galoisienne finie de K.Proposition 2.32. Soit M une extension finie de K. L’extension M de K est galoisiennesi et seulement s’il existe P ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que M soit un corps dedécomposition de P sur K.

La théorie de Galois 17D’après cette proposition, il existe P ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que M soit uncorps de décomposition de P sur K. Alors, M(S) est le corps de décomposition de {P, Q}dans K car ξ est racine de Q. M(S) est aussi un corps de décomposition de {P, Q} surK(S).Théorème 2.33. Soit M une extension algébrique de K. Alors l’extension M de K estgaloisienne si et seulement s’il existe une famille F de polynômes de K[X] \ K séparablessur K, telle que M soit un corps de décomposition de F sur K.L’extension M(S) de K(S) est donc galoisienne.Enfin, appliquons la théorie de Galois à son intérêt premier, la résolution des équationspar radicaux.[Cal06, p118][Tau07, p155][Goz97, p130]3 Résolution des équations par radicauxVoyons, tout d’abord, des résultats sur les extensions radicales.3.1 Extensions radicalesDéfinition 3.1. Une extension L de K est dite radicale s’il existe et des entiers vérifiantles conditions suivantes :1. L = K(x 1 , ...,x n );2. notant L 0 = K et L i = K(x 1 , ...,x i ) pour 1 i n, on a alors x m ii ∈ L i−1 .Théorème 3.2. Si L est une extension radicale de K, Gal(L/K) est un groupe résoluble.[Cal06, p176][Tau07, p182][Goz97, p172]Traitons un exemple d’équation résoluble par radicaux.3.2 Equations résolubles par radicauxDéfinition 3.3. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K est une extension de corps. On dit que lepolynôme P est résoluble par radicaux ou que l’équation P = 0 est résoluble par radicaux,s’il existe une extension L d’un corps de décomposition de P sur K telle que L soit uneextension radicale de K.Proposition 3.4. Soit K un corps de caractéristique nulle. Si P ∈ (K[X] \ K) vérifiedeg P 5, alors P n’est pas résoluble par radicaux.

18 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreExemple d’équation résoluble par radicauxD’après la proposition précédente, choisissons un polynôme de degré inférieur ou égal à4. Considérons donc le polynôme irréductible de degré 2 à coefficients rationnels : P(X) =X 2 + 2. Alors, les racines de P sont i √ 2 et −i √ 2.Méthode 1 Le corps L = Q[i √ 2] = a + i √ 2.b, a ∈ Q, b ∈ Q = Q(1, i √ 2) est un corpsde décomposition de P sur Q. On note L 0 = Q, L 1 = Q(1) et L 2 = Q(1, i √ 2) , ( i √ 2 ) 2=−2 ∈ L 1 . On a donc bien l’existence de x 1 = 1, x 2 = i √ 2 et des entiers non nuls m 1 = 1et m 2 = 2 tels que : L = Q(1, i √ 2) et x m ii inL i−1 . Donc L est une extension radicale de Q.Donc en utilisant la définition précédente, l’équation est résoluble par radicaux.Méthode 2 On considère le même corps de décomposition de P que dans la méthode 1.On a P(X) = (X−i √ 2).(X+i √ 2) = X 2 −(i √ 2+(−i √ 2)).X+(i √ 2).(−i √ 2). Si on permuteles racines dans l’équation, celle-ci reste inchangée car i √ 2 + (−i √ 2) = −i √ 2 + i √ 2 = 0et i √ 2. − i √ 2 = −i √ 2.i √ 2. On pose T la permutation suivante :( √ √ ) i 2 −i 2T =−i √ 2 i √ 2Alors le groupe de Galois de P est {Id, T }. Les commutateurs de Gal(Q[i √ 2]/Q) sont dela forme Id.T.Id −1 .T −1 = Id qui est l’élément neutre de Gal(Q[i √ 2]/Q) donc on a bienl’existence d’un n = 0 tel que D n (Gal(Q[i √ 2]/Q)) = Id. Donc le groupe de Galois estrésoluble et donc d’après le théorème, P = 0 est résoluble par radicaux.Théorème 3.5 (Théorème de Galois). Soient K un corps de caractéristique nulle, P ∈(K[X] \ K) et D un corps de décomposition de P sur K. Alors, les assertions suivantessont équivalentes :(i) P est résoluble par radicaux;(ii) Le groupe Gal(D/K) est résoluble.Démonstration. [Tau07, p185] Soient K un corps de caractéristique nulle, P ∈ (K[X] \K)et D un corps de décomposition de P sur K. Montrons que (i) ⇒ (ii) : Supposons Présoluble par radicaux (i).Définition 3.6. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K est une extension de corps. On dit que lepolynôme P est résoluble par radicaux ou que l’équation P = 0 est résoluble par radicaux,s’il existe une extension E d’un corps de décomposition de P sur K telle que E soit uneextension radicale de K.D’après la définition 3.6, il existe une extension E du corps de décomposition D sur Ktelle que E soit une extension radicale de K.Définition 3.7. Etant donné un polynôme P(X) non constant dans K[X], on appelleracorps de décomposition de P sur K, toute extension D de K vérifiant :

La théorie de Galois 19(i) K ⊆ D et P(X) est scindé sur D.(ii) (K ⊆ E ⊆ D et P(X) scindé sur E) ⇒ E = D.Or, d’après la définition 3.7, D est la plus petite extension de K telle que P soit scindésur K. Donc D ⊂ E d’où D est une sous-extension d’une extension radicale.Proposition 3.8. Soit M une sous-extension d’une extension radicale E de K.Alors si car(K) = 0, le groupe Gal(M/K) est résoluble.Or, car(K) = 0 d’où, d’après la proposition 3.8, le groupe Gal(D/K) est résoluble (ii).Donc (i) ⇒ (ii).Montrons que (ii) ⇒ (i) :Supposons Gal(D/K) résoluble (ii).Proposition 3.9. Soit K un corps de caractéristique nulle. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K.Alors le corps de décomposition D de P sur K est une extension galoisienne finie.D’après la proposition 3.9, puisque car(K) = 0, D est galoisienne finie. Notons m sondegré, .Théorème 3.10. Soit M une extension de degré fini de K. Alors l’extension M de K estgaloisienne si et seulement si card(Gal(M/K)) = dim K M.Démonstration. [Tau07, p162]1) Supposons card(Gal(M/K)) = [M : K] = n.Proposition 3.11. Soient H et I des éléments de G. On suppose que H ⊂ I, quel’indice n de H dans I est fini, et que H est stationnaire. Alors I est stationnaire et ona [φ(H) : φ(I)] = n.On applique la proposition avec I = Gal(M/K) et H = {id M } ;et comme Ksubsetφ(Gal(M/K)), il vient : n = [M : K] [M : φ(Gal(M/K))] = (I :H) = n.D’où K = φ(Gal(M/K)) = M Gal(M/K) .Théorème 3.12. Soit M une extension algébrique de K. Alors l’extension M de Kest galoisienne si et seulement si K = M Gal(M/K) .Ainsi M est galoisienne sur K, d’après ce théorème.2) Réciproquement, d’après le théorème 2.28, on a le résultat.Donc, d’après le théorème 3.10, m = card(Gal(D/K)).Soit ξ une racine primitive m-ième de l’unité et L = K(ξ).D’où, d’après le lemme 2.31, D(ξ) est une extension galoisienne de L. Donc, d’après lethéorème 3.10, card(Gal(D(ξ)/L)) = dim L D(ξ). Posons s = dim L D(ξ).Proposition 3.13. En conservant les notations du lemme précédent, le groupe Gal(M/K)est résoluble si et seulement si le groupe Gal(M(S)/L) est résoluble.

20 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreOr, Gal(D/K) est résoluble (ii) d’où, d’après la proposition 3.13, le groupe Gal(D(ξ)/L)est résoluble. D’après le lemme 2.31, Gal(D(ξ)/L) est isomorphe à un sous-groupe deGal(D/K).Donc s divise m.Si p est un diviseur premier de m, L contient alors les racines p-ièmes de l’unité.Lemme 3.14. Soit (G, ·) un groupe fini non réduit à {e}. G est résoluble si et seulements’il existe une suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telsque G i /G i+1 soit cyclique d’ordre premier pour 0 i m − 1.Comme Gal(D/K) est résoluble, d’après le lemme 3.14, il existe une suite normale àquotients successifs d’ordre p i premiers.Donc les entiers p i divisent s.Or, s divise m donc les p i divisent m.Posons L i = φ(G i ). D’après le théorème 2.28, on a K = L 0 ⊂ L 1 ⊂ · · · ⊂ L r−1 ⊂ L r =D(ξ).Théorème 3.15. Soit M une extension galoisienne de degré fini de K et E une sousextensionde M. Alors E est une extension normale de K si et seulement si E est uneextension galoisienne de K.Or, D(ξ) est une extension galoisienne de degré fini de L et L i+1 est une extensionnormale de L i (car on a une suite normale).D’où, d’après le théorème 3.15, L i+1 est une extension galoisienne de L i .On déduit du théorème 2.28 que Gal(L i+1 /L i ) est isomorphe à G i /G i+1 .Théorème 3.16. On suppose que K contient une racine primitive n-ième de l’unité. SoitM une extension cyclique de degré n de K. Il existe x ∈ M tel que M = K(x) et x n −1 = 0.Les p i sont des diviseurs premiers de m donc L contient les racines p i -èmes de l’unité(car L ⊂ L i ). L i+1 est une extension cyclique de degré p i de L.Donc, d’après le théorème 3.16, il existe x i+1 inL i+1 tel que L i+1 = L i (x i+1 ) et x p ii+1 −1 =0.Ainsi x p ii+1 = 1, donc L i contient les racines p i -èmes de l’unité.D’où, D(ξ) est une extension radicale de L = K(ξ), donc de K.Or, D ⊂ D(ξ) d’où D est une extension radicale de K.Donc, d’après la définition 3.6, P est résoluble par radicaux (i).D’où (ii) ⇒ (i).Donc (i) ⇔ (ii).[Cal06, p178][Tau07, p184][Goz97, p169]Enfin, voici un exemple d’équation non résoluble par radicaux.

La théorie de Galois 213.3 Exemple d’équation non résoluble par radicauxCritère d’Eisenstein Soit P le polynôme à coefficient entiers suivant : P(x) = a n ·x n +a n−1 · x n−1 + · · · + a 1 · x + a 0 .S’il existe un nombre premier p tel que p divise chaque a i sauf a n et p 2 ne divise pasa 0 , alors P(x) est irréductible sur Q[X].Proposition 3.17. Soient P ∈ Q[X] un polynôme irréductible de degré p premier, D ⊂ Cun corps de décomposition de P. On suppose que P possède exactement deux racines nonréelles. Alors Gal(D/Q) est isomorphe à S p , le groupe symétrique de degré p.Démonstration. [Tau07, p187] Si x ∈ C est racine de P, alors P est le polynôme minimalde x sur Q. D’où p = [Q[X] : Q].Or [D : Q] = [D : Q(x)].[Q(x) : Q] = [D : Q(x)].p donc p divise [D : Q] .Proposition 3.18. Soit L une extension finie de K. L’extension L de K est galoisiennesi et seulement s’il existe p ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que L soit un corps dedécomposition de P sur K.Donc D est une extension galoisienne de K.Théorème 3.19. Soit L une extension de degré fini. L’extension L de K est galoisiennesi et seulement si card(Gal(L/K)) = [L : K].Donc [D : Q] = card(Gal(D/Q)).Théorème 3.20 (Théorème de Cauchy). Soient G un groupe fini de cardinal N et p undiviseur premier de N. Alors il existe un élément d’ordre p dans G.Donc ici, p divisant card(Gal(D/Q)), il existe un élément d’ordre p dans Gal(D/Q).C → CSoit σ : . σ ∈ Gal(C/Q). Comme car(Q) = 0, D est une extension galoisiennede par la propositionz ↦→ z3.9.Proposition 3.21. Soit L une extension de K contenue dans ˜K. Supposons que L estnormale sur K et soit M une sous-extension de L. ∀σ ∈ Hom K (M, ˜K), σ(M) ⊂ L et∃τ ∈ Gal(L/K) induisant σ sur M, i.e. τ = σ |M ∈ Gal(L/K).Ici, D est galoisienne dans Q, donc elle est, en particulier, normale. Donc σ |D ∈Gal(D/Q) d’après la proposition précédente. Or, P possède exactement deux racines nonréelles, qui sont forcément conjuguées. Donc σ échange nécessairement ces deux racines etfixe les racines réelles.Lemme 3.22. L’applicationest un homomorphisme injectif de groupes.θ: Gal(D/K) → S sσ ↦→ θ σ

22 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreEn identifiant Gal(D/Q) à uynôn sous-groupe de S p d’après le lemme précédent,Gal(D/Q) contient une transposition (σ). Or, pour p premier, les éléments d’ordre p dansS p sont exactement les p-cycles. Donc Gal(D/Q) contient une transposition et un p-cycle.Proposition 3.23. Soit p un nombre premier τ ∈ S p une transposition, c ∈ S p un p-cycle.Alors τ et c engendrent S p .On a donc deux éléments de Gal(D, Q) qui engendrent S p donc Gal(D, Q) est isomorpheà S p .Théorème 3.24. le groupe S p est résoluble si et seulement si p 4.Exemple Soit f(X) = X 5 − 4X − 2 dans Q[X].On remarque que 2 divise a 0 = −2, 2 divise a 1 = −4 et 2 ne divise pas a 5 = 1.De plus, 2 2 = 4 ne divise pas a 0 = −2. Donc f(X) est un polynôme irréductible surQ[X], d’après le critère d’Eisenstein avec p = 2.On note que : f(−2) = (−2) 5 − 4 · (−2) − 2 = −26 < 0f(−1) = (−1) 5 − 4 · (−1) − 2 = 1 > 0f(0) = 0 5 − 4 · 0 − 2 = −2 < 0f(1) = 1 5 − 4 · 1 − 2 = −5 < 0f(2) = 2 5 − 4 · 2 − 2 = 22 > 0Or, la fonction polynôme f est continue de R dans R. Donc il existe α 1 , α 2 , α 3 réelstels que −2 < α 1 < −1 < α 2 < 0 < 1 < α 3 < 2 et f(α i ) = 0 pour i ∈ {1, 2, 3}.f ′ (X) = 5 · X 4 − 4 = ( √ 5 · X 2 − 2) · ( √ 5 · X 2 + 2)Le signe de f ′ (x) est celui de √ √5 · X 2 2− 2 qui s’annule pour x = ± √5. On pose alors√2β = √5et donc f ′ (β) = f ′ (−β) = 0.D’où le tableau de variation de la figure 1 ; et plus précisément celui de la figure 2.Donc on a : −2 < α 1 < −1 < β < α 2 < 0 < β < 1 < α 3 < 2 et f(X) a un maximumpositif f(−β) et un minimum négatif f(β).Donc f(X) a exactement trois racines réelles distinctes α 1 , α 2 et α 3 . Il y a donc deuxracines complexes, non réelles. Donc d’après la proposition précédente, le groupe de Galoisde f(X) est isomorphe au groupe symétrique S 5 , qui est non résoluble. Donc finalement,f(X) est non résoluble par radicaux.[Cal06, p178][Tau07, p187][Goz97, p175]

La théorie de Galois 23Fig. 1 – Graphe de fFig. 2 – Graphe de f - Agrandissement

24 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreConclusionLe concept général de la théorie de Galois, que nous avons exposé ici, a révolutionnéles mathématiques dans diverses branches. On parle, par exemple, de la théorie de Galoisdifférentielle ou la théorie de Galois des revêtements. Elle permet également de démontrerdes résultats sur la constructibilité des polygones à la règle et au compas. Cette étude nousa appris à comprendre et assimiler des notions totalement inconnues et nous a montré legénie de Galois, qui, nous le rappelons, a établi cette théorie si importante à seulement20 ans.Références[Cal06] Extensions de corps : théorie de Galois, Calais, Josette, 2006.[Cal98] Eléments de la théorie des groupes, Calais, Josette, 1998.[Dup92] La vie d’Evariste Galois, Dupuy, Paul, 1992.[Esc04] Théorie de Galois : Cours et exercices corrigés, Escofier, Jean-Pierre, 2004.[Gal08] Manuscrits / de Evariste Galois, Galois, Evariste, 1908.[Goz97] Théorie de Galois, Gozard, Ivan, 1997.[Tau07] Corps commutatifs et théorie de Galois : cours et exercices, Tauvel, Patrice, 2007.[Tit82] Evariste Galois : son oeuvre, sa vie, ses rapports avec l’Académie, Tits, Jacques,1982.[Wik1] Théorie de Galois, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie de Galois♯Applications[Wik3] Evariste Galois, Wikipédia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Évariste Galois[Wik4] Théorème d’Abel, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Théoréme d’Abel algèbre[WIKti] Tempérament inégal, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Tempérament inégal

INTEGRABILITE DES SYSTEMESHAMILTONIENSCédric MollL3 MathématiquesTravail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E.Année 2007 - 2008Table des matièresIntroduction 261 Géneralités 291.1 Définitions et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Exemple 1 : le système de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3 Exemple 2 : le système de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Critères de non-intégrabilité 362.1 Définitions et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Le théorème de Morales et Ramis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Le problème plan de trois corps 403.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Les équations normales variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Etudes locale et globale de l’équation normale variationnelle . . . . . . . . 433.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4325

26 Cédric MollIntroductionLes hamiltoniens sont des objets mathématiques que l’on rencontre souventen physique et plus particulièrement en mécanique des solides. Pour mieuxcomprendre ce qu’est un hamiltonien, voyons d’abord un premier exemple :l’oscillateur harmonique.Fig. 1 – Oscillateur harmoniqueLe mouvement rectiligne du solide peut être décrit par l’équation différentielle :x ′′1 + ω 2 x 1 = 0Mais cette équation peut aussi s’écrire sous la forme d’un système différentiel, appelésystème hamiltonien :⎧x ⎪⎨′ 1 = ∂H (x 1 , x 2 )∂x 2avec⎪⎩x ′ 2 = − ∂H∂x 1(x 1 , x 2 )H = 1 2 ω(x2 1 + x 2 2)La fonction H est un hamiltonien : elle reprśente à une constante multiplicative près,l’énergie du solide. Si (x 1 , x 2 ) est une solution du système, alors H(x 1 , x 2 ) est constante aucours du temps. On dit alors que H est une intégrale première du système hamiltonien.Dans l’exemple, le fait que H soit constante est une conséquence de la conservation del’énergie mécanique du système.

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 27En règle générale, on ne cherche pas à trouver une expression explicite de l’ensemble dessolutions : la connaissance d’un nombre suffisant de quantités conservées permet de décriresuffisamment bien la géométrie des solutions. On parle alors de système complètementintégrable, au sens de Liouville.Il y a de nombreux exemples de systèmes hamiltoniens complètement intégrables. Commençonspar les deux plus classiques :La toupieTout le monde a déjà vu, touché, joué avec une toupie (sinon, en voici une - voir la figure2).On considère ici que c’est un solide avec un point fixe (celui où la toupie est en contactavec le plan horizontal, le point O de la figure) soumis à la seule pesanteur. Ce solide a unaxe de révolution.Le système mécanique a été étudié par Lagrange à la fin du XVIIIe siècle. En plus del’énergie totale, il y a évidemment une deuxième quantité conservée : le moment par rapportà l’axe de symétrie.Comme tous les enfants le savent, l’extrémité de l’axe de révolution oscille entre deuxparallèles de la sphère centrée au point fixe, comme indiqué sur la figure.Fig. 2 – Une toupieLe pendule sphériqueIl s’agit d’un pendule, suspendu à un point fixe O par une tige rigide, et soumis, lui aussi,à la seule pesanteur. Il y a encore une deuxième intégrale première « évidente », le momentpar rapport à la verticale. La boule tourne autour de l’axe vertical tout en oscillant entredeux petits cercles parallèles de la sphère. La figure ci-dessous représente la projectiond’une trajectoire sur un plan horizontal.GéodésiquesOn aura remarqué la similitude des deux situations précédentes. Des comportements analogues(oscillation dans une bande) apparaissent dans de nombreux autres problèmes demécaniques, comme, par exemple, le mouvement d’une particule libre sur une surface derévolution ou sur un ellipsoïde. Une particule libre va au plus court et suit une géodésique.Les figures ci-dessous représentent une géodésique d’une surface de révolution et d’un ellipsoïderespectivement. Dans le cas de la surface de révolution, le moment de la particulepar rapport à l’axe de révolution est une intégrale première. Pour un ellipsoïde « quel-

28 Cédric MollFig. 3 – Le pendule sphériqueconque »(pas de révolution), c’est moins évident, mais il y a aussi une « deuxième »intégralepremière (Jacobi, 1838, Uhlenbeck, 1980).Fig. 4 – GéodésiqueDes bandes et des toresUne expression géométrique ou dynamique de l’intégrabilité de Liouville est la régularitédes solutions. Le mouvement décrit par un système hamiltonien intégrable est extrêmementrégulier. Les trajectoires s’enroulent sur des tores (c’est le théorème dit d’Arnold-Liouville),chacune revenant régulièrement près de son point initial ; on dit que le mouvement est« quasi périodique ».Les systèmes hamiltoniens sont-ils tous intégrables ?On l’a vu, la physique peut fournir des intégrales premières, comme le moment par rapportà un axe de révolution (toupie, pendule sphérique, particule libre sur une surface derévolution...). Il y a aussi beaucoup de systèmes hamiltoniens qui ne sont pas intégrables oudont on peut soupçonner qu’ils ne sont pas intégrables, parce que l’on n’a pas été capable

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 29de leur trouver assez d’intégrales premières, et surtout parce que des expériences ou simulationsnumériques montrent un comportement chaotique incompatible avec le théorèmed’Arnold-Liouville.Le problème à n corpsLe plus célèbre est le problème « de la Lune »(problème de trois corps en interactiongravitationnelle). On sait que le problème à deux corps (Soleil-Terre) est intégrable (nousle traiterons par la suite en exemple 1). C’est même pour l’intégrer que Lagrange a introduitles prémisses de la géométrie symplectique et de la mécanique hamiltonienne.Dans ce dossier nous allons consacrer une première partie à nous familiariser avec lesnotions essentielles qui se rapportent aux systèmes hamiltoniens. Dans un deuxièmetemps nous verrons des critères de non intégrabilité des systèmes hamiltoniens pourpouvoir, dans une troisième partie, étudier le problème plan des trois corps, et prouver -comme l’a fait Poincaré avant nous - que ce dernier n’est pas intégrable.1 Géneralités1.1 Définitions et remarquesDans ce paragraphe nous allons définir les systèmes hamiltoniens, ainsi que les notionsessentielles qui se rapportent à l’étude de ces systèmes.Définition 1 (Système hamiltonien).Soient n ∈ N ∗ , ( q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ∈ R n × R n .– Les variables p i et q i sont appel‘’ees varibles conjuguées.– L’entier n est appelé le nombre de degrès de liberté.Un système hamiltonien sur U ⊂ R 2n est un système d’équations différentielles de laforme :∀j ∈ [1; n],Avec H : U → R, la fonction hamiltonien.Remarque (Interprétation physique).⎧⎪⎨⎪⎩q ′ j = ∂H∂p j(q, p)p ′ j = − ∂H∂q j(q, p)1. Les variables p i (respectivement q i ) sont des impulsions (respectivement des positions).

30 Cédric Moll2. La fonction hamiltonien représente, à une constante multiplicative près, une énergiemécanique, i.e, la somme d’une énergie potentielle et d’une énergie cinétique (cf.Exemple 1).Proposition 1.1. Le système peut s’éscrire aussi sous forme matricielle :avec J et X définis par :J =X ′ = J · −−→ grad H(X)( 0 In−I n 0)⎛et X =⎜⎝⎞q 1.q np 1⎟. ⎠p nDémonstration. En effet, le vecteur −−→ grad H(X) ∈ R 2n a pour terme général :−−→grad H(X) =⎛⎜⎝⎞∂H(q, p)∂q 1 .∂H(q, p)∂q n ∂H(q, p)∂p 1 . ⎟∂H ⎠(q, p)∂p nEt donc en effectuant le produit matriciel on obtient trivialement :⎛ ⎞ ⎛∂H⎛⎞0 . .. 0 1 . .. 0∂q 1. . . ... . . ...J · −−→∂H0 . .. 0 0 . .. 1grad H(X) =·∂q n−1 . .. 0 0 . .. 0∂H=⎜⎝ .. . ..⎟. . . . . ⎠∂p 10 . .. −1 0 . .. 0 ⎜ . ⎟ ⎜⎝ ∂H ⎠ ⎝∂p n∂H∂p 1.∂H∂p n− ∂H∂q 1.− ∂H⎞= X ′ ⎟⎠∂q n□

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 31Remarque. Cette caractérisation nous sera très utile pour les démonstrations ulltérieures.Définition 2.Une fonction G : U → R est une intégrale première du système hamiltonien si pour toutesolution X(t) du système on a :dG( )X (t) = 0dtDéfinition 3 (Crochet de Poisson).SoientRf :n × R n → RX = (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ↦→ f(X)et g :R n × R n → RX = (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ↦→ g(X)On appelle crochet de Poisson de f(X) et g(X) et on note {f(X), g(X)} la quantité :{f(X), g(X)} =Ou de manière équivalente :n∑i=1J étant la matrice définie précédemment.( ∂f(X) · ∂g (X) − ∂f (X) · ∂g )(X)∂p i ∂q i ∂q i ∂p i{f(X), g(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉Proposition 1.2. On a la caractérisation suivante des intégrales premières :()dG( ) ()X (t) = 0 ⇔ {G(X), H(X)} = 0dtDémonstration.Rappelons tout d’abord que pour une fonction G des variables (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n , t), ona la relation :n∑[( ) ( ) ]∂G ∂GdG = dq i + dp i + ∂G∂q i ∂p i ∂t dti=1On peut noter que les intégrales premières ne dépendent pas « explicitement »du temps,mais ce sont les variables conjuguées (p i , q i ) qui sont des fonctions du temps, de sorte quel’on a ∂H∂t= 0 On en déduit alors l’expression :dGdt = n∑i=1[( ∂G∂q i)·( ) ( ) dqi ∂G+ ·dt ∂p i( )] dpidt

32 Cédric MollRevenons alors à la définition première d’un système hamiltonien :⎧dq j⎪⎨dt = ∂H (q, p)∂p∀j ∈ [1; n],jdp j⎪⎩dt = −∂H (q, p)∂q jOn en déduit alors l’expression de dGdt:dGdt = n∑i=1[( ∂G∂q i)·( ) ( ) ( )]∂H ∂G ∂H− ·∂p i ∂p i ∂q iCe qui correspond, au signe près, au crochet de Poissons des fonctions G et H.Remarque. On a en particulier {H(X), H(X)} = 0, ce qui prouve que le hamiltonien estbien une intégrale première du système.Proposition 1.3. Si G est une intégrale première du système, alors l’ensemble des solutionsse trouve sur les hypersurfaces affines d’équation G = c avec c une constante.Ainsi les intégrales premières donnent la géométrie de la courbe solution.Démonstration. On doit montrer deux choses :1. les solutions se trouvent sur les surfaces d’équation G = c, c ∈ R2. les surfaces en question sont bien des hypersurfaces.Soit G une intégrale première du système hamiltonien.1. D’après la définition des intégrales premières, G satisfait la propriété :∀X, solution du système , on a : dG ( )X (t) = 0dtSi on note S X l’ensemble des solutions du système hamiltonien, l’équation différentielledG ( )X (t) = 0 admet pour solutions sur SX toutes les fonctions qui y sontdtconstantes. Donc G est bien constante sur l’ensemble des solutions; reste à prouverque cet ensemble est une hypersurface.2. Si G n’est pas la fonction nulle 1 , l’équation dG (X (t0 ) ) = 0 est un système vectorieldtdont chacune des composantes donne l’équation d’une tangente à la courbe solutionau point t 0 , par rapport à une des directions du vecteur X, à savoir les directions p iet q i . Localement, au voisinage de t 0 , ces courbes forment un hyperplan, et donc lacourbe globale obtenue est bien une hypersurface de R 2n .1 on peut exclure la fonction nulle car elle est toujours solution triviale de l’équation, mais elle n’apporteaucune information sur les solutions ou sur l’intégrabilité du système, conformément à la définition 4.□

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 33Définition 4 (Système complètement intégrable).Un système hamiltonien de degré de liberté n est dit complètement intégrable s’il possèden intégrales premières G i , 1 i n en involution, i.e. qui vérifient :1. G 1 , ...,G n sont fonctionnellement { indépendantes, ce qui équivaut à l’indépendance−−→de la famille de vecteurs grad G1 , ..., −−→ grad G n}.2. Pour toute solution X, on a :∀(i, j) ∈ [1; n] 2 , {G i (X), G j (X)} = 01.2 Exemple 1 : le système de KeplerDescriptionLe problème de Kepler dans le plan décrit deux corps en interaction gravitationnelle mutuelle; l’un des deux corps est fixe à l’origine. On peut condidérer par exemple le Soleilsupposé fixe, autour duquel gravite la Terre.Résolution du systèmeLa fonction hamiltonien de ce système s’écrit 2 :H = 1 (p22 1 + p2)2 −} {{ }Énergie cinétiqueµ√q21 + q 2 2} {{ }Énergie potentielleLe système s’écrit alors sous forme matricielle :⎛ ⎞ ⎛⎞q 1′ p 1⎜ q 2′ ⎟⎝ p ′ ⎠ = ⎜ p 2⎟⎝1 −µq 1 (q 2p ′ 1 + q2) 2 −3/2 ⎠2 −µq 2 (q1 2 + q2) 2 −3/2Notons G = p 1 q 1 − p 2 q 2 ; il est alors aisé de vérifier que G ainsi définie est une intégralepremière du système, en effet :{G(X), H(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉=〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝−p 2p 1q 2⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝−q 1⎞p 1p 2−µq 1 (q1 2 + q2) 2 −3/2−µq 2 (q1 2 + q2) 2 −3/2Donc G est bien une intégrale première du système de Kepler.〉⎟⎠ = 0Remarque. Cette intégrale première représente l’intǵrale du moment angulaire du système;physiquement, il s’agit d’une conséquence de la loi des aires : « le segment joignantles deux corps décrit des surfaces égales sur des intervalles de temps égaux ».2 nous avions vu plus haut que le hamiltonien était assimilable à l’énergie du système

34 Cédric MollConclusionLe système de Kepler possède deux intégrales premières indépendantes 3 ; d’après la définition,le système est donc complètement intégrable.1.3 Exemple 2 : le système de Hénon-HeilesDescriptionEn règle général il n’est pas facile de déterminer si un système est intégrable, les cas aussifavorables que celui de l’exemple précédent sont rares... Nous allons voir ici un exempleplus complet : il s’agit du système de Heinon Heiles, dont le hamiltonien s’écrit 4 :H = 1 2 (p2 1 + p 2 2) + 1 2 (Aq2 1 + Bq 2 2) − q 2 1q 2 − λ 3 q3 2Avec A, B, λ des paramètres à préciser.Écriture matricielle :Sous forme matricielle, le système peut s’écrire :⎛⎜⎝q ′ 1q ′ 2p ′ 1p ′ 2⎞⎛⎟⎠ = ⎜⎝p 1p 2−Aq 1 + 2q 1 q 2−Bq 2 + q 2 1 + λq 2 2Nous n’allons pas ici étudier l’intégrabilité du système complet pour toutes les valeurspossibles, ce serait très long (et compliqué!). Nous allons nous contenter d’observer lecomportement du système pour quelques valeurs particulières.Étude du cas A = B et λ = 1On commence par effectuer un changement de variables en posant :⎧⎪⎨⎪⎩q 1 = x 1 + x 2q 2 = x 1 − x 2p 1 = y 1 + y 2p 2 = y 1 − y 2On obtient alors une nouvelle expression de H :⎞⎟⎠On note G la fonction définie par :H = 1 2 (y2 1 + y 2 2) + Ax 2 1 − 4 3 x3 1 + Ax 2 2 + 4 3 x3 2G = 1 2 y2 1 + Ax 2 1 − 4 3 x3 13 l’indépendance est triviale à vérifier, il suffit de comparer les gradients des fonctions qui sont explicitésci-dessus pour constater qu’ils forment un système libre.4 c’est un cas d’école, concrètement il n’y a que très peu d’applications physiques ; en astrophysiquece genre de système sert par exemple à la modélisation de la trajectoire d’une étoile dans une dimensioncylindrique... Bref : des cas très particuliers !

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 35Alors on peut vérifier que G est une intégrale première du système, en effet :{G(X), H(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉==〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝2Ax 1 − 4x 2 10y 10〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝2Ax 1 − 4x 2 10y 10⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0y 1y 2−(2Ax 1 − 4x 2 1)−(2Ax 2 + 4x 2 2)⎞⎟⎠ ·⎛⎜⎝⎞〉⎟⎠2Ax 1 − 4x 2 12Ax 2 + 4x 2 2y 1y 2= 0⎞〉⎟⎠De plus G et H sont en involution 5 ; on a donc n = 2 intégrales premières en involution :le système est donc complètement intégrable dans ce cas.Remarque (interprétation géométrique). On sait que G et H sont constantes surl’ensemble des solutions. G et H étant indépendantes, on a donc 2 séries d’hyperplansaffines de R 4 dont l’intersection donne l’ensemble des solutions du systéme; l’ensembledes solutions n’est pas facile à exhiber et demande énormément de calculs et l’utilisationde notions que nous verrons par la suite. Pour ce cas très particulier, on peut cependantremarquer que les droites paramétrées :⎧⎪⎨⎪⎩q 1 (t) = 0p 1 (t) = 0q 2 (t) = at − bp 2 (t) = aAvec a et b des constantes, forment une famille de solutions du système hamiltonien.Autres cas intéressantsSelon les valeurs de λ on peut obtenir des résultats très différents, on peut citer deuxexemples øgclassiques » :1. Pour λ = 3 , le système n’est pas intégrable.22. Pour λ = 6 on a à faire à un système intégrable également, on a la seconde intégralepremière qui est définie par :G = q 4 1 + 4q 2 1q 2 2 + 4p 1 (p 1 q 2 − p 2 q 1 ) − 4Aq 2 1q 2 + (4A − B)(p 2 1 + Aq 2 1)Ce dernier exemple montre bien qu’en général il n’est pas aisé de trouver une intégralepremière d’un système hamiltonien - et encore ici on n’a « que »n = 2.Et si on ne trouve pas (assez) d’intǵrale première, est-ce parce qu’on n’a pas (assez) cherché5 les gradients sont explicités et on voit qu’ils sont indépendant (trivial)

36 Cédric Mollou est-ce qu’elles n’existent pas?On voit donc que la méthode de calcul directe n’est pas la meilleure, d’où l’intérêt dechercher une méthode qui permettrait de prédire si un système est intégrable sans avoir àcalculer les intégrales premières.Ce sera notre objectif dans les paragraphes qui vont suivre. En fait nous allons expliciterune méthode qui permet de montrer qu’un système n’est pas intégrable.2 Critères de non-intégrabilité2.1 Définitions et remarquesDéfinition 5 (Hessien).Soient p ∈ N ∗ , U un ouvert de R p , f : U → R et x 0 ∈ R p .Le développement de Taylor de f au voisinage de x 0 est donné par :f(x) = f(x 0 ) +p∑i=1= c − bx + 1 2 x · H · x( ∂f∂x i(x 0 ) · x i)+ 1 2Avec c = f(x 0 ), b = − −−→ grad f(x 0 ) et H(f, x 0 ) = (h i,j ) (i,j)∈[|1;p|] 2où ∀(i, j) ∈ [|1;p|] 2 , h i,j = ∂2 f∂x i ∂x j(x 0 ).La matrice H(f, x 0 ) est appelée hessien de f en x 0 .p∑i=1p∑j=1( ∂ 2 f∂x i ∂x j(x 0 ) · x i x j)+ . ..Définition 6 (Équation variationnelle). On appelle équation variationnelle le longd’une solution V 0 du système hamiltonien, l’équation différentielle définie par :avec H(H, V 0 ) le hessien de H en V 0 .Remarque.h ′ = J · H(H,V 0 ) · h1. La définition de l’équation est bien cohérente : H est une fonction de R 2n dans R,donc H ∈ M 2n (R) et J ∈ M 2n (R).2. En pratique on ne travaille pas à partir de l’équation variationnelle, mais de l’équationnormale variationnelle, qui est obtenue à partir de la première mais présente l’avantagede n’avoir que 2n − 2 variables; nous verrons celà en troisième partie dansl’exemple du problème plan des trois corps.Définition 7 (Extension).Soit E un ensemble :(E est une extension du corps K) ⇔ (K est un sous-corps de E)

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 37Définition 8 (Degré d’une extension).On appelle degré de l’extension E de K, la dimension de E en tant que K-espace vectoriel.On le note :[E : K] = dim K EUne extension E de K sera dite finie si [E : K] est fini.Définition 9 (Extension normale).Une extension algébrique E de K sera dite normale si, et seulement si, ∀P ∈ K[X],irréductible, on a l’implication :(∃x ∈ E,P(x) = 0) ⇒ (P scindé dans E[X])Définition 10 (Topologie de Zariski).Soit K un corps et m un entier.Une partie F de K m est dite Zariski-fermée s’il existe un sous-ensemble S de K[x 1 , ...,x m ]tel queF = {c ∈ K m , ∀f ∈ S, f(c) = 0}Notons F l’ensemble des parties F ainsi définies.Alors l’ensemble F définit une topologie par ses fermés, appelée topologie de Zariski. Lecomplémentaire d’un ensemble Zariski-fermé est dit Zariski-fermé.Remarque.– On peut assimiler M n (K) à K m , avec m = n 2 , car ces deux ensembles sont isomorphes.– On a ainsi définit une topologie sur l’esemble des matrices de taille n × n, et plusgénéralement sur les matrices de taille n × m, (n, m) ∈ (N) 2 .Définition 11 (Partie connexe).Une partie P d’un sous-groupe de M n (K) est dite connexe si :∀x ∈ P, ∃f ∈ C ([0; 1], P),{ f(0) = ePf(1) = xoù e P désigne l’élément unité de P. La fonction f est appelée un chemin.On peut définir de manière équivalente la connexité pour les espaces topologiques : Uneespace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet pas de partition en deux ouverts(respectivement deux fermés).Définition 12 (Composante connexe de l’identité).On appelle composante connexe de l’identité d’un groupe G, et on note G 0 , la plus grandepartie connexe de G, contenant l’identité.Proposition 2.1. L’image d’une partie connexe X par une application continue f est unepartie connexe Y de Im f.Ainsi si f est une application de P, connexe, dans {0; 1}, f est constante; en effet f(P) estune partie connexe de {0; 1} qui n’est pas connexe : donc f(P) ne comporte qu’un élément.

38 Cédric MollDémonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention) et contiendraun élément x et donc Y sera non vide puisqu’il contiendra f(x). Par l’absurde, supposonsY non connexe. Alors on peut choisir dans Y deux ouverts non vides A et B d’intersectionvide et de réunion Y .Leurs images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront ouvertes par continuité de f.Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l’image réciproque se comportebien pour les opérations ensemblistes.Enfin comme A et B sont non vides et f : X → I f surjective, les images réciproquesf −1 (A) et f −1 (B) seront non vides. On a donc trouvé une partition de X en deux ouverts(non vides), ce qui contredit la connexité de X.□Lemme 2.2. La réunion d’une famille de parties connexes d’intersection non vide estconnexe.Démonstration. Soit (A i ) i∈I une famille d’ensembles connexes d’intersection B non videet f une application continue de ∪ i∈I A i dans {0; 1}. Par connexité de A i , f est constantesur chaque A i .Si l’on note a i la valeur de cette constante, on en déduit que f restreinte à B (qui n’est pasvide) doit être constante et égale à a i pour tout i. En conséquence, tous les a i sont égauxentre eux, et f est donc constante sur ∪ i∈I A i .On conclut grâce à la proposition précédente.□Théorème 2.3. G 0 est un sous-groupe de G.Démonstration.1. Par définition, on sait déjà que G 0 ⊂ G et e G ∈ G 0 .2. Soient (g 1 , g 2 ) ∈ (G 0 ) 2 , alors :Posons∃f 1 , f 2 ∈ C ([0; 1], G),f :⎧⎨⎩[0; 1] → Gx ↦→ g 1 · f 2 (x)f 1 (0) = f 2 (0) = e Gf 1 (1) = g 1f 2 (1) = g 2Alors f est une fonction continue car f 2 est continue, et on a :{ f(0) = g1f(1) = g 1 g 2Nous avons donc mis en évidence deux parties connexes :– une partie connexe A 1 contenant e G et g 1– une partie connexe A 2 contenant g 1 et g 1 g 2

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 39Ces deux parties ne sont donc pas disjointes car elles contiennent au moins g 1 . Leurréunion est donc une partie connexe d’après le lemme précédent.De plus la réunion contient e G ; donc A 1 ∪ A 2 ⊂ G 0 , car G 0 est la plus grande partieconnexe contenant e G . Donc g 1 g 2 ∈ G 0 .3. Montrons que g −11 ∈ G 0 . Pour celà posons :h :[0; 1] → Gx ↦→ (f 1 (x)) −1h est bien définie car ∀x ∈ [0; 1], f 1 (x) ∈ G et que G est un groupe donc l’inversede chaque élément existe et est unique : donc h est continue, comme composée d’unefonction continue, f 1 , et de l’isomorphisme de groupe qui à un élément associe soninverse.Donc g1 −1 ∈ G 0Donc G 0 est bien un sous groupe de G.□2.2 Le théorème de Morales et RamisDéfinition 13 (groupe de Galois).Soit E une extension normale finie d’un corps K. On appelle groupe de galois de l’extensionE de K, et on notera G, le groupe composé de tous les K-automorphismes de E, i.e. destransformations qui permutent les éléments de K en laissant ceux de E invariants.Définition 14 (groupe de Galois différentiel). Soit L(y) = 0 une équation différentiellelinéaire sur le corps K. On note E l’extension de K engendrée par une base de solutions(y 1 , ...,y n ) de L(y) = 0 6 .Le groupe de Galois différentiel de cette équation est le groupe des K-automorphismes quicommutent avec la dérivation de E.Théorème 2.4 (Théorème de Morales et Ramis). Soient (S) un système hamiltonienet V 0 une solution particulière de (S). On note L (y(x)) = 0 l’équation normale variationnellede (S) le long de la solution V 0 et G le groupe de Galois différentiel de L (y(x)) = 0.Si le système (S) est complètement intégrable, alors la composante connexede l’identité de G est un groupe abélien.On peut aussi résumer celà par l’implication contraposée 7 :Utilisation pratiqueG 0 non abélien ⇒ (S) non complètement intégrable1. On considère une solution particulière du système hamiltonien.6 E est donc le plus petit coprs contenant K et les soluions (y 1 , ...,y n )7 c’est cette implication qui sert en pratique

40 Cédric Moll2. On calcule l’équation variationnelle et on en déduit l’équation normale variationnellele long de cette solution.3. On détermine les conditions sur les paramètres qui font que G 0 n’est pas abélien.En général, c’est ce dernier point qui est le plus difficile à traiter; nous verrons celà dansl’exemple qui suit.3 Le problème plan de trois corps3.1 DescriptionOn considère trois corps en mouvement dans un référentiel newtonien avec comme seulesforces agissant sur eux, leur attraction gravitationnelle mutuelle.On considère le problème plan; on peut de plus supposer que l’une des masses est égale àun (par exemple m 3 = 1). Le système hamiltonien peut alors s’écrire :⎧q j ⎪⎨′ = ∂H∂p j⎪⎩p ′ j= − ∂H∂q ′ javec la fonction H définie par :H = 1 ( ) 1+ 1(p 2 1 + (p )3q 2 − p 2 q 3 ) 22 m 1q 2 1+p 1 p 2 − p 3(p 3 q 2 − p 2 q 3 − c)q 1−m 2√q22 + q 2 3+ 1 ( ) 1+ 1 (p 2 2 + p 22 m3)2− m 1q 1−m 1 m√ 2(q1 2 − q2) 2 2 + q32Ce système a un degré de liberté égal à 3 et dépend de 4 paramètres (les trois masses etun paramètre supplémentaires, c, qui représente l’intégrale du moment angulaire pour lesystème).Remarque.On obtient ce système par réduction du hamiltonien :H 1 =3∑j=1‖p j ‖ 22m j− ∑1j

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 413.2 Les équations normales variationnellesDéfinition 15 (les points de Lagrange).À partir des équations du mouvement déduites du Hamiltonien, nous pouvons rechercherles points fixes de ce système, c’est à dire les points où les forces engendrées par les deuxastres principaux s’équilibrent. Il en existe cinq, baptisés points de Lagrange, en l’honneurdu mathématicien français Louis Lagrange.On peut noter que parmi ces cinq solutions, deux seulement sont stables.Equation variationnelleNous allons nous placer le long d’une des solutions de Lagrange. (une solution stable)L’équation variationnelle le long de cette solution de Lagrange est un système différentiellelinéaire d’ordre six :Y ′ (t) = V E(t)Y (t)Réduction de l’équationLa matrice V E(t) possède deux pôles r 1 et r 2 qui sont les racines du polynôme :Posonsα = −i(r 1 − r 2 )etβ = r 1 + r 2 )2 2et effectuons le changement de variable affine t = αx + β ; notons M(x) = αV E(αx + β).Le système peut alors s’écrire :Y ′ (x) = M(x) · Y (x)avec M(x) qui s’écrit par blocs(M1 MM =2M 3 −M1T)avec M 2 et M 3 symétriques et M T 1 désigne la matrice transposée de M 1 .On peut donc écrire aussi M = J ·S avec S une matrice symétrique et J la matrice définiedans la première partie.Pour calculer l’équation normale variationnelle associée à ce système nous allons effectuerle changement de variable :Y (x) = P(x) · Z(x)avec P une matrice symplectique, c’est-à-dire vérifiant :P T J P = JSi W 0 est une solution particulière de l’équation variationnelle précédente, on prend −W 0comme première colonne de la matrice P. On a alors :Y ′ (x) = P(x)Z ′ (x) + P ′ (x)Z(x) ⇔ Z ′ (x) = P −1 (x) [Y ′ (x) − P ′ (x)Z(x)]= P −1 (x) [M(x)Y (x) − P ′ (x)Z(x)]

42 Cédric Molld’où finalement :Z ′ (x) = P −1 (x) [M(x)P(x) − P ′ (x)]Z(x) = ˜M(x)Z(x)avec ˜M(x) = P −1 (x) [M(x)P(x) − P ′ (x)]. Et vu que W 0 est solution de l’équation variationnelle,la première colonne de la matrice ˜M est nulle ; de plus cette matrice s’écrit parblocs :( ) ˜M1 ˜M2˜M =˜M 3 − ˜M 1Tavec ˜M 2 et ˜M 3 symétriques.Quitte à effectuer un dernier changement de variable pour arranger la forme du systèmeon peut écrire alors :⎛⎞p A 1 (x) A 2 (x) 1 0p 2 0˜Z ′ (x) =A 3 (x) −A T p1 (x) 3 0⎜p 4 0· ˜Z(x)⎟⎝ 0 0 0 0 0 0 ⎠p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10ou encore sous la forme d’un système :⎧ ⎛A 1 (x) A 2 (x)ν ′ (x) = ⎜⎝⎪⎨ A 3 (x) −A T 1 (x)z ′ 5(x) = 0p 1p 2p 3p 4⎞( )⎟ ν(x)⎠ z 5⎪⎩z ′ 6(x) = f(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 )L’équation normale variationnelle est alors obtenue en posant z 5 = 0, soit :( )ν ′ A1 (x) A(x) =2 (x)A 3 (x) −A T ν(x)1 (x)Equation normale variationnelle scalaire Nous admettrons qu’en utilisant un changementde variable, nous pouvons réécrire ce système en utilisant une matrice compagnon ;les coefficients de la matrice compagnon sont les coefficients de l’équation normale variationnellescalaire. Celle-ci s’écrit :L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) + a 3a 4y (3) (x) + a 2a 4y (2) (x) + a 1a 4y ′ (x) + a 0a 4y(x)Remarque. Il faut normalement distinguer deux cas selon que m 1 est égal ou non à un carles coefficients ne sont pas les mêmes dans ces deux cas, mais nous n’allons pas expliciterles coefficients ici.

Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 433.3 Etudes locale et globale de l’équation normale variationnelleDans cette partie nous n’allons pas détailler les calculs qui permettent de résoudre ou àdéfaut de simplifier l’équation normale variationnelle scalaire, nous allons nous contenterde donner les résultats généraux que l’on obtient selon les valeurs prises par m 1 et c.– 1 er cas : m 1 = 1.Le groupe de Gallois différentiel associé à l’équation normale variationnelle n’est engénéral pas abélien, et donc le système n’est pas complètement intégrable.Il y a cependant deux valeurs particulières de m 2 pour lesquelles on ne peut pas conclure :m 2 = m 1 = 1 ou m 2 = 5 2 .– 2 e cas : m 1 ≠ 1.Dans ce cas le système n’est jamais complètement intégrable.Remarque.1. L’équation normale variationnelle calculée précédemment n’est valable que si c estnon nul; dans le cas contraire, l’équation normale variationnelle scalaire s’écrit :– Si m 1 = 1– Si m 1 ≠ 1L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) + 6 x y(3) (x) + 4 x 2y(2) (x) + 2(4m 2 − 19m 2 + 2− (4m 2 − 1)(2m 2 − 5)(m 2 + 2) 2 1x 4y(x)L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) − 4 x 2y(2) (x) + 8 x 3y′ (x)1(x)x 3y′− 8(m2 1 + m 2 2 + 1) − 11(m 1 m 2 + m 1 + m 2 )(m 2 + m 1 + 1) 2 1x 4y(x)Dans ce cas le groupe de gallois différentiel associé est toujours abélien, et donc lesystème sera complètement intégrable2. Le cas c = 0 s’interprète physiquement : c’est le cas dans lequel les trajectoires desdeux corps sont parfaitement circulaires. Cela n’est pas le cas dans le système Terre- Lune - Soleil, ni pour un système faisant intervenir un satellite artificiel.3. Certaines équations peuvent a priori présenter des problèmes d’homogénéité, maiscela vient de l’hypothèse formulée au début à savoir m 3 = 1.3.4 ConclusionLorsqu’un satellite artificiel parcourt son orbite, on imagine une trajectoire circulairerégulière et sans histoire. Pourtant, en raison de l’influences de la pesanteur terrestre sur lesdifférentes parties du satellite, cette révolution s’accompagne de mouvements de rotation et

44 Cédric Molld’oscillation autour du centre de gravité. Ces mouvements, qui définissent ce qu’on nommel’attitude du satellite, semblent erratiques. Grâce à l’étude qui précède, on sait maintenantque dans la plupart des cas, le système de trois corps formé par le soleil, la terre et unsatellite (artificiel en l’occurrence) n’est pas complètement intégrable. Cela signifie que l’onne pourra pas prévoir à long terme le comportement d’un satellite en rotation autour denotre planète.En fait le problème est encore bien plus compliquée car on ne prend en compte que l’influencede deux astres, alors qu’il faudrait en prendre en compte bien plus... Mais si avectrois corps le système n’est pas intégrable, a fortiori avec n corps (n 3), le problème estle même.Les ingénieurs ont donc tout intérêt à savoir les contrôler : si les antennes ne sont plusalignées avec les stations au sol ou les autres satellites, ou si les caméras et autres détecteurssont incapables de pointer dans une direction fixe, la mission de communication ou d’observationest compromise. La meilleure solution pour les ingénieurs consiste à corrigerponctuellement la trajectoire par des poussées bien choisies du système de propulsion.BibliographieDocuments écritsMéthodes mathématiques de la mécanique classique, ArnoldDifferential Galois theory and non-integrability of Hamiltonian systems, Morales-RuizLes systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité, AudinImages des mathématiques 2004, Intégrabilité de systèmes hamiltonien , publication duCNRSSur les équations différentielles linéaires paramétrées, une application aux systèmes hamiltoniens,Delphine Boucher - Thèse de Doctorat de l’université de LimogesNon intégrabilité algébrique et méromorphe de problèmes de N corps, Julliard Tosel - Thèsede Doctorat de l’université de Paris VIIOn the analytic non integrability of the three body problem, TsygvintsevSites Internethttp ://www.les-mathématiques.nethttp ://www.sciences.chhttp ://www.astrosurf.comhttp ://aristote.biophy.jussieu.frhttp ://www.lesia.obspm.frhttp ://www.translationbureau.gc.cahttp ://www.u-bourgogne.fr/

ALGORITHMES LABYRINTHIQUESPaul MonnotL3 MathématiquesTravail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E.Année 2007 - 2008Table des matièresIntroduction 461 Probème qui se modélise par des graphes 461.1 Les labyrinthes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.2 Les ponts de Königsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Introduction à la théorie des graphes 472.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Les graphes eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Les matrices d’adjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Quelques applications 503.1 Le plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Le parcours en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5545

46 Paul MonnotIntroductionTout commence dans l’Antiquité. égée, roi de Grèce, pour calmer la colère du Minotaure,doit lui envoyer, chaque année dans voyage sans retour, sept jeunes gens et de sept jeunesfilles Grecs. Une année, Ariane, bien-aimée du fils du roi, est tirée au sort comme sacrifice.Thésée, fils du roi, décide de partir tuer le Minotaure pour garder sa bien aimée à sescôtés. Thésée et Ariane se rendent sur l’île de Crète jusqu’au labyrinthe afin de tuer leMinotaure. Avant de rentrer dans le labyrinthe, Ariane donne une pelote de fil à Théséeafin qu’une fois le Minotaure tué, il puisse revenir sur ces pas. Mais si Ariane n’avait paseu cette merveilleuse idée que serait devenu Thésée dans ce labyrinthe. Aurait-il construitdes ailes fixées à la cire pour s’envoler et sortir du labyrinthe ? En aucun cas, car Icar, filsde Dédale, le constructeur du labyrinthe, le fit. Mais en volant trop haut, la cire fonditsous la chaleur du soleil et il tomba en mer. Sinon, une autre solution est possible. Il suffitd’utiliser la théorie des graphes.1 Probème qui se modélise par des graphes1.1 Les labyrinthesUn labyrinthe peut être transformé en graphe. Chaque intersection dans le labyrinthecorrespond à un noeud qui est relié par des arêtes.[Mino, Siga, Wikimatlab, irrg, Algolab, Stew, Wikilab]1.2 Les ponts de KönigsbergEst-il possible, en partant d’une zone de la ville, de retourner dans la même zone entraversant chacun des sept ponts une seule fois ? Ceci est l’un des problèmes qui est àl’origine de la théorie des graphes.

Algorithmes labyrinthiques 47[Meny, konig]2 Introduction à la théorie des graphes2.1 Quelques définitionsOn appelle ce graphe, noté G, un graphe non orienté.a, b, c, s sont les sommets du graphe et 1, 2, 3, 4, 5, 6 ses arêtes.L’arête 6 est dite incidente aux sommets c et s. Les sommets c et s sont dits adjacentsou voisins.Une arête reliant une arête à elle-même est appelée une boucle.Sinon on peut définir par un triplet (S,A, f) où S et A sont des ensembles finis (Sest l’ensembles des sommets et A l’ensemble des arêtes) et f est la fonction d’incidence :A → P 2 (S) ∪ P 1 (S) où P 2 (S) est l’ensemble des parties de S à deux éléments et P 1 (S) estl’ensemble des parties de S à un élément.Sur l’exemple : f(4) = {a}, f(2) = f(1) = {a, b}Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet.Sur l’exemple : d(a) = 5, d(b) = 3, d(c) = 3, d(s) = 1.Le nombre de sommets d’un graphe est appelé l’ordre de ce graphe.Sur l’exemple, l’ordre est de 4.

48 Paul MonnotUn graphe est dit complet si tout sommet est adjacent aux autres sommets.Voici maintenant un graphe G orienté :Un graphe orienté est un couple (S,F) où S est un ensemble fini (ensemble des sommets)et F une une partie S × S (F ensemble des flèches)(e, a), (a, c), (b, a), (a, b), (c, c)... sont des flèches du graphe.Une chaîne d’un graphe G = (X, E) est une suite de la forme (x 0 , e 1 , x 1 , ...,e k , x k )où k ∈ N, les x i sont des sommets de G et les e i sont des arêtes de G tels que pouri = 0, ...,k − 1, x i et x i+1 sont les extrémités de e i+1 .Une chaîne est dite simple si les e i sont deux à deux distincts, c’est à dire, qu’on nepasse pas deux fois par la même arête.Une chaîne est dite fermée si les deux extrémités coïncident c’est à dire que x 0 = x n .Un graphe G est connexe si deux sommets quelconques de G sont reliés par une chaîne.Le degré d’un sommet correspond au nombre d’arêtes incidentes à ce sommet. De plus,chaque boucle compte deux fois.Le degré minimum d’un graphe correspond au plus petit degré d’un sommet du graphe.[Meny, J-C Fou, Koh, wiki gra, Sons]2.2 Les graphes eulériensLa spécificité d’un graphe eulérien est que chaque arête soit parcouru une seule fois.Comme par exemple, comment dessiner cette maison sans lever le stylo ni passer au mêmeendroit. Cette notion sera utilisée dans le parcours en profondeur d’un graphe qui sera vuplus loin.Ou dans le même style :Une chaîne est dite eulérienne si elle est une chaîne simple contenant toutes les arêtesdu graphe.Un cycle est une chaîne de longueur k 1 simple et fermé. C’est donc une chaîne dela forme (x 0 , e 1 , x 1 , ...,e k , x 0 ).Un cycle eulérien est une chaîne eulérienne fermée.Un graphe est eulérien s’il possède un cycle eulérien. [Meny, J-C Fou, Koh]

Algorithmes labyrinthiques 492.3 Les matrices d’adjacencesLa matrice d’adjacence d’un graphe non orienté :On numérote les noeuds de 1 à n et on définit alors la matrice A par a i,j qui représentele nombre d’arêtes reliant les noeuds i et j. Par conséquent, cette matrice est symétrique :a i,j = a j,iPar exemple :⎛ ⎞0 2 0 0 02 0 1 0 0A =⎜0 1 0 1 1⎟⎝0 0 1 0 0⎠0 0 1 0 0La matrice d’adjacence d’un graphe orienté :On numérote les noeuds de 1 à n et on définit alors la matrice A par a i,j qui représentele nombre de flèches allant du noeud i au noeud j.

50 Paul Monnot[Meny, J-C Fou, Koh]⎛ ⎞0 1 0 0 01 0 1 0 0A =⎜0 0 0 0 1⎟⎝0 0 1 0 0⎠0 0 0 0 03 Quelques applications3.1 Le plus court cheminLe principe est de trouver le plus court chemin d’un point A à un point B. C’est à direqu’il faut passer par le moins de noeuds possible si toutes les arêtes ont un poids de 1.Sinon, par le chemin le moins lourd en terme de poids d’arêtes. C’est le principe de mappy,de la SNCF pour trouver l’itinéraire le plus rapide. Nous allons découvrir l’algorithme deDijkstra qui permet de trouver le plus court chemin.Algorithme de DijkstraPremière approche sur un exemple : Etape 1Placer tous les sommets du graphe dans la première ligne d’un tableau.La deuxièeme ligne du tableau est obtenue en écrivant le coefficient 0 sous l’origine etle coefficient ∞ sous tous les autres sommets.Sélectionner le sommet origine.Etape 2Soit X le sommet de plus haut coefficient.Rayer toutes les cases vides de la colonne X.

Algorithmes labyrinthiques 51Etape 3Pour tout les sommets adjacents à XRépéter :Soit Y le sommet courantp = coef(X)+ poids de l’arête reliant X et YSi p < coef(Y ) Alors écrire ”pX” dans la case correspondanteSinon recopier le contenu de la ligne précédenteJusqu’à X n’ayant plus de sommets adjacentsEtape 4Compléter la ligne courante en recopiant les valeurs de la ligne précédente dans les casesvides.Etape 5S’il reste des sommets non sélectionnés, retourner à l’étape 2.Etape 6La plus courte chaîne est obtenue en écrivant de droite à gauche le parcours partant dusommet final au sommet origine.Pour trouver le plus court chemin du sommet C au sommet I par la méthode donnée,on obtient :

52 Paul MonnotA B C D E F G H I J∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞4C ∞ 10C 16C ∞ ∞ ∞ ∞ ∞14A 8A 16C 14A ∞ ∞ ∞ ∞14A 16C 14A 29D ∞ ∞ ∞16C 14A 29D ∞ 31B 24B16C 29D 17F 31B 24B20E 17F 31B 24B20E 31B 22H31B 22H30JLe plus court chemin est donc CAFHJI pour une distance de 30.Version pseudo-code Un sommet de départ dep étant fixé, cet algorithme construitprogressivement un ensemble de sommets pour lesquels on connaît un plus court chemindepuis dep. A chaque étape, on choisit un sommet dont la distance à dep est minimaleparmi ceux qui n’ont pas encore été choisis. On utilisera un ensemble c des sommets àchoisir successivement et deux tableaux d et pred des distances et des prédécesseurs.

Algorithmes labyrinthiques 53procédure(M : matrice; dep : entier; arv : entier)c : cha^ıne de caractèred[] :tableauk : entiern : entierpred[] : tableauy : entiersommets{} : cha^ıne de caractèrec=dep;d[dep]=0;pour k dans sommets fairesi alorsd[k]=M[dep,k];pred[k]=dep;fin sifpourtant que card(c) < n fairemin=;y=0;pour k dans (sommets - c) fairesi d[k]d[y]+M[y,k] alorsd[k]=d[y]+M[y,k];pred[k]=y;fin sifpourfin tq

54 Paul MonnotVersion finale sur scilab Le programme est consultable sur scilab. Deux exemplessont faits. Il y a celui du graphe précédent et celui de la carte de la lorraine que voici :En transformant les noms de ville par des nombres, on obtient la matrice d’adjacencesuivante :

Algorithmes labyrinthiques 550 50 23 35 36 0 0 0 0 0 0 0 0 85 0 0 0 0 050 0 45 82 84 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 023 45 0 23 0 74 0 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 035 82 23 0 10 82 0 94 81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 036 84 0 10 0 0 32 84 71 0 0 20 0 76 0 0 0 0 00 0 74 82 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 32 0 0 0 47 33 10 16 30 0 0 0 21 57 00 0 77 94 84 12 0 0 23 78 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 81 71 0 47 23 0 48 0 55 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 33 78 48 0 0 0 0 0 0 0 0 44 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 22 0 72 25 12 0 00 0 0 0 20 0 16 0 55 0 0 0 31 57 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 30 0 0 0 22 31 0 19 39 48 0 0 9285 0 0 0 76 0 0 0 0 0 0 57 19 0 21 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72 0 39 21 0 0 0 0 770 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 48 0 0 0 11 30 310 0 0 0 0 0 21 0 0 0 12 0 0 0 0 11 0 0 00 0 0 0 0 0 57 0 0 44 0 0 0 0 0 30 0 0 270 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 92 0 77 31 0 27 0[March, Thgraf, Markov, Minoux, Dij, Fourapli, +courchem, Alavi]3.2 Le parcours en profondeurLe principe est de parcourir la totalité du graphe sans passer deux fois par la mêmearête. C’est le problème des ponts de Königsberg.Du point de vue mathématiqueThéorème 1. Un graphe G admet une chaîne eulérienne si et seulement s’il est connexe(à des points isolés près) et si le nombre des sommets de degré impair est 0 ou 2.Démonstration. Supposons que G admet une chaîne eulérienne µ.Comme G admet une chaîne eulérienne alors tout le graphe peut être parcouru en unefois sans discontinuité. Donc le graphe est connexe.A part les deux sommets terminaux de µ, quand on parcourt µ, on arrive puis on repartde chaque sommet (donc de degré pair). Alors pour ces sommets, leur degré est pair. Doncil ne peut y avoir que 0 ou 2 sommets de degré impair.Conclusion : Si G admet une chaîne eulérienne alors il est connexe et le nombre sessommets de degré impair est 0 ou 2.2.Supposons que G est connexe et que son nombre des sommets de degré impair est 0 ou

56 Paul Monnot(a) Cas où le nombre de sommets de degré impair est 0.Soit m le nombre d’arêtes de G.Initialisation :Pour m = 1, la propriété est vraie, du fait de l’hypothèse sur les degrés, le graphe seréduit à un sommet avec une boucle, laquelle définit un cycle eulérien.Donc le graphe G est pair. Soit a le point de départ du cycle C définit aléatoirement.Hérédité :Supposons que la propriété est vrai pour tout graphe ayant un nombre inférieur à m.Le degré minimum de G est supérieur ou égale à deux car le graphe est connexe et dedegré pair.On part du sommet a et on va chaque fois à un voisin du dernier sommet considéré,voisin qui n’est pas le sommet considéré précédent. Et ainsi de suite, jusqu’à retrouverun sommet déjà rencontré auparavant ce qui referme un cycle C de G.Si C n’est pas un cycle eulérien, on considère les composantes connexes H 1 , ...,H knon réduite à un sommet isolé du graphe G − E(C) où E(C) désigne l’ensemble desarêtes de C.Par l’hypothèse de récurrence, chaque H i , i = 1, ...,k est un graphe eulérien. On peutalors définir C i un cycle eulérien de H i pour i = 1, ...,k.Comme G est connexe, le cycle C rencontre chaque C i au sommet x i pour chaquei = 1, ...,k. C’est à dire, qu’en parcourant C, à chaque rencontre d’un sommet x i , onquitte C pour parcourir C i puis au retour en x i , on poursuit C.On peut définir alors un cycle eulérien : C[a, x 1 ] + C 1 + C[x 1 , x 2 ] + C 2 + ... + C[x k , a](b) Cas où le nombre de sommets de degré impair est 2.Considérons le graphe G ′ obtenu en ajoutant une arête reliant les deux sommets dedegré impair a et b. Alors le graphe G ′ est pair. Donc on retrouve le cas précédent eton en déduit que le graphe G ′ admet un cycle eulérien (une chaîne eulérienne fermée).Ce cycle est donc valable en commenant par n’importe quel sommet, notamment para ou b. Le cycle partant du sommet a finissant par ce même sommet par l’arête reliantle sommet b en a. Ceci est aussi possible avec le sommet b. On déduit que le grapheG ′ moins l’arête reliant a et b admet une chaîne eulérienne, c’est à dire, que G admetune chaîne eulérienne.Conclusion : Si le graphe G est connexe et que son nombre des sommets de degré impairest 0 ou 2 alors G admet une chaîne eulérienne.[UnivCan, Alavi, parpro, Stew, berge, Fourapli]Du point de vue algorithmique Soit un graphe G connexe de degré pair pourqu’il existe une chaîne eulérienne fermé. Le graphe ne peut pas avoir deux sommet dedegré impair car la chaîne eulérienne sera nécessairement ouverte.

Algorithmes labyrinthiques 57On part d’un point quelconque x 0 . On construit un parcours P (x 0 , x 1 , ...,x k = x 0 )sans répétition d’arêtes.Si ce parcours est une chaîne eulérien, on a terminé. Sinon, il existe des arêtes de Gqui ne sont pas des arêtes de P. Alors il existe un sommet x i de P ayant une arête e deG n’appartenant pas à P. Comme P est un parcours fermé sans répétition d’arêtes, tousles sommets sont extrémités d’un nombre pair d’arêtes de P. Donc le graphe G ′ obtenu àpartir de G en supprimant les arêtes de P satisfait encore la condition de parité des degrés.En appliquant le même principe à partir du sommet x i et de l’arête e dans G ′ , on construitun nouveau parcours P ′ (x i = y 0 , y 1 , ...,y h = x i ) .On peut en déduire alors un parcours P ′′ sans répétition d’arêtes qui contient à la foisles arêtes de P et de P ′ .P ′′ (x 0 , x 1 , ...,x i = y 0 , y 1 , ...,y h = x i , x i+1 , ...,x k = x 0 ).Donc P ′′ est un parcours fermé sans répétition d’arêtes.Si ce parcours est une chaîne eulérienne, on a terminé. Sinon, on recommence en appliquantle même principe jusqu’à ce qu’on obtient une chaîne eulérienne.

58 Paul MonnotExemples :On veut programmer un traceur pour qu’il dessine un modèle quelconque. Pour mieuxoptimiser le traceur, il ne doit pas passer par la même ligne et lever le moins de fois lestylos.D’autres problèmes du même style sont aussi poser en entreprise notamment lors de lafabrication des circuits imprimés.Ce circuit imprimé se transforme en un graphe comme celui-ci :Le problème est que ce graphe n’est pas connexe. Donc on va rajouter des arêtes pourqu’il le soit. On peut en rajouter autant que cela est nécessaire pour que le parcours dugraphe soit plus facile possible. Les arêtes déjà présentent auront un poids de 1 (les noirs)car il faut obligatoirement passer par chacune d’entre elles. Et les autres auront un poidsde 0 (les rouges). Ces arêtes ne seront pas forcément traverser. Alors on pourrait obtenirce graphe :Il y a aussi l’exemple du facteur. Il doit distribuer le courrier dans la ville. Et pour nepas perdre de temps, il doit choisir le meilleur chemin pour partir de la poste, distribuer

Algorithmes labyrinthiques 59le courrier puis retourner à la poste. Donc chaque rue doit être traverser au moins unefois. Dans le meilleur des cas, il fera un parcours eulérien fermé. Sinon, il sera contraint depasser plusieurs fois dans la même rue (dans ce cas, c’est un problème plus complexe quine sera pas abordé).Références[Kauf] Kaufmann, Arnold and Brunet, André A., Méthodes et modèles de la rechercheopérationnelle, 1962[Roy] Roy, Bernard, Algèbre moderne et théorie des graphes orientées vers les scienceséconomiques et sociales, 1969[Mino] Thésée et le minotaure,http ://grenier2clio.free.fr/grec/the-mino.htm[Siga] André Siganos, Le Minotaure et son mythe, 1993[Wikimatlab] Wikipédia, Modélisation mathématique d’un labyrinthe,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Modelisation mathematique d’un labyrinthe[irrg] Irrgarten und Labyrinth,http ://www.mathematische-basteleien.de/irrgarten.htm[Algolab] Yann Langlais, Algorithmique pratique et optimisation de code :La générationde labyrinthes, http ://www.ilay.org/yann/articles/maze/[Stew] Stewart, Ian, Visions géométriques, 1994[Wikilab] Wikipédia, Labyrinthe, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Labyrinthe[Meny] Mény, Jean-Manuel, Introduction à la théorie des graphes, 2005[konig] Université lyon, Les ponts de Konigsberg,sierra.univ-lyon1.fr/irem/an2000/web/pont/pont.html[J-C Fou] Founier, Jean-Claude, Théorie des graphes et applications, 2006

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LA THÉORIE DU CHAOSGeoffrey NichilL3 MathématiquesTravail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E.Année 2007 - 2008Table des matièresPrésentation 62Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 Quelques définitions. 712 Approche ergodique. 782.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2 Théorème de récurrence de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3 Théorème ergodique et transformation mélangeante . . . . . . . . . . . . . 832.4 Définition du chaos ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Approche topologique. 993.1 Transformation topologiquement transitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Sensibilité aux conditions initiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3 Définition topologique du chaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Equivalence entre chaos topologique et ergodique? . . . . . . . . . . . . . . 1014 Aspects géométriques. 1034.1 Attracteur de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Transition vers le chaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 Exemple : l’application logistique. 10661

62 Geoffrey NichilPrésentationIntroduction« La théorie du chaos est pour les mathématiciens une théorie comme une autre, néeau XXe siècle. Cependant, il est à craindre que l’intérêt suscité par la théorie du chaosne soit en partie d à son nom, et que d’aucuns ne viennent y chercher une théorie dubordel ambiant, ce qui évidemment les exposera à de graves déconvenues, et n’aidera pasau progrès de la science. » (Ivar Ekeland)La théorie du chaos s’attache à modéliser des phénomènes physiques ’instables’ par le biaisdes mathématiques. Cette théorie traite de l’étude des systèmes dynamiques déterministesdont on ne peut prédire le comportement. On verra plus tard que cette imprédictibilitédépend en partie d’une forte sensibilité aux conditions initiales, modulant une propriétésupplémentaire de récurrence (théorème de récurrence de Poincaré). La théorie du chaoss’attache essentiellement à la description de systèmes à très faibles degrés de liberté maisdont la dynamique apparat comme très désordonnée. De tels systèmes sont appelés systèmesdynamiques chaotiques.Le fait que le système soit non linéaire est une condition nécessaire mais pas suffisante àl’apparition du chaos.Un système dynamique est un ensemble Ω muni d’une certaine structure (espace mesurable,topologie, structure algébrique...) et d’une dynamique d’évolution, c’est à dire : unefamille d’applications (ϕ s ) s∈Ωde Ω dans Ω (où (G, +) est un groupe abélien) préservantcette structure et telle que ϕ s+t = ϕ s ◦ ϕ t .Un système dynamique est déterministe s’il ne fait pas appel aux probabilités, ou si sadynamique d’évolution associe à chaque condition initiale ϕ 0 un et un seul état final ϕ(t).On peut maintenant émettre une définition ’heuristique’ des systèmes chaotiques :Un système dynamique déterministe est chaotique si une partie significative de l’ensembleΩ présente les deux propriétés suivantes :1. forte sensibilité aux conditions initiales :∃ε ≥ 0, ∀x ∈ Ω, ∀δ ≥ 0 : ∃y ∈ Ω, ∃p ∈ G tel que : ‖x −y‖ < δ ⇒ ‖ϕ p (x) −ϕ p (y)‖ > ε2. « récurrence de Poincaré » : pour presque toutes les conditions initiales, la trajectoireva repasser au cours du temps aussi près que l’on veut de sa position initiale (stabilité« à la Poisson »). Dans un système chaotique la fréquence de ce phénomène est trèsrare.

La théorie du chaos 63Exemples 1 :1. L’effet papillon, maxime de Benjamin Franklin.« Faute de clou, on perdit le fer,Faute de fer, on perdit le cheval,Faute de cheval, on perdit le cavalier,Faute de cavalier, on perdit la bataille,Faute de bataille, on perdit le royaume! »2. Evolution d’une population d’individus au cours du temps, Modèle de Verhulst:On modélise l’évolution d’une population par :U n+1 = r × U n (1 − U n )avec– U n : population ancienne,– U n+1 : population nouvelle,– 1 − U n : facteur limitant et r : facteur de croissancePrenons comme premier exemple : U 0 = 0, 3.10 6 et r = 3, 64.On veut estimer la population au bout de 400 ans : U 400 = 31759Prenons comme deuxième exemple, une population initiale légèrement différente :U 0 = 0, 300001.10 6 , on obtient U 400 = 65949 !Donc pour deux conditions initiales très proches on trouve des résultats complètementdifférents.3. Illustration du principe de récurrence de Poincaré :Soit une application linéaire f de R 2 dans R 2 définie par :f(x, y) = ((y)mod 1; (x + y − 1/2)mod 1)( )0 1dont la matrice est et soit un carré U = [O, 1] × [0, 1] à l’intérieur1 1duquel on a représenté le visage de Poincaré.L’application f correspond en quelque sorte à un étirement-recollement. Onapplique ensuite l’application f sur l’ensemble U.Après 241 itérations on observe à nouveau le visage de Poincaré (Principe dela transformation du boulanger).

64 Geoffrey NichilFig. 1 – Principe de récurrence de Poincaré.Un système dynamique peut être étudié indifféremment (ou presque) en temps continu ouen temps discret, ce qui revient à considérer G= R dans les temps continus ou G= Z dansles temps discrets. On peut cependant remarquer qu’il n’y a pas, en général, équivalenceentre les deux types de modèles.Exemple 2 : Modèle de Verhulst en temps continu.Etudions le modèle de Verhulst en considérant les temps continus, le systèmedevient alors :avec : r = ac oùy ′ = ry(1 − y/c)a : facteur de croissance, c : carrying capacity, ie : populationmaximale que peut supporter le modèle.On sait résoudre ce type d’équation différentielle (non linéaire) :y(t) =y(0)cy(0) + (c − y(0) exp(−act)On fixe maintenant c = 10 8 , r = 3, 64. On cherche la population àt = 400 :– y(0) = 0, 3.10 6 : y(400)=c– y(0) = 0, 300001.10 6 : y(400)=c

La théorie du chaos 65La population converge (ie : se stabilise) donc vers ’c’ : population limite. Il n’ya pas sensibilité aux conditions initiales.Deux approches sont possibles pour caractériser les systèmes chaotiques :– la première est l’approche ergodique qui utilise des lois probabilistes pour élaborer descritères de description.La théorie ergodique prétend « que l’on peut remplacer la moyenne temporelle par lamoyenne spatiale ». Par exemple, cela revient au même d’assister à la naissance d’uneplante jusqu’à sa mort que d’admirer à un même instant un grand nombre de plantes chacunereprésentative d’une des différentes étapes de la vie d’un spécimen. Cette premièreapproche nous amenera à une définition du chaos ergodique.– la seconde approche est l’approche topologique qui décrit les comportements élémentairesdu système.Cette approche nous conduira à une définition du chaos topologique.Ces deux approches constitueront les troisième et quatrième parties de ce TIPE. Enfin,la dernière partie s’attachera à décrire les aspects géométriques des systèmes chaotiques,notamment les attracteurs étranges et les différentes ’routes’ vers le chaos .Exemple 3 : « Route »vers le chaos : la fonction logistique.U n+1 = rU n − rU 2 noù :– rU n : taux de reproduction d’une population.– −rUn 2 : facteur limitant (mortalité, guerre....).1. si r < 1 : la population disparait :Fig. 2 – Exemple pour r = 0, 82. si r ∈ [1, 3] : la population se stabilise à : x c = (r−1)r:

66 Geoffrey NichilFig. 3 – Exemple pour r = 23. si r > 3 :– lorsque r ∈ [r 1 = 3, 0, r 2 = 3, 449489] la population prend la mêmevaleur tous les 2 ans.Exemple pour r = 3, 3 :Fig. 4 – Exemple pour r = 3, 3– lorsque r ∈ [r 2 , r 3 = 3, 544090] la population oscille entre 4 valeurs.Exemple pour r = 3, 5 :Fig. 5 – Exemple pour r = 3, 5On considère qu’aux valeurs r 1 , r 2 et r 3 il y a bifurcations, cela signifie que lecomportement change brusquement de nature. Lorsque le paramètre r est augmentéon assiste à un doublement de la période. Dans notre cas, la solution depériode p devient à chaque bifurcation une solution de période 2p.Pour visualiser comment varie la population en fonction de r, on représente lecomportement asymptotique de la population pour chaque valeur de r, c’est cequ’on appelle : diagramme de bifurcation.

La théorie du chaos 67Fig. 6 – Diagramme de bifurcation de la fonction logistique.Très vite le comportement de la population est de période inifinie( r = 4) : lecomportement est apériodique et on parle alors de situation chaotique.Ceci illustre le principe de transition vers le chaos : l’apparition d’un phénomènechaotique n’est pas immédiat, il passe par des bifurcations.HistoriqueLe précurseur de la théorie du chaos fut Henri Poincaré (1854-1912). Confronté à la difficultéde résoudre explicitement les équations gouvernant le système solaire, il décida dedécrire qualitativement le mouvement des différents corps du système solaire. C’est en1889, que Poincaré publia un mémoire pour l’obtention du prix Ocar 2 : « Sur le problèmeà 3 corps et les équations de la dynamique »(cf annexe 2 ); dans lequel il démontra unthéorème clé de la théorie du chaos : la stabilité à la Poisson.« Je n’ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du systèmesolaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathématique. L’emploi des invariantsintégraux m’a cependant permis d’atteindre certains résultats partiels, s’appliquantsurtout au problème dit restreint où les deux corps principaux circulent dans des orbitessans excentricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si onlaisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peuprobable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près quel’on voudra de sa position initiale. C’est ce que j’ai appelé la stabilité à la Poisson. »Plus tard, en 1908, il remarqua que les mouvements de l’atmosphère étaient naturellementle siège de comportements compliqués et difficiles à prévoir. En effet Poincaré avaitécrit dans son introduction de « Calculs des probabilités » :« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous nepouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est d au hasard. Si nous connaissionsexactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nouspourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais,lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrionsconnatre la situation qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation

68 Geoffrey Nichilultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que lephénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois; mais il n’en est pas toujours ainsi, ilpeut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de trèsgrandes dans les phénomènes finaux; une petite erreur sur les premières produirait une erreurénorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomènefortuit. »Mais c’est en 1963 que le scientifique américain Edward Lorentz introduit le concept desystème dynamique chaotique. L’adjectif chaotique apparut pour la première fois dansson article : « Flots non périodiques déterministes », adjectif qui désigne un comportementcomplexe mais néanmoins déterministe. Lorentz, qui voulait comprendre l’originedes limites de prédiction à long terme en météorologie, s’intéressa aux travaux d’un de sesanciens étudiants, Barry Saltzman. Celui-ci travaillait sur une simplification d’un modèlede convection contenant l’essentiel des phénomènes responsables des mouvements de l’atmosphère.En simplifiant à nouveau le système d’équation de Saltzman, Lorentz obtintun système de trois équations différentielles qu’il intégra numériquement sur son ordinateur.Pour représenter les solutions, Lorentz, ancien élève de Georges Birkhoff (qui étaitun des rares à continuer les travaux de Poincaré), décida d’utiliser l’espace de phases pourreprésenter l’évolution de son système au lieu de considérer une évolution temporelle : lerésultat obtenu fut un attracteur apériodique (figure 7) qui fut qualifié d’attracteur étrangepour la première fois en 1971 par les mathématiciens franais et hollandais David Ruelle etFloris Takens.Equations du modèle de Lorentz :⎧⎨⎩X ′ = η(Y − X)Y ′ = rX − XZ − YZ ′ = XY − bZFig. 7 – Attracteur apériodique solution du système de Lorentz. Seul le comportementasymptotique est représenté.L’origine de l’impossibilité des prédictions en météorologie est la dépendance aux conditionsinitiales. La découverte de cette dépendance fut un accident. En effet, Lorentz désirantexaminer plus en détail des séquences de résultats qu’il avait obtenu sur son ordinateur en

La théorie du chaos 69intégrant les équations simplifiées du modèle de Saltzman, décida de prendre un raccourci :au lieu de reprendre au début de son programme, il commenca à mi-chemin. Il entra alors lesconditions initiales dans la machine en tapant les résultats tirés du dernier listage(cf.annexe4). Lorentz pensait que cette nouvelle éxécution devait reproduire exactement l’ancienne,mais quand il examina les résultats, il vit ses derniers diverger très rapidement par rapportaux données précédentes. Il comprit alors que le problème venait des conditions initialesqu’il avait entrées. En effet, l’ordinateur affichait sur le listage seulement 3 décimales maisgardait en mémoire 6 décimales. Lorentz avait lui rentré des conditions initiales tronquéeset c’est cette infime erreur qui modifia complètement l’évolution du système (figure 8).C’est ainsi que le principe de sensibilité aux conditions initiales fut découvert.Fig. 8 – Evolution temporelle de la variable dynamique x du système de Lorenz pour deuxconditions initiales différentes de t = 0,001.

70 Geoffrey NichilLorentz illustra cette dépendance à travers une métaphore bien connue :« Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas? »Cette métaphore est souvent interprétée à tort en :« Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut provoquer une tornade au Texas »Mais cette dernière ne correspond pas à la citation de Lorentz qui avait avané ces deuxpropositions :– « Si un seul battement d’ailes d’un papillon peut avoir pour effet le déclenchementd’une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battementsprécédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d’autrespapillons, pour ne pas mentionner les activités d’innombrables créatures pluspuissantes, en particulier de notre propre espèce. »– « Si le battement d’ailes d’un papillon peut déclencher une tornade, il peutaussi l’empêcher. »On peut également remarquer que la trajectoire correcte n’est jamais accessible au calcul :quelque soit la précision retenue, la trajectoire calculée s’en écarte automatiquement audelà d’un temps plus ou moins long. La solution à ce paradoxe vient du fait que les erreursd’arrondis et l’incertitude sur la position initiale (déterminée par l’incertitude sur lesconditions initiales) se compensent. Ce résultat est assuré par le lemme de poursuite (oude filature; « Shadowing lemma ») de Rufus Bowen :Lemme 0.1. Lemme de Filature.« Il existe une trajectoire, solution rigoureuse du système, qui coincide avec la trajectoirecalculée à la précision retenue par le calcul. »La théorie du chaos entrana un bouleversement comparable à celui de la mécanique quantique.Bien que peu acceptée à ses débuts par la communauté scientifique, elle offre denos jours des applications dans la quasi totalité des domaines scientifiques mais aussi dansd’innombrables domaines tels que l’économie, la biologie, les sciences politiques.....Quelques exemples :1. En biologie (cf annexe 6) : Modélisation d’une réaction en chane impliquant3 variables.Le subsrat S, sous l’action d’une première enzyme E 1 donne un produit P 1 . Ceproduit sert de substrat à une seconde enzyme E 2 qui fournit un produit P 2 . A

La théorie du chaos 71chaque étape il y a une rétroaction du produit P i sur l’enzyme E i . La réactionest pilotée par une constante K s d’extraction du produit P 2 . Schématiquement :2. En économie : Cycles économiques.Les cycles d’activités sont des périodes de récession et d’expansion. Ils sontplus ou moins prononcés et durent plus ou moins longtemps. Ces cycles sontimprévisibles, et il est même impossible de distinguer si telle baisse d’activitéest passagère ou si elle est le début d’un nouveau cycle de récession. Mais ilsne sont pas totalement aléatoires : il existe un lien logique entre l’anticipationdes acteurs et leurs comportements. L’explication de ces phénomènes esten général de aux progrès technologiques. La théorie du chaos offre de nouvellespossibilités : elle relie les cycles économiques aux anticipations des agents(consommateurs et producteurs), à l’alternance des générations...3. En sciences politiques : Etude des conflitsLa modélisation des crises, en étudiant les petits points de divergence entredifférentes nations et leurs conséquences, permettra une certaine prédictibilitéà très court terme d’une guerre mais ne permettra jamais de déterminer àl’avance l’issue de celle-ci.Bibliographie : [01] [02] [03] [04] [05] [06]

72 Geoffrey Nichil1 Quelques définitions.L’objectif de ce TIPE réside dans l’étude des systèmes dynamiques dont le comportements’avère chaotique.On définit, dans un premier temps, ce qu’est un système dynamique :Définition 1.On appelle système dynamique sur un ensemble Ω une famille d’applications {ϕ s ; s ∈ G}paramétrées par le groupe commutatif (G, +) et vérifiant les propriétés suivantes :1. Chaque application ϕ s est définie sur une partie U s de Ω, et à valeurs dans Ω.2. L’application ϕ 0 définie sur Ω est id Ω .3. Si 0 s 1 s 2 alors U S1 ⊆ U S24. La famille {ϕ s ; s ∈ G} est un groupe à un paramètre d’application de Ω (cf.remarque2).L’ensemble Ω est appelé espace des phases du système dynamique.Remarque.1. L’ensemble Ω est muni d’une certaine structure : topologie, espace mesuré, structurealgébrique...2. Soit G un groupe commutatif. Une famille {ϕ s ; s ∈ G} est appelée groupe à unparamètre d’application de Ω si∀s, t ∈ G, ∀x ∈ Ω : ϕ s (ϕ t (x)) = ϕ s+t (x)3. Un groupe à un paramètre d’application est un groupe commutatif.4. On appelle flot le couple (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}).On peut considérer soit des systèmes dynamiques à temps discret, dans ce cas G = Z , soitdes systèmes dynamiques à temps continu, dans ce cas G = R.Exemples 1 : Systèmes dynamiques.1. Système à temps discret sur l’intervalle [0 ;1].Soit f : [0, 1] −→ [0, 1]. Soit {f n : n ∈ Z} le système dynamique à temps discretde générateur f.2. Système de FeigenbaumSoit g : [−1, 1] −→ [−1, 1] tel que : x ↦−→ 1 − µx 2

La théorie du chaos 73Fig. 9 – Figuier de Feigenbaum.où µ est un paramètre tel que : 0 µ 2On considère le système dynamique à temps discret {g n : n ∈ Z} , notons queson comportement dépend du paramètre de contrôle µ.Dans un second temps on présente ici les ’différents termes’ utiles à la description dessystèmes dynamiques.Définition 2.On considère le flot (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}).Pour tout s ∈ G, on note U s la partie de Ω telle que ϕ s est bien définie. Pour tout x ∈ Ω,on note I x l’ensemble des s ∈ G tel que x ∈ U s , ie : ϕ s (x)) est définie.1. On appelle trajectoire d’un point x sous l’action du flot, l’application g définie parg : I x −→ Ω tel que : x ↦−→ ϕ s (x)2. On appelle orbite du flot l’image de l’application g, ie :{ϕ s ; s ∈ I x }. Par conséquentune orbite est un sous-ensemble de l’espace de phase.3. On appelle x ∈ Ω position d’équilibre (ou point fixe) du flot, tout point qui est enmême temps une orbite, ie : ϕ s (x) = x .Exemple 2 : Orbite et trajectoire.On considère une application en temps discret, f : Ω −→ Ω où Ω est un sousensemble borné de R nOn note :f 2 (x) = f(f(x)), f 3 (x) = f(f 2 (x))......f n (x) = f(f n−1 (x))D’après ce qu’on avait vu précedemment, l’orbite de longueur p de f dans l’espacede phase Ω est la séquence suivante : {x, f(x), f 2 (x), ...., f p−1 (x)}, soit :On a vu dans l’introduction que les comportements chaotiques apparaissaient dans les

74 Geoffrey NichilFig. 10 – Orbite de longueur p.systèmes non linéaires, systèmes ne possédant pas à priori de solutions analytiques exploitables.On s’efforcera donc, de décrire les aspects qualititatifs des systèmes dynamiques.On énonce dans un troisième temps les différentes définitions concernant l’ω-stabilité etl’α-stabilité (au sens de Lyapunov) ainsi que les notions d’attractivité et de répulsivité d’unpoint fixe.Définition 3.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot où G = R ou [0, +∞] ou Z ou N.On suppose que Ω est un ensemble topologique séparé.Soit a un point d’équilibre.1. On dit que le point a est ω-stable au sens de Lyapunov si pour tout voisinage V dea, il existe un autre voisinage W de a tel que :∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et appartient à V.2. On suppose que G = R ou Z.On dit que le point a est α-stable au sens de Lyapunov si pour tout voisinage V dea, il existe un autre voisinage W de a tel que :∀x ∈ w, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et appartient à V.Définition 4.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot où G = R ou [0, +∞] ou Z ou N.On suppose que Ω est un ensemble topologique séparé.Soit a un point d’équilibre.1. On dit que le point a est attractif, ou asymptotiquement ω-stable, s’il existe un voisinageW de a tel que : ∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et lim s→+∞ ϕ s (x) = a.2. On suppose que G = R ou Z .On dit que le point a est répulsif, ou asymptotiquement α-stable, s’il existe un voisinageW de a tel que : ∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et lim s→−∞ ϕ s (x) = a.Ci-joint en annexe 7 le principe de Lyapunov quant à la stabilité d’un point d’équilibre.

La théorie du chaos 75Remarquons qu’un point d’équilibre ω-stable n’est pas forcément attractif, et reciproquement.En effet,Exemple 3 : Equation différentielle dans R 3 .⎧⎨On considère l’équation différentielle :⎩ẋ = 2y(z − 1)ẏ = −x(z − 1)ż = −z 3On vérifie facilement en utilisant le principe de Lyapunov que (0,0,0) est ω-stable, mais en utilisant le principe de La Salle on remarque que (0 ;0 ;0) n’estpas asymptotiquement stable, et donc pas attractif(cf annexe 7).Fig. 11 – Représentation des solutions.Pour conclure observons que dans les systèmes chaotiques, les trajectoires tendent à s’enfermerdans un sous-espace de l’espace de phase, appellé attracteur.Il existe trois types d’attracteurs :– les points fixes, représentatifs d’un état stationnaire.– les cycles limites, représentatifs d’un état périodique.– les attracteurs étranges, représentatifs d’un état apériodique et donc de lacomplexité d’un système chaotique.Un attracteur A ⊆ Ω, doit satisfaire les propriétés suivantes :– toute trajectoire proche de cet attracteur doit être attirée asymptotiquementvers lui.– l’attracteur doit être invariant sous l’application f, ie : f(A) ⊆ A.– l’attracteur doit être indécomposable, ie : ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∃λ ∈ N : f λ (x) =y.– la trajectoire doit visiter tout l’attracteur, ie : ∀U, V ouverts ⊆ A, ∃t : f t (U)∩V ≠ ∅En d’autres termes un attracteur est un ensemble compact de l’espace des phases, invariantpar le flot, vers lequel toutes les trajectoires convergent.On peut ainsi résumer ces propriétés par la défnition suivante :

76 Geoffrey NichilDéfinition 5.Un attracteur A pour l’application f : Ω −→ Ω , Ω ⊆ R n , Ω borné est le plus petit ensemblecompact tel que :B := {x ∈ Ω : lim infs→+∞ y∈A |fs (x) − y| = 0} ≠ ∅On définit maintenant le principe de bassin d’attraction,Définition 6.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot. On suppose que Ω est un espace topologique séparé.Soit a ∈ Ω un point d’équilibre.On appelle bassin d’attraction du point a l’ensemble :{x ∈ Ω, ∀s ∈ G, s 0 : ϕ s (x)est définie et lims→+∞ ϕ s(x) = a}On appelle bassin de répulsion du point a l’ensemble :{x Ω, ∀s ∈ G, s 0 : ϕ s (x)est définie et lims→+∞ ϕ s(x) = a}Remarquons, au passage, qu’un point d’équilibre ’a’ d’un flot (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) est attractifsi et seulement si son bassin d’attraction est un voisinage de celui-ci.Il existe une variante de théorème de Lyapunov, utilisant également le principe de La Salleet reliant le bassin d’attraction et la stabilité d’un point d’équilibre, elle est énoncée enannexe 7.Illustrons désormais, les différentes notions que nous venons d’énoncer autour du modèlede Lorentz :Exemple 4 : Modèle de Lorentz représentatif des principaux mouvements de l’atmosphère.On considère le système autonome, ie ne dépendant pas du temps :⎧⎨ X ′ = η(Y − X)Y ′ = rX − XZ − Y⎩Z ′ = XY − bZoù :– η = nombre de prandt =10– r = nombre de Rayleight > 0– b = 8/3

La théorie du chaos 77On étudie le comportement de ce modèle selon le paramètre r :– si r ∈]O, 1[ :0 R 3 est l’unique point d’équilibre, 0 R 3 est asymptotiquement stable.Ce cas est représentatif d’un état de conduction pure, sans convection.

78 Geoffrey Nichil– si r ∈]1 , 24, 7368[ :0 R 3 devient instable, mais il existe deux nouveaux points d’équilibre :E 1 et E 2 : z = r − 1 ; x = y = ± √ η(r − 1). Ces deux équilibres correspondentphysiquement aux deux états de convection circulaire. Lapossibilité de choisir + ou - pour x et y représente l’existence de deuxsens de rotation pour les rouleaux de convection représentatifs desdeux états. En effet, on observe sur la représentation des solutions,en dessous, pour r = 5, deux foyers stables.Fig. 12 – Exemple pour r = 5 : deux foyers stables.– si r ∈]13, 93 , 24, 06[ :Paradoxalement, des zones de répulsions se forment autour des pointsfixes E 1 et E 2 , entrainant un phénomène de chaos transitoire appeléchaos métastable.– si r > 24 :un attracteur étrange se forme. Voici un exemple pour r = 28Fig. 13 – Attracteur étrangeOn a déjà expliqué le principe de la sensibilité aux conditions initiales. Ceprincipe signifie qu’au bout d’un certain temps la connaissance des conditionsinitiales ne nous apprend plus rien sur l’état réel du système. Ce temps estappelé temps de Lyapunov ( ou horizon de Lyapunov) et est noté τ. En dessousde ce temps τ, le système est prédictible, au dessus de ce temps τ le caratèrechaotique du système peut apparaitre. Dans notre exemple, un comportementchaotique va avoir lieu sans perturbation extérieure.On note également que les exposants de Lyapunov mesurent la croissance del’erreur due à la s.c.i. En effet, pour r = 28 on pertube de σ = 10 −8 le point x 0 àt 0 pour obtenir le point x 1 . On mesure ensuite l’écart entre les deux trajectoires

La théorie du chaos 79issues de ces différentes conditions initiales : λ(t) est le coefficient de Lyapunov.Observons l’écart entre les deux trajectoires issues de conditions initiales trésproches :Fig. 14 – Trajectoire issue d’une condition initiale x 0 .Fig. 15 – Trajectoire issue d’une condition initiale x 0 + δ 0Observons également l’amplification de l’écart λ en fonction du temps :Fig. 16 – Amplification de l’écart.Notons que le paramètre r est un paramètre de contrôle. En effet il déterminela nature chaotique ou non du système dynamique considéré. Influer sur ceparamètre permettrait sans doute de prédire le comportement du système. Onavait vu dans l’annexe 5, que le nombre r représentait le rapport de la vitesseascensionelle sur la vitesse d’équilibre thermique. On avait également remarquéque pour r ≫ 1, la vitesse ascensionnelle étant très élevée, celle-ci empechaitla particule de fluide de s’équilibrer et le système devenait convectif, ce quiconfirme la nature chaotique du système pour r ≫ 1.Pour terminer cet exemple, on remarque que les trajectoires décrivent toutl’attracteur étrange. On note aussi, que ces trajectoires ne se coupent jamais etparadoxalement divergent de faon exponentielle sur ce même attracteur. Ceciest rendu possible par un phénomène d’étirement-recollement, appelé procédédu ”fer à cheval”, présent dans tout attracteur chaotique.L’objet essentiel de l’étude des systèmes dynamiques réside dans la prédiction de l’évolution

80 Geoffrey Nichilde ces systèmes. On va maintenant entrevoir deux approches différentes nous permettantd’étudier qualitativement un sytème chaotique.Bibliographie : [07] [08] [09] [10] [11]

La théorie du chaos 812 Approche ergodique.2.1 Motivation.Le mot « Ergodique »est issu des termes grecques ǫργoν (ergon=travail) et oδoς (odos=route), signifiant « chemin d’énergie ». C’est Boltzman qui introduit ce concept dès 1885lorsqu’il étudiait la théorie des gaz cinétiques. La théorie ergodique repose sur le principesuivant : il est équivalent de considérer moyenne temporelle et moyenne spatiale.L’objet de cette théorie est l’étude des systèmes dynamiques mesurés sur lesquels agissentune transformation préservant la mesure.Définissons à présent ces notions.On traitera uniquement, dans cette partie, des systèmes dynamiques à temps discret.Définition 7.Soit ( Ω; β ; µ ) un espace probabilisé, où β est la tribu de Borel et µ la mesure de Borel-Lebesgue associé.Soit ϕ : Ω −→ Ω une application.On dit que ϕ est une application préservant la mesure si :∀A ∈ β : µ(ϕ −1 (A)) = µ(A)Remarque.Pour vérifier que ϕ préserve la mesure, il suffit de le vérifier pour n’importe quel ensembleappartenant à une famille qui endendre β.Exemple 1 : Système dynamique préservant la mesure.On considère le système dynamique mesuré : ([0, 1], β, µ, S)où µ est la mesure binomiale déterminée par p et q , β est la tribuborélienne sur [0, 1] et S : [0, 1] −→ [0, 1] tel que{2x si 0 x 1/2x ↦−→2x + 1 si 1/2 < x 1On considère l’intervalle dyadique suivant :A = [k2 −n , (k + 1)2 −n ] où 0 k 2 n − 1Cette intervalle A est de mesure : µ(A) = p N q n−N où N est le nombre de 0 dansla décomposition binaire de 2 n (Cf annexe 8).A a pour image réciproque par S, la réunion des deux intervalles suivante :

82 Geoffrey Nichil– B = [k2 −n−1 ; (k + 1)2 −n−1 ] de mesure µ(B) = p N+1 q n−N– C = [1/2+k2 −n−1 ; 1/2+(k+1)2 −n−1 ] de mesure µ(C) = p N q n+1−NComme S −1 (A) = B ∪ C on obtient donc :µ(S −1 (A)) = µ(B ∪ C) = µ(B) + µ(C) = µ(A)(p + q) = µ(A)Par conséquent S préserve la mesure de tout intervalle dyadique. Or tout intervalledyadique engendre la tribu β, donc S préserve la mesure binomiale.Définition 8.Soit {ϕ s ;s ∈ N ou Z} un système dynamique à temps discret de générateur ϕ.On appelle système dynamique mesuré l’espace probabilisé ( Ω; β ; µ ) muni de l’applicationϕ préservant la mesure, on le note ( Ω ; β ; µ; ϕ ).Pour définir qualitativement la nature d’un système dynamique, on cherche à mesurer lacomplexité de sa dynamique.On a vu précedemment que les attracteurs étaient représentatifs de l’état d’un système etdonc de sa complexité, notamment un attracteur étrange est représentatif d’un état chaotique.Il est donc naturel de chercher à établir une classification des systèmes dynamiquesen fonction de leurs attracteurs.On a également vu que l’une des propriétés essentielles d’un système chaotique était las-c-i.Pour mesurer la complexité d’un système dynamique il est donc logique de chercher à mesurerle taux de divergence moyen entre les trajectoires.Exemple 2 :On considère une itération à une variable : X s+1 = F(X s ) et la trajectoire deréférence X s , s = 0, 1, .... issue de la condition initiale X 0 .On perturbe la condition initiale de δX 0 : ˜X0 = X 0 + δX 0Déterminons l’écart entre les trajectoires issues de ces deux conditions initialesinfiniment proches. On a :˜X 1 = X 1 + δX 1 = F(X 0 + δX 0 ) = F(X 0 ) + F ′ (X 0 )δX 0où F ′ = dFdXLa distance entre les deux trajectoires après une itération est donnée par :|δX 1 | = |F ′ (X 0 )δX 0 | = |F ′ (X 0 )||δX 0 |soit après s itérations :|δX s | = ∏ s−1s ′ =0 |F ′ (X s′)||δX 0 |.Pour une trajectoire quelconque, on peut définir : γ s = |δXs||δX 0 | = ∏ s−1s ′ =0 |F ′ (X s′)|.

La théorie du chaos 83On prend ensuite la limite du log de la dernière expression afin d’obtenir letaux local de divergence, soit :γ = lim ( ∏s−1s→+∞s ′ =0|F ′ (X s′)|) 1/sDéfinition 9.On appelle plus grand exposant de Lyapunov la moyenne temporelle du taux local de divergencele long de la trajectoire de référence, soit λ = log γOn peut de la même manière obtenir le plus grand exposant de Lyapunov pour une itérationd-dimensionelle.On peut également, par quelques astuces, obtenir le spectre de Lyapunov :Sp(Lyap)= λ 1 ,...., λ d où λ 1 = λ.Voici maintenant une caractérisation des attracteurs d’un système dynamique en fonctiondu spectre de Lyapunov :Fig. 17 – Caractérisation des attracteurs.Obervations : On considère le cas continu :– le fait d’avoir un exposant nul dans le spectre de Lyapunov traduit le faitque la distance entre deux points d’une même orbite séparés d’un intervallede temps fixe, ne peut ni crotre indéfiniment ni tendre vers 0. C’est à direque l’attracteur ne se réduit pas à un point fixe et contient l’ensemble destrajectoires.– le fait d’avoir un ou plusieurs exposants positifs traduit le fait que la trajectoirepeut être instable dans une ou plusieurs directions.Ceci nous ammène au théorème suivant :Théorème 2.1.Un système est chaotique si son spectre de Lyapunov possède au moins un exposant positif.Remarquons toutefois que l’information moyenne contenue dans le spectre de Lyapunov estd’un intérêt théorique, en pratique on s’intéresse à la limite de prédictibilité des trajectoires

84 Geoffrey Nichild’un système dynamique. C’est pourquoi on considère des exposants de Lyapunov à tempsfini, soit en reprenant l’exemple d’une itération à une variable :λ s = 1 ∑s−1log |F ′ (X s ′)|ss ′ =0Mais cette quantité peut fluctuer tout au long de la trajectoire. Ainsi, dans la pratique ilsera plus judicieux de décrire la dynamique du système sous forme statistique. On utiliseradonc une approche probabiliste pour évaluer la divergence des trajectoires d’un systèmechaotique.Dans un premier temps on présentera le résultat principal de la théorie ergodique : lethéorème de Poincaré.On énoncera ensuite différentes notions concernant l’ergodicité, notamment le théorème deBirkhoff, ainsi que la notion de système dynamique ergodique.Pour conclure, on établiera une définition ergodique du chaos.2.2 Théorème de récurrence de PoincaréOn se pose maintenant la question suivante :« Si l’on considère une partie A de la tribu β et une condition initiale x 0 ∈ Ω,est ce que l’orbite de x 0 sous l’action de ϕ visitera l’ensemble A et ce combiende fois? »L’un des premiers résultats de la théorie ergodique donne une réponse partielle à cettequestion.Théorème 2.2. Théorème de récurrence de PoincaréSoit ( Ω; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré, ie β est une tribu sur Ω et ϕ est uneapplication préservant la mesure µ.Soit A une partie de Ω.Alors pour presque tout x 0 ∈ A, il existe k 0 tel que ϕ k (x 0 ) ∈ A. On dit également quepresque tous les points x 0 ∈ A sont récurrents par rapport à A.Preuve.On pose : U p = ϕ −p (A) ∪ ϕ −(p+1) (A) ∪ ..... ∪ ϕ −k (A) ∪ .... = ⋃ +∞s=p ϕ−s (A)où p 0On a : ∀p 0, U p ⊆ Ω ⇒ µ(U p ) µ(Ω) car µ est une mesure.On a : ∀p 0, U p ⊆ U 0 car U 0 = ⋃ +∞s=0 ϕ−s (A)On a également :ϕ p (U p ) = ϕ p (ϕ −p (A) ∪ ϕ −(p+1) (A) ∪ ..... ∪ ϕ −k (A) ∪ ....)ϕ p (U p ) = A ∪ ϕ −1 (A) ∪ ϕ −2 (A) ∪ ....ϕ −k (A) ∪ ....

La théorie du chaos 85ϕ p (U p ) =+∞⋃k=0ϕ p (U p ) = U 0ϕ −k (A)Donc µ(U 0 ) = µ(ϕ p (U p )) = µ(U p ) car ϕ préserve la mesure.Donc µ(U 0 \ U p ) = µ(U 0 ) − µ(U p ) = 0Comme A est inclue dans U 0 , la mesure de l’ensemble des points qui est dans A et qui neretourne pas dans A est donc nulle : µ({x ∈ A : ϕ −k (x) /∈ A}) = 0En effet :{x ∈ A : ϕ k (x) /∈ A} = {x ∈ A : ∀k, x /∈ ϕ −k (A)}{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = {x ∈ A : ∃k, x ∈ ϕ −k (A) c }{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A ∩ ⋂ k1ϕ −k (A) c{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A ∩ ( ⋃ k1ϕ −k (A)) c{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k c(x) /∈ A} = A ∩ U 1{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A\U 1Comme A est inclue dans U 0 on a bien : µ(A\U 1 ) = 0Remarque.1. Dans un système dynamique chaotique la fréquence de ce phénomène est extrêmentrare (de l’ordre de l’ge de la galaxie).2. Il existe une autre version du théorème de Poincaré disant que l’application ϕ reviendraune infinité de fois dans A, mais sa démonstration utilise le théorème deBirkhof.Exemples :1. Cf introduction et le « visage de Poincaré ».2. Paradoxe de Zermelo.On considère un gaz enfermé dans un tiroir.Un gaz, en mécanique classique, est réprésenté par un grand nombre de moléculesintéragissant les unes avec les autres. Ce type de système est appelé système hamiltonien.Soit ϕ l’application qui à un état initial fait correspondre l’état suivant, soit : ϕ({x i }) ={x i+1 }. On peut créer une mesure µ sur ce système tel que ϕ préserve cette mesure.Soit A := « toutes les molécules se trouvent à gauche dans le tiroir ».On suppose qu’à x 0 A est vérifié. Naturellement le gaz va se disperser dans tout le

86 Geoffrey Nichiltiroir après l’instant x 0 .Le théorème de récurence de Poincaré nous dit que l’état A va se repoduire une infinitéde fois. Mais dans la réalité , ce genre de phénomène n’a jamais était observé :c’est le paradoxe de Zermelo.Il est expliqué par le fait que la durée des cycles de récurences dans le théorèmede Poincaré peut dépasser la durée de vie de la galaxie, mais ce résulat peut êtreretrouvé en simulant ce système sur un ordinateur.2.3 Théorème ergodique et transformation mélangeanteL’objectif de cette partie est de simplifier l’étude des systèmes dynamiques.En effet, on veut décomposer la dynamique d’un système en sous dynamiques plus simples.Pour ce faire on va étudier des systèmes du type ( Ω; β ; µ ; ϕ ) où la transformation ϕ estirréductible, c’est à dire que l’on ne peut « scinder »en plusieurs parties l’étude de ϕ.La notion d’ergodicité nous permettra de « constater »si une application est irréductibleet de voir si un système dynamique est indécomposable.Enfin le théorème ergodique nous permettra de répondre complètement à la question dutemps de séjour moyen d’une orbite au sein d’un ensemble mesurable.ErgodicitéOn peut également définir l’ergodicité comme la propriété d’un système qui tend vers unétat final indépendant de son état initial.

La théorie du chaos 87Exemple :La probabilité pour qu’après un battage assez long une carte occupe une placedonnée est indépendante de sa position initiale. Si le battage n’était pas unphénomène ergodique alors les joueurs de cartes ne pourraient pas faire confianceà cette méthode pour obtenir une situation de hasard nécessaire au début dechaque partie.Cette indépendance satisfait à notre intuition mais qui n’a jamais douté en pratique decette indépendance? Voici une histoire amusante :Un jour, un malade qui devait subir une lourde intervention chirurgicale questionnason medecin :- Docteur, combien de chance ais-je de m’en sortir?- 99%, répond le docteur.- Et combien avez vous réussi d’opérations comme celle la ?- 99, répond le docteur.Ceci est un paradoxe à notre intuition.Définition 10.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré tel que : µ(Ω) = 1L’application ϕ est ergodique si :Remarque.∀A ∈ β : ϕ −1 (A) = A alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 11. Le système dynamique mesuré ( Ω; β ; µ; ϕ ) où ϕ est ergodique, est appelé systèmedynamique indécomposable. Un système ( Ω; β ; µ; ϕ ) est donc indécomposable sitout ensemble A, mesurable, invariant et inclu dans Ω, est de mesure égale à 0 ou 1.2. Un système dynamique indécomposable peut tout de même être scindé en plusieurssous systèmes de mesures nulles.Proposition 1.Soit (Ω, β, µ, ϕ) un système dynamique mesuré.Une application ϕ est ergodique si et seulement si les fonctions mesurables invariantes parϕ ( ie : f(ϕ(x)) = f(x)) sont constante µ − pp.Preuve.

88 Geoffrey Nichil– ’→’On suppose que ϕ est ergodique. Soit g une fonction mesurable invaraiante.Par l’absurde : on suppose { que g n’est pas constante.A = {x ∈ Ω : g(x) r}Alors ∃r ∈ R tel queB = {x ∈ Ω : g(x) > r}On a d’autre part :ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : ϕ(x) ∈ A}ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : g(ϕ(x)) r}ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : g(x) r} = ADe même ϕ −1 (B) = B {0 < µ(A)Comme A ∩ B = ∅ on a :µ(B) < 1 contradictionDonc g est constante.– ’←’ Par contraposée : on suppose que ϕ n’est pas ergodique.Donc ∃C ∈ β tel que µ(C) ≠ 0 et µ(C) ≠ 1.On pose g = 1 C ou 1 C est la fonction indicatrice de C.On a : g(ϕ(x)) = 1 C (ϕ(x)) = 1 ϕ −1 (C)(x) = 1 C (x) = g(x)Donc g(ϕ(x)) = g(x)Donc : si ϕ n’est pas ergodique alors il existe g non constante tel que g(ϕ(x)) = g(x).Donc si g est une fonction mesurable et invariante par ϕ alors ϕ est ergodique.Exemple 3 : Application ergodique.Soit (Ω, β, µ) un espace mesuré tel que µ(Ω) = 1.On définit sur l’espace produit (Ω N , β ⊗N , µ ⊗N ) une application ϕ tel que :ϕ({x i }) = {x i+1 }Montrons que ϕ est ergodique.Soit f une application invariante et intégrable, ∀ǫ > 0, ∃g ∈ L 1 tel que : |g−f|

La théorie du chaos 89Théorème ergodiqueOn définit maintenant la moyenne temporelle (si elle existe) et la moyenne spatiale d’uneapplication f définie sur Ω et à valeurs dans Ω.Définition 11.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.La moyenne temporelle (si elle existe) d’une fonction f ∈ L 1 (µ) est :N−1f ∗ 1 ∑= lim N→+∞ f(ϕ n (x))Nn=0Définition 12.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.La moyenne spatiale d’une fonction f ∈ L(µ) est :¯f = 1 ∫fdµ µ − ppµ(Ω)On énonce maintenant le résultat majeur de la théorie ergodique :Théorème 2.3. Théorème de BirkhoffSoit ( Ω; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré, où Ω est de mesure finie, et f ∈ L 1 (µ).Alors :1. f ∗ existe µ presque partout et f ∗ ∈ L 1 (µ).2. f ∗ (ϕ(x)) = f ∗ (x)3. ∫ Ω fdµ = ∫ Ω f ∗ dµ µ presque partout.4. Si de plus ϕ est ergodique alors : f ∗ = ¯f, ie :limN−→+∞N−11 ∑Nn=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)fdµµ − ppPreuve. Preuve du théorème de BirkhoffOn pose :{ f∗ 1sup = lim sup N→+∞ Nfsup ∗ = lim inf N→+∞ 1 N∑ N−1∑ N−1n=0 f(ϕn (x))n=0 f(ϕn (x))

90 Geoffrey Nichil1. (a) Montrons tout d’abord que fsup ∗ = fsup ∗ ◦ ϕet finf ∗ = f inf ∗ ◦ ϕ :On pose :{ ∑ f∗ 1sup = lim sup N−1N→+∞ N n=0 f(ϕn (x))fsup ∗ = lim inf ∑N→+∞ 1 N−1N n=0 f(ϕn (x))∑On note : a N (x) = 1 N−1N n=0 f(ϕn (x))On a : { ∑aN+1 (x) = 1 NN+1 n=0 f(ϕn (x))∑a N (ϕ(x)) = 1 N−1N n=0 f(ϕn+1 (x))Donc :N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N∑f(ϕ n (x)) − 1 NNn=0N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N f(x) + 1 NN−1∑n=0N∑f(ϕ n (x)) − 1 Nn=1N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N f(x)– Par passage au ’sup’ on obtient :Donc :lim supN→+∞Finallement :N + 1Nlim supN→+∞a N+1(x) − lim sup a N (ϕ(x)) = lim supN→+∞N→+∞N + 1Na N+1(x) − lim sup a N (ϕ(x)) = 0N→+∞f ∗ sup ◦ ϕ = f ∗ sup– De même par passage à ’l’inf’ on obtient :Donc :lim infN→+∞Finallement :N + 1Na N+1(x) − lim inf a N(ϕ(x)) = lim infN→+∞ N→+∞lim infN→+∞On a donc montré que :N + 1Na N+1(x) − lim inf a N(ϕ(x)) = 0N→+∞f ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inf{ f∗sup ◦ ϕ = f ∗ supf ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inff(ϕ n+1 (x))N∑f(ϕ n (x))n=11N f(x)1N f(x)

La théorie du chaos 93Avec le corollaire précedent on obtient de la même manière :∫E α,βfdµ βµ(E α,β )Et finallement :Donc si : β < α : :∫αµ(E α,β ) fdµ βµ(E α,β )E α,βαµ(E α,β ) βµ(E α,β )Ce qui implique : µ(E α,β ) = 0D’autre part {x ∈ Ω : finf ∗ (x) < f sup(x)} ∗ = ⋃ α,β∈Q tq β

94 Geoffrey NichilOr : ‖f(ϕ n )‖ 1= ‖f‖ 1En effet on peut associer à la mesure µ une mesure image notée ϕ ∗µ sur (Ω, β)définie par : ϕ ∗µ (B) = µ(ϕ −1 (B)) ∀B ∈ βet dans ce cas : ∫ fdϕ ∗µ = ∫ f ◦ dµDonc : ‖f ◦ ϕ‖ 1= ‖f‖ 1On montre ensuite par récurrence que ‖f(ϕ n )‖ 1= ‖f‖ 1Donc :car : f ∈ L 1 (µ)∫g N dµ 1 NDonc ∀N ∈ N : ∫ g N dµ < +∞Donc lim inf ∫ g N dµ < +∞N−1∑n=0On utilise ensuite le théorème suivant :∫|f(x)|dµ = ‖f‖ 1< +∞Théorème 2.4. Théorème de FatouSoit (f n ) n une suite quelconque de ¯M + (Ω, ̥)( où ̥ est une tribu surl’ensemble Ω).Alors on a : ∫∫lim inf f n dµ lim inf f f dµDonc :Or∫∫lim g Ndµ lim infN→+∞ N→+∞g N dµ < +∞lim g N(x) = lim | 1 N−1∑f(ϕ n (x))|N→+∞ N→+∞ Nlim g N(x) = |N→+∞Donc ∫ |f ∗ dµ| < +∞ c’est à dire :limN→+∞n=0n=0N−11 ∑f(ϕ n (x))| = |f ∗ |Nf ∗ ∈ L 1 (µ)2. Montrons que f ∗ (ϕ k (x)) = f ∗ (x) :On a montré dans la première partie de la démonstration que :{ f∗sup ◦ ϕ = f ∗ supf ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inf

La théorie du chaos 95et que : f ∗ existe et vaut :Donc on a bien :f ∗ sup = f ∗ inf = f ∗f ∗ (ϕ k (x)) = f ∗ (x)3. Montrons que ∫ fdµ = ∫ f ∗ dµ µ presque partout.Ω ΩPosons : Dk N = {x ∈ Ω : k f ∗ < k+1 } où k ∈ Z, N 1N NOn a : ϕ −1 (Dk N) = DN k car :ϕ −1 (D N k ) = {x ∈ Ω : kN f ∗ (ϕ(x)) < k + 1N}ϕ −1 (D N k ) = {x ∈ Ω :De plus ∀ε : D N k ∩ B k N −ε = DN k car :Soit x ∈ D N k alors :kN lim supN→+∞Donc k − ε < sup N N1 1 NDonc x ∈ B kN −εDe plus µ(D N k ) < +∞ car DN kN−11 ∑Nn=0kN f ∗ (x) < k + 1N}ϕ −1 (D N k ) = DN kf(ϕ n (x)) supN1∑ N−1n=0 f(ϕn (x))⊆ Ω et µ(Ω) < +∞N−11 ∑NOn peut donc appliquer le corollaire précedent :∫fdµ ( k N − ε)µ(DN k ∩ B k−ε) ND N k ∩B kN−εn=0f(ϕ n (x))Ce qui implique :∫D N kfdµ ( k N − ε)µ(DN k )On a :f ∗ dµ k+1Nsur DN kDonc :∫∫D N kD N k∫f ∗ dµ D N kf ∗ dµ k + 1Nk + 1N∫1D N k

96 Geoffrey Nichil∫D N kf ∗ dµ k + 1N µ(DN k ) = k N µ(DN k ) + 1 N µ(DN k )∫ ∫f ∗ dµ fdµ + 1 N µ(DN k )D N kOr : Ω = ⋃ k∈Z DN k , ∀N 1 et les DN kDonc µ(Ω) = ∑ k∈Z µ(DN k )Et ∫ f ∗ dµ = ∑ ∫Ω k∈Zf ∗ dµDkNDonc ∑ ∫k∈Zf ∗ dµ ∑ ∫DkN k∈ZD’ou : ∫ f ∗ dµ ∫ µ(Ω)fdµ +Ω Ω NSi N → +∞ :∫D N kΩD N ksont disjoints.fdµ + 1 N∫f ∗ dµ Ω∑k∈Z µ(DN k )fdµ (1)On remplace maintenant f par −f, cela donne :∫ ∫(−f) ∗ dµ (−f)dµΩΩOr : (−f) ∗ sup = −finf ∗ donc : ∫ ∫− finf ∗ dµ −ΩD’où :Comme f ∗ inf = f ∗ sup = f ∗ on a :∫Avec (1) et (2) on obtient :Ω∫Ωf ∗ inf dµ ∫∫f ∗ dµ ∫Ω∫f ∗ dµ =ΩfdµΩfdµΩfdµ (2)Ωfdµ4. Conclusion : En appliquant la proposition 1 on obtient :limN−→+∞N−11 ∑Nn=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)fdµRemarque. Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) vérifiant le théorème de Birkhoff estappelé système ergodique.

La théorie du chaos 97Exemples : Applications du théorème de Birkhoff.1. Temps de séjour moyen.Soit ( Ω; β ; µ ; ϕ ) un système dynamique mesuré et χ A est la fonction indicatricede l’ensemble A inclu dans β.En appliquant le théorème précedent pour f = χ A ∈ L 1 (µ), on obtient :limN→+∞N−11 ∑Nn=0χ A (ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)χ A dµ = µ(A)µ(Ω)Ceci signifie que le temps de séjour moyen du système dynamique passé dansA, c’est à dire la proportion des élements de l’orbite de x qui sont dans A, estégal au rapport µ(A)µ(Ω)De plus comme la mesure µ est une probabilité sur Ω, alors le temps de séjourmoyen est égal à la mesure de l’ensemble A.2. Caractérisation d’une application ergodique.On considère ( Ω; β ; µ ; ϕ ) un système dynamique mesuré.Alors : ϕ est ergodique si et seulement siN−11 ∑∀A, B ∈ β : lim µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)N→+∞ Nn=0Preuve :′ −→ ′ Supposons que ϕ soit ergodique.D’après le théorème de Birkhoff et ∀f ∈ L 1 (µ), on a :f ∗ = limN→+∞1NN−1∑n=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫fdµµ(Ω) Ωµ − pp.Comme Ω est un espace de probabiilité : f ∗ (x) = ∫ fdµ µ − ppΩOn prend f = 1 A où A ∈∑β1On a alors : lim N−1N→+∞ N n=0 1 A(ϕ n ) = ∫ 1 Ω Adµ = µ(A) µ − pp.∑1∀B ∈ β : lim N−1N→+∞ N n=0 1 A(ϕ n )1 B = µ(A)1 B µ − pp.Or :| 1 NN−1∑n=01 A (ϕ n )1 B | 1 NN−1∑n=0|1 A (ϕ n )|1 B | 1 NN−1∑n=01 = 1

98 Geoffrey NichilD’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue :Donc :∫ N−11 ∑∫lim 1 A (ϕ n )1 B =N→+∞Ω NlimN→+∞n=0limN→+∞limN→+∞limN→+∞1N1N1NN−1∑n=0N−1∑n=0N−1∑n=0N−11 ∑Nn=0∫∫∫ΩΩΩΩlimN→+∞∫1 A (ϕ n )1 B =N−11 ∑NΩn=0µ(A)1 B1 ϕ −n (A)1 B = µ(A)µ(B)1 ϕ −n (A)∩B = µ(A)µ(B)µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)1 A (ϕ n )1 B′ ←− ′ Supposons que :N−11 ∑∀A, B ∈ β : lim µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)N→+∞ Nn=0Soit C ∈ β tel que : ϕ −1 (C) = C.On remplace A et B par C, on obtient :limN→+∞N−11 ∑Nn=0µ(C) = µ(C) 2C’est à dire : µ(C) = µ(C) 2 . Donc ϕ est ergodique.On énonce maintenant un corollaire du théorème précedent reliant les notions de systèmesergodiques et de systèmes indécomposables.Corollaire 2.Un système dynamique mesuré ( Ω; β ; µ; ϕ ) est ergodique si et seulement si : il estindécomposable, au sens où tout ensemble invariant de Ω est de mesure nulle.Preuve.”→””←”évident car ϕ est ergodique.

La théorie du chaos 99Par contraposé :Supposons que le système n’est pas ergodique Il existe donc une fonction f dontla moyenne temporelle f ∗ dépend de x.Posons : M 1 = {x : f ∗ (x) < a} et M 2 = {x : f ∗ (x) a}On peut choisir a tel que µ(M 1 ), µ(M 2 ) > 0, et d’après le 2) du théorème deBirkhoff on a : ϕ(M 1 ) = M 1 et ϕ(M 2 ) = M 2 .On en déduit que µ(M 1 ) et µ(M 2 ) sont différentes de 0.Donc le système est décomposable.Transformation mélangeanteNotons qu’il existe une notion plus forte et plus compréhensible que l’ergodicité, elle estappelée ”mixing”.Définition 13.Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) est mixing si :Remarque.∀A, B ∈ β, lims→+∞ µ(ϕs (A) ∩ B) = µ(A)µ(B)1. Si le système est mixing, la mesure ϕ est appelée transformation mélangeante.2. Si on veut montrer qu’une transformation est mélangeante il suffit de le vérifier pourtout ensemble A et B appartenant à une famille qui engendre la tribu β.Exemple :On considère un shaker Ω rempli par des liquides incompréssibles : 90% demartini et 10% de gin. Supposons que le gin occupe à l’état initial une portionA( en noir sur le dessin). Après n agitations ϕ, le gin occupe ϕ n (A) de Ω.Le fait que le système considéré soit mixing implique qu’après le mélange onretrouvera la même proportion de gin et de martini.( cf figure 18)Corollaire 3.Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) mixing est ergodique.

100 Geoffrey NichilFig. 18 – Shaker.Preuve.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mixing.On considère un sous ensemble mesurable et invariant A de Ω.Posons B = Ω − A, on a alors :Comme le système est mixing :ϕ s (A) ∩ B = A ∩ B = ∅µ(A)µ(B) = 0 ⇔ µ(A) µ(Ω \ A) = 0 ⇔ µ(A)(µ(Ω) − µ(A)) = 0 ⇔ µ(A)(1 − µ(A)) = 0D’ou : µ(A) = 0 ou 1.Donc le système est ergodique.Cette notion, bien plus générale que l’ergodicité, sera cependant plus facile à démontrer.Exemple de système ergodique.Exemple 1 : Système non ergodique.Fig. 19 – Exemple de système décomposable.Exemple 2 : Système ergodiqueSoit le système mesuré ([0, 1[, β, λ) où β est la tribu de Borel et λ la mesure de Lebesgue.On considèreϕ : [0, 1[−→ [0, 1[

La théorie du chaos 101{x ↦−→2x six ∈ [0, 1 2 [2x − 1 six ∈ [ 1 2 , 1[1. Montrons tout d’abord que l’application ϕ préserve la mesure de Lebesgue.L’image réciproque d’un intervalle [a, b] par ϕ est une réunion disjointe de 2 intervallesde longueur b−a . La transformation conserve donc la mesure de lebesgue2car :λ(ϕ −1 ([a, b])) = λ([a, b]) = b − a.2. Montrons que cette application est mélangeante.Soit A un intervalle dyadique de la forme : [k2 −n , k + 2 −n [, n ∈ N, 0 < k < 2 n − 1Cette intervalle engendre la tribu de Borel.L’ensemble ϕ − N[k2 −n , (k + 1)2 −n ] est composé des 2 N intervalles suivant : [(k +i2 n )2 −(n+N) , (k + 1 + i2 n )2 −(n+N) [ pour i ∈ NSi n+N > n ′ , l’intersection de ces intervalles avec : B = [k ′ 2 −n′ , k ′ +2 −n′ [ est constituéde 2 N−n′ intervalles de longueur 2 −n−N ce qui donne : µ(B ∩ ϕ −n (A)) = µ(A)µ(B)Donc l’application ϕ est mélangeante, le système est donc mixing et d’après le corollaire3 le système est ergodique.2.4 Définition du chaos ergodique.Nous allons maintenant essayer de définir le chaos ergodique :Définition 14.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.On dit que ce système est chaotique au sens ergodique si il vérifie les deux propriétéssuivantes :1. Sensibilité aux conditions initiales.2. Pour µ presque tout x ∈ Ω la trajectoire de x est ergodique.Remarque.La première propriété signifie que si l’on perturbe, même infiniment, les données initiales,alors la trajectoire final du système sera complètement modifiée.Bibliographie : [07] [12] [13] [14] [15] [16] [17]

102 Geoffrey Nichil3 Approche topologique.Le mot « topologie »vient de la contraction des mots grecs ’topos’ et ’logos’ signifiant respectivement’lieu’ et ’étude’. Littéralement la topologie signifie « l’étude du lieu ».Cette branche des mathématiques traite de l’étude des déformations spatiales par des transformationscontinues, sans arrachage ni recollement des structures.Dans cette partie on donnera une définition topologique du chaos pour les systèmes dynamiquestopologiques.Définition 15.Soient Ω un espace topologique et ϕ une application continue de Ω dans Ω.On appelle système dynamique topologique le couple ( Ω; ϕ ).Cette définition repose sur des principes analogues à la définition ergodique du chaos.On introduit dans un premier temps les notions utiles à la définition.3.1 Transformation topologiquement transitive.On définit pour ce faire la notion correspondante à l’ergodicité pour les systèmes topologiques.Définition 16.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation minimale si :∀x ∈ Ω on a {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans ΩRemarque.Une orbite {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans Ω si sa fermeture est égale à Ω.Il existe une notion plus faible que celle de transformation minimale. En effet,Définition 17.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation topologiquement transitive si :∃x ∈ Ω on a {ϕ n (x) : x ∈ N} est dense dans ΩOn a également :Proposition 2.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.ϕ est une transformation topologiquement transitive si et seulement si :∀U, V ∈ Ω, ouverts non vides, ∃k : ϕ k (U) ∩ V ≠ ∅

La théorie du chaos 103Illustration :Fig. 20 – Application transitive.Proposition 3.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Si ϕ est une transformation minimale alors ϕ est topologiquement transitive.Preuve.EvidentIl existe une notion plus forte que celle que nous venons de définir et qui est l’analogue du’mélange’ dans les systèmes mesurés.Définition 18.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.On dit que ϕ est une transformation topologiquement mélangeante si :∀U, V ∈ Ω, ouverts non vides, ∃k, ∀n k : ϕ n (U) ∩ V ≠ ∅Proposition 4.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Si ϕ est une transformation mélangeante alors ϕ est topologiquement transitive.Preuve.d’après la proposition 4.13.2 Sensibilité aux conditions initiales.On rapelle pour terminer, le principe de sensibilité aux conditions initiales :

104 Geoffrey NichilDéfinition 19.Soit ( Ω; ϕ ) un système dynamique topologique où Ω est un espace métrique muni de ladistance d.On dit que la transformation ϕ est sensible aux conditions initiales si :∃ε : ∀x ∈ Ω, ∀V ⊂ Ω voisinage de x : ∃y ∈ V et ∃n 0 tel que d(ϕ n (x); ϕ n (y)) > ε3.3 Définition topologique du chaos.Nous pouvons maintenant donner la défnition topologique du chaos :Définition 20.Soit ( Ω ; ϕ ) un système dynamique topologique.Le système dynamique précedent est chaotique si :1. ϕ est sensible aux conditions initiales.2. ϕ est topologiquement transitive.3. l’orbite de tout point périodique est dense dans Ω.3.4 Equivalence entre chaos topologique et ergodique ?On considère un système dynamique topologique (Ω, ϕ), où Ω est un espace topologique etϕ une application continue de Ω dans Ω. On considère la tribu β induite par la topologiesur Ω et la mesure induite µ.On suppose que l’application ϕ préserve la mesure µ (ϕ est bien mesurable car ϕ estcontinue) et que µ(Ω) = 1On a donc le système dynamique mesuré suivant : (Ω, β, µ, ϕ).La propriété de sensibilité aux conditions initiales est commune aux deux définitions duchaos.1. Chaos ergodique implique chaos topologique?On suppose que ϕ est ergodique.Montrons que ϕ est topologiquement transitive.On définit tout d’abord l’ensemble, ω-limite, des valeurs d’adhérence de la suite{ϕ k (x)} par :ω(x) = {y ∈ Ω : ∃k i : lim ki →∞ϕ k i(x) = y}ω(x) = ⋂ k¯ {ϕ n (x), n k}On a le résultat suivant :

La théorie du chaos 105Proposition 5.Soient Ω un espace topologique, µ une mesure sur Ω et ϕ une application de Ω dansΩ qui préserve la mesure µ. On suppose de plus que ϕ est ergodique.Alors : pour presque tout x ∈ µ : supp{x} ∈ ω(x).Or on peut trouver un sous ensemble dénombrable de supp{x} dense dans Ω.Comme supp{x} est inclu dans Ω on a : ω(x) = Ω.Donc l’application ϕ est topologiquement transitive.On peut aussi montrer que si ϕ est ergodique alors l’orbite d’un point périodique deΩ est dense dans Ω.Donc si un système est chaotique au sens ergodique il l’est également au sens topologique.2. Chaos topologique implique chaos ergodique?On suppose que ϕ est topologiquement transitive donc : il existe x ∈ Ω tel que l’orbitede x est dense dans Ω, ie : orb{x}=Ω. ¯On vérifie maintenant que ∀x ∈ Ω : la trajectoire de x est ergodique, c’est à dire :∀x ∈ Ω : ∀A ∈ β tel que ϕ −1 (A) = A alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 1Soit A ∈ Ω tel que : ϕ −1 (A) = A, alors :(a) Si ∃x ∈ A tel que : orb{x} soit dense dans Ω alors :ϕ(x) ∈ A donc : ϕ k (x) ∈ ADonc orb{x} ⊂ A ⊂ ΩDonc A est dense dans Ω : Ā = ΩMontrons que µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 :– si µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 : ok.– si µ(A) ≠ 0 et µ(A) ≠ 1 :– si suppµ ⊂ A alors :A c ⊂ supp c µµ(A c ) µ(supp c µ)1 − µ(A) 0µ(A) = 1contradictionDonc µ(A) = 0 ou µ(A) = 1– sinon : on admet que sa marche également.(b) Si ∄x ∈ A tel que : orb{x} soit dense dans Ω alors : on refait la même chose enpassant au complémentaire.Donc si ϕ est topologiquement transitive alors ϕ est ergodique.C’est à dire que si un système dynamique est chaotique au sens topologique alors ill’est aussi au sens ergodique.On a donc équivalence entre chaos topologique et ergodique.Bibliographie : [18] [14]

106 Geoffrey Nichil4 Aspects géométriques.Dans cette partie on va reprendre l’exemple du modèle de Lorentz qui modélise les principauxphénomènes responsables du mouvement de l’atmosphère.On montrera tout d’abord comment réaliser l’attracteur de Lorentz à l’aide du logicielMapple.On étudiera ensuite les diverses étapes de route vers le chaos schématisé à l’aide du diagrammede bifurcation.4.1 Attracteur de Lorentz.⎧⎨⎩X ′ = η(Y − X)Y ′ = rX − XZ − YZ ′ = XY − bZOn représente tout d’abord l’aspect géométrique des solutions du système dans l’espace dephase : R 3 .On réalise cette figure à l’aide de la procédure mapple ’Att-Lorentz’ suivante :with(DEtools) :lorenz :=diff(x(t),t) = 10 ∗ y(t) − x(t)),diff(y(t),t) = 28 ∗ x(t) − y(t) − x(t) ∗ z(t),diff(z(t),t) = x(t) ∗ y(t) − 8/3 ∗ z(t);DEplot3d(lorenz, [x(t),y(t),z(t)], t=0..100, stepsize=0.01,[[x(0) = 10, y(0) = 10, z(0) = 10]], orientation=[−35, 75],linecolor = t, thickness = 1);On obtient alors pour r = 28 :Fig. 21 – Attracteur apériodique solution du système de Lorentz.

La théorie du chaos 1074.2 Transition vers le chaos.Comme on l’avait vu à travers l’exemple de la fonction logistique dans l’introduction, l’apparitiond’un phénomêne chaotique n’est pas immédiat, il passe par des bifurcations, c’està dire des changements d’état brusque du système.Les bifurcations sont causées par la variation des paramètres de contrôle, ce sont donc euxqui sont responsables de la nature du système.Par exemple, pour l’application logistique, le paramètre ’r’, représentant le facteur de croissance,détermine l’aspect chaotique ou non.Pour le modèle de Lorentz, le paramètre de contrôle est le nombre ’r’(Rayleight), et c’estsuivant la valeur de ce paramètre que le système évoluera suivant plusieurs bifurcationsvers un état chaotique. Modifier ce paramètre permetrait donc d’empêcher l’apparitiond’un phénomène chaotique et pourrait permettre de prédire l’évolution des mouvementsde l’atmosphère, donc de la météo.On avait déjà illustré les différentes bifurcations dans la partie 2 pour le modèle de Lorentz,à savoir :– r < 1 : régime stationnaire, un point fixe.– 1 < r < 24, 06 : deux solutions stationnaires, bifurcation fourche.– r ∈ [13, 926; 24, 06] : chaos métastable.– r > 24, 06 : état chaotique.On peut résumer ces différents états à l’aide du diagramme de bifurcation suivant :Fig. 22 – Diagramme de bifurcation du système de Lorentz.Le passage d’un état à un autre est causé par un changement de stabilité des points fixes.On avait vu dans la partie 2 que les points fixes du système de Lorentz étaient : x = y =z = 0, z = r − 1 et x = y = ± √ η(r − 1).

108 Geoffrey NichilLa jacobienne de ce système est :⎛⎝−η η 0r − Z −1 XY X −b⎞⎠soit en (0, 0, 0) :Les valeurs propres sont :⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝−η η 0r −1 00 0 −b⎞⎠√λ 1 = − η+1 (η+1)+2 −4η(1−r)2 √ 2λ 2 = − η+12−(η+1) 2 −4η(1−r)2λ 3 = −bD’après le théorème de linéarisation le point (0, 0, 0) est stable pour r < 1 (régime stationnaire).Lorque r > 1 le point (0, 0, 0) perd sa stabilité : il y a bifurcation.On passe donc d’une solution stationnaire à deux solutions stationnaires correspondantesaux points fixes x = y = ± √ η(r − 1).Explication physique :– X est lié à la vitesse angulaire de rotation des rouleaux de convection.– Y est lié au gradient de température.– Le paramètre r, nombre de Rayleight, est responsable de l’apparition d’un phénomèneconvectif et aussi d’un changement d’état du système.Ce type de bifurcation s’appelle bifurcation fourche.Les deux nouvelles solutions perdent leurs stabilités quand r = 24, 74, mais un état chaotiqueapparait dès que r > 24, 06.En réalité 3 états coexistent entre r = 13, 926 et r = 24, 74 :– les deux solutions stationnaires de ]1; 24, 74[– chaos métastable pour r ∈ [13, 926; 24, 06] : certaines trajectoires sont temporairementchaotiques avant de converger vers un point fixe.– un régime correspondant à une ’bifurcation de Hopf sous critique’ (c’est àdire 2 valeurs propres du gradient sont complexes et conjuguées), donnantlieu à une trajectoire spirale pour r ∈ [13, 926; 24, 74].Le choix de l’un ou l’autre des états est déterminé par le choix des conditions initiales.Bibliographie : [19]

La théorie du chaos 1095 Exemple : l’application logistique.Comme on l’a vu dans l’introduction, l’application logistique représente l’évolution d’unepopulation d’individus.Dans cette partie nous allons montrer, à l’aide des différentes notions abordées dans ceTIPE, la nature chaotique de la fonction logistique.On considère le système dynamique suivant :{(∗) :x 0 ∈ [0; 1]x n+1 = f(x n ) où f(x) = 4x(1 − x)Dans un premier temps, on représente, le diagramme de bifurcation , ie le comportementasymptotique des solutions, et sur le même graphique l’évolution du coefficient de Lypaunov:Fig. 23 – Diagramme de bifuraction et exposants de Lyapunov.Comme on l’avait vu dans la troisième partie, un exposant de Lyapunov positif est synonymede comportement chaotique, tout comme un doublement succesif de période.L’aspect géométrique de ce diagramme de bifucaction nous laisse penser que la fonctionlogistique est chaotique.Vérifions maintenant, à l’aide des différentes définitions du chaos obtenues dans les parties3 et 4, cette hypothèse. On essaie de montrer que le système est chaotique au sens topologique.Vérifions, à l’aide de la procédure ’Mapple sci’ la propriété de sensibilté aux conditionsinitiales (l’éxécution de cette procédure se fait sous mapple.) :1. On initialise tout d’abord notre schéma itératif :with(plots) :f := x− > 4 ∗ x ∗ (1 − x) :#le paramètre limitant de l’itérateur est fixé à 4.

110 Geoffrey Nichil2. On utilise ensuite la procédure ’sci’ pour comparer les trajectoires issues de deuxconditions initiales voisines :3. Exemple :sci :=proc(n,x 0 ,epsilon)local x,y,s,k;#n est le nombre d’itérations à effectuer# x 0 est la valeur initiale, comprise entre 0 et 1#epsilon est l’erreur sur la valeur initialex[0] :=x0 ; y[0] :=x0+epsilon; s :=[0,y[0]-x[0]];for k from 1 to ndo x[k] :=f(x[k-1]); y[k] :=f(y[k-1]); s :=s,[k,y[k]-x[k]]od;plot([s],x=0..n,style=LINE,color=GREEN);end :on considère x(0) = 0, 502, le facteur limitant r = 4, la perturbation ǫ =0, 00001 et le nombre d’itération n = 200.Fig. 24 – Ecart entre 2 trajectoires issues de 2 conditions initiales voisines.On constate une forte divergence entre les trajectoires issues de deux conditions initialesvoisines pour l’itération f.Vérfions maintenant la deuxième propriété dans la définition topologique du chaos1. On initialise tout d’abord notre schéma itératif :with(plots) :f := x− > 4 ∗ x ∗ (1 − x) :#le paramètre limitant de l’itérateur est fixé à 4.2. on fixe x 0 = 0, 342, le nombre d’intervalle pour diviser [0, 1] , 1000, et le nombred’itérations à effectuer, 10 000 000. On obtient ensuite à l’aide la procédure mapple’histogramme’ le nombre visite par intervalle de l’orbite de x 0 .histogramme :=proc(x0,n,précision)local k,t,x,j,i;for k from 0 to 1000 do t[k] :=0 od;x :=0.342 ;

La théorie du chaos 111for j from 1 to 10 000 000 do x :=f(x); i :=floor(1000*x); t[i] :=t[i]+1 od;plot([seq([k/1000,t[k]],k=0..1000-1)],style=point,symbol=POINT,thickness=0,axes=frame);end :histogramme(0.342,10 000 000,1000);On obtient alors :Fig. 25 – HistogrammeOn constate que l’orbite de x 0 décrit tout [0, 1]. La deuxième propriété du chaos topologiqueest donc vérifiée.On vérifie maintenant la dernière propriété à l’aide de la procédure ’Mapple orbite’ :On se contente ici de l’expemple x(0) = (sin Π/7) 2 :1. On initialise tout d’abord notre schéma itératif :with(plots) :f := x− > 4 ∗ x ∗ (1 − x) :#le paramètre limitant de l’itérateur est fixé à 4.2. On vérifie ensuite, par exemple que le point x(0) = (sin Π/7) 2 est périodique estdense dans [0; 1] à l’aide de la procédure ’ orbite ’.orbite :=proc(n,x 0 ) local k,x,s;#n est le nombre d’itérations à représenter# x 0 est la valeur initiale, comprise entre 0 et 1x[0] :=x0 ;s :=[0,x0];for k from 1 to ndo x[k] :=f(x[k-1]); s :=s,[k,x[k]]od;plot([s],x=0..n,style=LINE,symbol=POINT)end :3. Illustration :On voit clairement sur cette courbe, que le point x(0) est de période 3 et qu’il décrittout [0; 1].

112 Geoffrey NichilFig. 26 – Densité de l’orbite de x.Donc le système vérifie la troisième propriété.Conclusion : le système dynamique (*) est chaotique au sens topologique et donc ausens ergodique.Bibliographie : [20]

La théorie du chaos 113Annexe 1 : Frise chronologique.Fig. 27 – Frise chronologique

114 Geoffrey NichilAnnexe 2 : Le problème à N corps.Enoncé :Le problème à N corps est l’étude du mouvement de N masses ponctuelles qui s’attirentconformément à la loi de NewtonPar exemple : le système solaire peut etre considéré comme système dynamique composéde 10 corps en négligeant les satellites et les astéroïdes .Le problème à 2 corps est intégrable, c’est à dire que l’on peut trouver une solution analytiqueexacte.Par exemple : Etude du mouvement du soleil et d’une planète : la trajectoire de la planèteest une ellipse dont le soleil occupe l’un des foyers.Contrairement à une idée répandue, le problème à 3 corps (par exemple,le soleil et 2planètes) possède une solution analytique exacte, découverte par Karl Sundman en 1909.Mais cette solution se présente sous la forme d’une série infinie qui converge très lentement,ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.L’objectif de la résolution du problème à N corps est de pouvoir prédire le comportement(ie la trajectoire) à long terme des différents corps interagissant les uns envers lesautres.Méthodes d’étude :1. Par approximations successives :Laplace et Lagrange ont mis au point des méthodes permettant de trouver des solutionsapprochées qui consistent à rechercher la solution sous forme de séries. Mais cessolutions ne donnent une approximation qu’à un temps fini près, trés petit comparéà l’échelle du système solaire.Poincaré montra par ailleurs, que ces séries divergeaient généralement et il envisageal’étude d’un point de vue qualitatif.2. Etude qualitative de Poincaré :En 1890 Poincaré mit au point une méthode consistant à étudier la succession despoints qui sont à l’intersection de la trajectoire avec la section de Poincaré (planperpendiculaire à la trajectoire). Et c’est l’étude de cette succession de points quipermet de prévoir l’avenir de la trajectoire.

La théorie du chaos 115Annexe 3 : ”Calculs des probabilités”,H.Poincaré.

116 Geoffrey NichilAnnexe 3 : ”Calculs des probabilités”,H.Poincaré.

La théorie du chaos 117Annexe 4 : ”Deterministic nonperiodic flow”,Edward N. Lorenz.

118 Geoffrey NichilAnnexe 4 : ”Deterministic nonperiodic flow”,Edward N. Lorenz.

La théorie du chaos 119Annexe 5 : Construction du modèle de Lorentz.Rappels de mécanique des fluides :1. Equation d’Euler.(a) Points de vue Eulérien et Lagrangien. Pour décrire des mesures physiques ilexiste deux point de vue :– le point de vue eulérien : par exemple pour mesurer la vitesse d’un fluideon fixe un point du domaine considéré et on mesure toute les vitesses desparticules du fluide qui passent par ce point.– le point de vue lagrangien : par exemple pour mesurer la vitesse d’un fluideon fixe une particule du fluide et on mesure la vitesse de celle ci en tout pointdu domaine considéré.Exemple :(b) Accélération particulaire :On a :où :a = dvdt = ∂v∂t + (v.).va : accélération d’une particule d’un fluide.v : vitesse d’une particule (point de vue lagrangien).(c) Résultante des forces de pression :On a : F = −Poù

120 Geoffrey NichilF : résultante des forces de pression appliquée sur un volume élémentairede fluide.P : pressionSi on applique cette relation à un fluide en équilibre sous l’effet de la pesanteur(mg)et de cette résultante de pression on retrouve l’expression de la pousséed’Archiméde.(d) Equation de la conservation de la masse :On a :÷J = 0 pour un fluide imcompréssible(ieρ = 0) où :J : débit massique par unité de surface traversée.(e) Equation d’Euler :On applique le principe fondamentale de la dynamique à une particule d’unfluide,de volume unité (ie : on considère la masse volumique au lieu de la masse)soumise à la résultante de force F.Nous avons :F = ρa2. Loi de fourier :F = [ ∂v∂t + (v.).v]?F = ρ( ∂v∂t )+?(v.).v”Le transfert de chaleur s’effectue des régions chaudes vers les régions froides.”Loi de Fourier : dT = DT △T où :dtDT = −σT : coefficient de diffusion thermique( avec c : capacité calorifiquecvolumique du volume).3. Viscosité d’un fluide.La viscosité est ce qui mesure en quelque sorte ,le frottement entre les différentescouches d’un fluide. Ona :F visc = µ△v où :F visc : résultante volumiquedes forces de vsicosité µ : coefficient de viscositédu fluide.4. Equation de Navier Stockes :

La théorie du chaos 121On écrit l’équation d’Euler en présence de viscosité (ie : de frottements entre lesdifférentes couches du fluides) :ρ( ∂v ) + ρ(v.).v = −P + ρg + µ△v∂tModèle de convection de Lorentz : Lorentz a modélisé l’atmosphère par une tranchede fluide parfait, incompréssible,d’hauteur h(environ 20 km), soumis à une différence detempérature?T entre la couche supérieure(froide) et le sol(chaud). Le problème est ramenéà deux dimensions : x et z. On considère un volume élémentaire situé prés du sol, il peut-êtresoumis à trois effets :– sous l’effet de l’agitation thermique,ce volume peut monter et se retrouverdans une région plus froide :c’est la poussée d’archimède qui se traduit parune force ascensionnellequi fait monter le volume de fluide vers des couchessupérieures (plus froides).– cette force peut-être compensée par une force de viscosité qui perturbe laforce ascensionelle.– le volume considéré est en déséquilibre thermique par rapport au fluide environnant,il lui cède donc de la chaleur à un rythme fixé par la constante dediffusion thermique.La compétition entre ces différents effets détermine le type de régime dynamique du fluide.Le régime qui nous intéresse dans le modèle de Lorentz est le modèle oscillant. Lorsque legradient de température est élevé, les rouleaux de convection peuvent alors prendre unedynamique périodique,et même apériodique.C’est le nombre de Rayleigh R qui détermine l’apparition du phénomène convectif, c’estdonc ce paramètre qui sera l’axe des x dans le diagramme de bifurcation.On a : R = τcτd où :τc : est liée à la vitesse ascensionelle

122 Geoffrey Nichilτd : est liée la vitesse d’équilibre thermique entre deux couches defluides.Si R >> 1 alors ,le régime est convectif.Système de Lorentz :On projette l’équation de Navier Stockes sur les axes x et z :ρ( ∂v z∂t ) + ρ(v.).v z = −∂P∂z − ρg + µ△v zetρ( ∂v x∂t ) + ρ(v.).v x = −∂P∂x + µ△v xOn a également la diffusion thermique appliquée à une particule en mouvement :dT+ v.△T = DT △TdtAprès énormément de simplifications, on trouve :⎧⎨ X ′ = η(Y − X)Y ′ = rX − XZ − Y⎩Z ′ = XY − bZ

La théorie du chaos 123Annexe 6 : Le chaos en biologie.Quelques mots clés :– Substrat : substance sur laquelle agit une enzyme en facilitant sa transformation chimique.– Enzyme : molécule qui permet d’accélérer les réactions chimiques.– Glycolyse : l’ensemble des réactions qui permet d’oxyder le glucose pour former dupyruvate afin de libérer de l’énergie pour synthétiser l’ATP.– ATP : molécule,réserve d’énergie de la cellule.Modélisation :Nous pouvons modéliser l’action d’une enzyme sur un substrat de la sorte :Enzyme+Substrat ⇐⇒ Produits intermédiaires ⇐⇒ Enzyme+ Substratoù : les produits intermédiaires se présentent sous la forme d’un complexe enzyme-substrat.Cas de la glycolyse :La gylcolyse répond au modèle précédent.En 1957, Duyens et Anesz ont montré que la synthèse de l’un des composés de la glycolyseprésentait des oscillations amorties au cours du temps.En 1964,Gosh et Chace ont identifié la source des ocscillations : la réaction de phosphofructokinase.En 1968, Sel’kov proposa un modèle pour cette réaction. Mais le problème de ce modèleest qu’il ne comportait que deux variables, et d’après le théorème de Poincaré-Bendixon,il ne pouvait donc pas avoir de phénomène chaotique.Modèle chaotique :En 1987,interloqué par le problème de la glycolyse, Decroly et Godbeter ont proposé unmodèle à 3 variables pour une réaction en chane, modèle qui n’était fondé sur aucuneconstation expérimentale.Substrat1 + Enzyme 1 =⇒ Produit 1= Substrat 2+ Enzyme 2 =⇒ Produit 2↓ Extraction.Chacune des enzymes se comportent comme la phosphofructokinase.Le diagramme de bifurcation de ce modèle est une succesion de doublement de période etsa représentation dans l’espace de phase est un attracteur étrange.

124 Geoffrey NichilNous observons également une bistabilité : si nous modifions légèrement les conditionsinitiales, 2 comportements asymptotiques sont possibles.

La théorie du chaos 125Illustrations :Expérimentation : Ce modèle chaotique n’a eu de correspondance expérimentale qu’en1997 : pour la synthèse de l’un des composants de l’ARN.

126 Geoffrey NichilAnnexe 7 : Théorèmes de Lyapunov.On va, ici, énoncer deux théorèmes concernant la stabilité des systèmes dynamiques àtemps discret et à temps continu.Pour ce faire, on définiera les notions de générateur et générateur infinitésimal.Définition 21.1. Soit {ϕ s ; s ∈ N ou Z} un système dynamique à temps discret sur un ensemble Ω.On appelle générateur de ce système l’application ϕ 1 , définie sur une partie U 1 de Ωà valeurs dans Ω .2. Soit {ϕ s ; s ∈ R} un système dynamique à temps continu sur un ensemble Ω tel que :(a) l’ensemble Ω est un ouvert d’un espace vectoriel affine réel de dimension finie.(b) ∀x ∈ Ω l’ensemble {t ∈ R : x ∈ U s } contient un intervalle centrée sur l’origine,et l’application s ↦−→ ϕ s (x) est différentiable à l’origine.On pose,∀x ∈ ΩX(x) = dϕs(x) |dt t=0 , où le terme de droite désigne la dérivée de l’applications ↦−→ ϕ s (x) à l’origine. Le champs de vecteur X ainsi défini sur? est appelé générateurinfinitésimal du système dynamique.On cherche désormais à montrer qu’un système dynamique à temps discret est entièrementdéterminé par son générateur.Proposition 6. Un système dynamique à temps discret {ϕ s ; s ∈ N ou Z} sur un ensembleΩ est entièrement déterminé par son générateur. En effet, en notant U s la partie de Ω surlaquelle est définie l’application ϕ s , on a :1. ∀s ∈ N, ϕ s est l’itérée s-ième de ϕ 1 :U n+1 = ϕ 1 −1 U 1 , ϕ n+1 = ϕ 1 ◦ ϕ n = ϕ n ◦ ϕ 1 = ϕ 1n+12. Si le système dynamique est paramétré par Z , l’application ϕ 1 est une bijection deU 1 sur U −1 , dont l’inverse est ϕ −1De plus, ∀n ∈ N : ϕ −n = ϕ n −1 = ϕ 1nMontrons également que l’on peut associer à un système dynamique à temps continu songénérateur infinitésimal.Proposition 7. Soit Soit {ϕ s ; s ∈ R} un système dynamique à temps continu vérifiant leshypothéses de la définition précedente. Soit X son générateur infinitésimal.∀x ∈ Ω l’ensemble {I x , x ∈ U s } est un intervalle ouvert de R contenant l’origine.L’application Ψ : I x → Ω tel que s ↦−→ Ψ(s) = ϕ s (x) est solution de l’équation différentielle :dΨ(s)ds= X(Ψ(s))

La théorie du chaos 127Ces deux propositions sont très importantes car elles nous permettrons plus tard de simpliferles différentes notions de stabilité.Ayant définie auparavant toutes les notions nécessaires, On peut maintenant énoncer deuxformes du théorème de Lyapunov.Théorème 5.1. Théorème de Lyapunov : cas d’un système à temps discret.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ N ou Z}) un flot.On suppose que :– Ω est un ouvert d’un espace affine de dimension finie– le générateur ϕ 1 est une application continue définie sur unouvert U 1Soit a ∈ U 1 un point d’équilibre.Si il existe une fonction f, définie sur un voisinage ouvert V de a, continue sur V, à valeursréelles et véifiant les égalités suivantes :1. f admet un minimun strict au point a.2. ∀x ∈ V ∩ U 1 ∩ ϕ −11 (V ) on a : f(ϕ 1 (x)) f(x)Alors le point d’équilibre a est ω-stable au sens de Lyapunov.Si de plus : ∀x ∈ V ∩ U 1 ∩ (ϕ 1 ) −1 (V ) vérifiant x ≠ a on a : f(ϕ 1 (x)) f(x)Alors, le point a est attractif.Théorème 5.2. Théorème de Lyapunov : cas d’un système à temps continu.Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs localement lipschitzien sur l’ouvert Ω, à valeursdans l’espace vectoriel E. Soit ϕ son flot réduit et {ϕ s ; s ∈ R} le système dynamique quilui est associé.Soit a un point d’équilibre.Si il existe une fonction f, définie sur un voisinage ouvert V de a, à valeurs réelles, telleque :1. f admet un minimun strict au point a.2. f est différentiable sur V − {a} et ∀x ∈ V, x ≠ a on a 〈df(x)|X(x)〉 0Alors le point a est ω-stable au sens de Lyapunov.Si de plus : ∀x ∈ V, x ≠ a on a 〈df(x)|X(x)〉 < 0 , alors le point a est attractif.Pour terminer on énonce deux corollaires découlant des théorèmes de Lyapunov, égalementappelés « théorèmes de linéarisations ».

128 Geoffrey NichilCorollaire 4.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ N ou Z}) un flot.On suppose que le générateur ϕ 1 de ce système est défni sur un ouvert U 1 de Ω, et que ϕ 1est une application continue sur U 1 et différentiable en a.Soit a ∈ U 1 un point d’équilibre, et A = Dϕ 1 (a) la différentielle du générateur au point a.Si toutes les valeurs propres de A sont de module strictement inférieur à 1, le point a estω-stable et attractif.Corollaire 5. Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs de classe C1 sur Ω. Soit ϕ son flotréduit, {ϕ s ; s ∈ R} le système dynamique qui lui est associé.Soit a un point d’équilibre et A=DX(a) la différentielle de X en a.Si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative (resp.strictementpositive), alors a est ω-stable et attractif ( resp. α-stable et répussif).Remarquons qu’il existe une variante du théorème de Lyapunov sur les systèmes dynamiquesà temps continu, reliant le bassin d’attraction et la stabilité d’un point d’équilibre.Théorème 5.3.Soit X : Ω −→ E un champ de vecteurs localement lipschitzien sur l’ouvert Ω, à valeursdans l’espace vectoriel E. Soit ϕ son flot réduit et {ϕ s , s ∈ R} le système dynamique quilui est associé. Soit a un point d’équilibre.On suppose qu’il existe une fonction définie sur un voisinage ouvert V de a, continue surV, à valeurs réelles telle que :1. f admet un minimun strict en a .2. f est différentiable sur V-a, ∀x ∈ V : 〈df(x)|X(x)〉 0Soit P ⊆ V ∩ Ω, P compacte, ∀x ∈ P : ϕ s (x) ∈ P .On suppose qu’il n’existe aucune orbite complète, ie ∀x ∈ Ω : ϕ s (x) est définie ∀s ∈ sRsur laquelle f a une valeur constante , autre que celle du point a.Alors a appartient à P, et son bassin d’attraction contient P.Si de plus P est un voisinage de a, alors a est attractif.Exemple d’application :On considère le système différentielle (S) :⎧⎨ ẋ = 2y(z − 1)ẏ = −x(z − 1)⎩ż = −z 3Etudions la stabilité de O R 3 :On étudie dans un premier temps le linéarisé du système (S) :

La théorie du chaos 129Posons : X = (2y(z − 1); −x(z − 1); −z 3 )On a bien X(0; 0; 0) = (0; 0; ⎛0) , donc a = (0; ⎞0; 0) est un point d’équilibre.0 −2 −1D’autre part : A=JacX(a)= ⎝ 0 0 0 ⎠0 0 0Ce qui implique : ∀λ i ∈ sp(A) on a Re(λ = 0On est dans un cas critique et on ne peut rien en déduire quant à la stabilitéde O R 3.Dans un second temps, on utilise le théorème de Lyapunov :Soit f(x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2f est bien définie positive si et seulement si a, b, c > 0, et f est C 1 sur R 3 (commesomme de polynomes C 1 ).On calcul : f(x; ˙ y; z) = 〈df(x; y; z)|X(x; y; z)〉 = 2xy(z − 1)(2a − b) − 2cz 4On fixe 2a = b, et donc f(x; ˙ y; z) = −2cz 4 0et comme c > 0 f(x; ˙ y; z) = 0 ⇒ z = 0 mais x,y quelconque.Donc, d’après Lyapunov, O R 3 est stable.Le point O R 3 est-il asymptotiquement satble?On cherche le plus grand invariant inclus dans M = {(x; y; z) ∈ R 3 : f(x; ˙ y; z) =0}Ici M = {(x; y; z) ∈ R 3 : z = 0}, ie le plan (x;y).On étudie :⎧⎨ ẋ = −2yS |M : ẏ = x⎩ż = 0Donc : z =constante, donc toute trajectoire issue de M , y reste ∀t ∈ R , ie leplus grand invariant est M lui même.Donc toute trajectoire bornée tend vers M quand t tend vers +∞,De plus en fixant a = 1 et b = 2, on a f(x; ˙ y; z) = x 2 +2y 2 +cz 2 tend vers +∞,quand ‖(x; y; z)‖ 2 tend vers +∞, donc f est propre. Par conséquent toutes lestrajectoires sont bornées.Donc, comme M n’est pas réduit à O R 3, le point O R 3 n’est pas asymptotiquementstable.

130 Geoffrey NichilAnnexe 8 : Mesure binomiale.Soit ([0, 1], β, µ) un espace mesuré où β est une tribu sur [0, 1] et µ est la mesure binomialede paramètre p et q. Cette mesure est construit par récurrence sur [0, 1] de la faon suivante :l’intervalle [0, 1] est de mesure 1, on divise ensuite l’intervalle [0, 1] en deux intervalles delongueur égale. Son fils de gauche prend pour mesure p et celui de droite q et ainsi de suite.Exemple : La mesure µ agit sur un intervalle dyadique de la faon suivante :Fig. 28 – Mesure binomiale.Soient A = [k −n , (k + 1)2 −n ] et N le nombre de 0 dans la décomposition binaire de k.Alors : µ(A) = p N q n−NExemples :

La théorie du chaos 131Fig. 29 – Exemple de mesure d’intervalles dyadiques.Ensuite on peut facilement déterminer la mesure d’intervalles du type :– A i = [k2 −n−i , (k + 1)2 −n−1 ] alors : µ(A i ) = p N+i q n−N– A j = [ 1 2 + k2−n−j , 1 2 + (k + 1)2−n−j ] alors : µ(A j ) = p N q n+j−N

132 Geoffrey NichilRéférences[01] L’héritage scientifique de Poincaré. Charpentier, Lesne, Ghys. Belin, 2006. Metz, BUSaulcy, 509.92.[02] Le chaos. Ekeland. Dominos, 1995. Metz, BU Saulcy, 501.EKE.[03] La théorie du chaos. Gleick. Champs-Flamarion, 1991. Metz, BU Saulcy, 501.GLE.[04] Pour la science. Edition franaise de Scientifics American, février 1987. Metz, BU SaulcyAP842.[05] Modélisation des sciences du vivant. Ada.[06] Le chaos dans la nature. Letellier. Vuibert, 2006. Metz, BU Saulcy, 530.01 ROS.[07] Systèmes dynamiques et formalisme thermodynamique. Louis.http ://users.math.uni-potsdam.de/ ˜louis/Publi Divers/DEA/MemoireDEALouis 1998.pdf.[08] Système dynamique, une introduction. Marle. Ellipses, 2003. Metz, BU-saulcy, 003.85MAR.[09] Equation différentielle ordinaire. Arnold. Mir-Moscou, 1974. Metz, BU Saulcy, DMI34 ARN.[10] Principaux concept de la théorie du chaos. Mansour.http ://homepages.ulb.ac.be/ ˜jmalek/research/chap2.pdf.[11] Systèmes dynamiques et chaos. Michault, Reynal.http ://www-reynal.ensea.fr/teaching/chaos/.[12] Théorème de récurence de Poncaré.http ://www.bibmath.net/dico[13] Dynamique non linéaire et chaos. Maneville.http ://www.ladhyx.polytechnique.fr[14] Théorie ergodique et chaos. Coudène. http ://perso.univ−rennes1.fr/yves.coudene/.[15] Attracteurs,orbites et ergodicité. Tricot, Riedi.http ://ambp.cedram.org/ambp-bin/fitem?id=AMBP 1999 6 1 55 0.[16] Théorie ergodique et applications. Rousseau, Voisin.http ://www.math.sciences.univ-nantes.fr/ ˜wang/memoire-ter/TER Theorie Ergodique.pdf.[17] Probleme ergodique de la mécanique classique. Arnold, Avez.Gauthier−Villard-Paris,1967. Metz, BU-saulcy, Mag 22191.[18] Indécidabilité dans les systemes chaotiques. Hoyrup.http ://www.di.ens.fr/ ˜hoyrup/rapport.pdf.[19] Modèle de Lorentz. Alevesque.http ://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos fract/Lorenz/lorenz.html.[20] Fonction logistique. Vedikunnel.http ://josephv.test.free.fr/fractal/chaos/CHAOS.html.Py-

ONDES SONORESÉmilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderAnnée 2007-2008IntroductionL’ouïe est l’un des cinq sens les plus usités par l’homme. Certains sons sont agréablesà l’oreille et d’autres moins. Qu’est-ce qu’un son? En quoi la musique fait-elle partie de lacatégorie des agréables? Comment peut-on expliquer mathématiquement ces deux notions?Pour répondre en partie à ces questions, nous allons étudier l’exemple du tuyau d’orgue.Table des matières1 Le tuyau d’orgue – modélisation physique 1351.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.2 Que se passe-t-il mécaniquement quand on «souffle» ? . . . . . . . . . . . . 1351.3 Les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Définition générale et mathématiques ( fonction ? Périodique ?) . . . . . . . 136Dans le tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.4 Quelle est l’équation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Pourquoi celle la ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138L’importance des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412 Résolution de l’équation 1412.1 Définition des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.2 Séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Résolution des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142133

134 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider3 Introduction à la musique 1533.1 Explications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Emettre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Recevoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.2 Notes et gammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Approche mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.3 L’harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Conclusion 171Table des figures1 Orgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352 Propagation d’une surpression dans un tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . 1363 Schéma d’une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374 Visualisation de la position de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385 Mode fondamental ou premier harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486 2ème mode naturel ou deuxième harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487 3ème mode naturel ou troisième harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498 Les premiers harmoniques dans un tuyau fermé (n = 1, 2et3) . . . . . . . . 1499 Exemple de position initiale de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110 L’oreille humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411 Quelques notes sur une portée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412 Les différentes clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15513 Les altérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15514 Les différents demi-tons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15615 Tableau de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16016 Représentation schématique des tempéraments inégaux . . . . . . . . . . . 16217 Werckmeister III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16218 Silbermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16319 Cycle des quintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16320 Comma pythagoricien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16421 Quinte du loup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16522 Cercle dodécaphonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16723 Motif RRB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Ondes sonores 1351 Le tuyau d’orgue – modélisation physique1.1 PrésentationUn orgue est composé de plusieurs tuyaux, positionnés le plus souvent verticalement.Il existe différents types de tuyaux, qui se distinguent par leur mati ‘ere, leur longueur,leurdiam ‘etre, et leur forme. Un son peut être caractérisé par sa hauteur et son timbre. Lahauteur du son émis dépend de la hauteur du tuyau alors que le timbre dépend de plusieursparam ‘etres comme sa forme, sa mati ‘ere...La hauteur et le timbre d’un son émis par un tuyau est unique.Fig. 1 – Orgue1.2 Que se passe-t-il mécaniquement quand on «souffle» ?L’émission sonore est assurée par les tuyaux qui reoivent, à leur base, l’air sous pression.Lorsque l’on «souffle», l’air ne se déplace pas d’un bout à l’autre du tuyau. On crée unesurpression à une extrémité, et celle-ci va se propager jusqu’à l’autre extrémité. L’air vadonc se déplacer sur une petite distance pour former la surpression. Comme l’air se déplace

136 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneiderpour former une surpression, il se créé un manque d’air appelé dépression. Celle-ci succ‘ede donc à la surpression, puis ensuite, l’air revient à sa position initiale.On remarque qu’en plaçant des capteurs, tout le long du tuyau, qui enregistrent lapression à un temps t donné, la courbe obtenue a la même allure qu’une corde qui vibre.L’équation régissant ces deux phénom ‘enes est donc la même.Fig. 2 – Propagation d’une surpression dans un tuyau1.3 Les ondesDéfinition générale et mathématiques ( fonction? Périodique ?)Une onde est une perturbation qui se propage.Elle est caractérisée par trois param ‘etres, sa longueur d’onde (en m), sa fréquence, etsa vitesse de propagation(en m.s −1 ).On appelle fréquence (en Herz) le nombre de perturbations qui passent en un endroitdonné en une seconde.Soit l la longueur d’onde, f la fréquence et v la vitesse d’une l’onde, on a :v = l × fOn appelle période (en seconde), le temps qu’il faut pour qu’une onde parcourt uncycle.Un cycle est un passage d’un état au même état.

Ondes sonores 137Soient T la période et f la fréquence d’une onde, on a :T = 1/fL’amplitude est la distance entre le maximum de l’onde et l’axe horizontal.Fig. 3 – Schéma d’une périodeMathématiquement, une onde est une fonction périodique.On appelle fonction périodique une fonction donnée par f(x + T) = f(x) , où T est lapériode.Dans le tuyauDans le tuyau d’orgue, la surpression qui se propage représente une perturbation. Lapropagation de l’air dans le tuyau est donc une onde, dont la fréquence est proportionnelleau nombre de perturbations et donc de surpressions.

138 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider1.4 Quelle est l’équation ?Pourquoi celle la?On étudie le phénom ‘ene dans le cas d’une corde vibrante car la visualisation est plussimple.Introduction. Soit L la longueur de la corde, on a alors :– 0 < x < L– t > 0– y(x, t) représente l’écartement de l’axe des x au temps t (Comme sur l’illustration dela figure 4)Fig. 4 – Visualisation de la position de la cordeDonc x et t sont des variables et a est une constante.Les deux bouts de la corde sont fixés, l’un à l’abscisse x = 0 , l’autre à l’abscisse x = L.Le problème consiste à déterminer les vibrations de la corde lorsque celle-ci est pincée.Pour trouver l’équation de la corde vibrante, il nous faut poser les conditions suivantes :– La masse de la corde est répartie uniformément par unité de longueur.– Les mouvements transverses sont tellement petits qu’on peut considérer que chaquepoint de la corde se déplace perpendiculairement à l’axe des x.– La tension de rappel de la corde est si élevée que l’on peut négliger l’apport de laforce de gravitation sur la masse de la corde.– La corde n’a pas de frottement (résistance mécanique).

Ondes sonores 139Dans ces conditions, on peut chercher l’équation d’équilibre des forces :Comme aucune résistance mécanique n’agit sur la corde, la tension est tangentielle à lacourbure de la corde en chaque point de celle-ci.On pose :– y(x, t) représente l’écartement de l’axe des x au temps t– T 1 est la force appliquée au point x– T 2 est la force appliquée au point x + ∆x– B 1 et B 2 sont respectivement les composantes horizontales des forces T 1 , respectivementT 2– A 1 et A 2 sont respectivement les composantes verticales des forces T 1 , respectivementT 2– α est l’angle compris entre B 1 et T 1– β est l’angle compris entre B 2 et T 2Déplacement horizontal.B 1 = B 1T 1.T 1 = cos(α)T 1 B 2 = B 2T 2.T 2 = cos(β)T 2On a dit précédemment que l’on négligeait le déplacement horizontal de chaque point doncon a :B 1 = B 2T 1 cos(α) = T 2 cos(β) = T

140 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderDéplacement vertical.A 1 = A 1T 1.T 1 = sin(α)T 1 A 2 = A 2T 2.T 2 = sin(β)T 2Application de la 2 ‘eme loi de NewtonLa 2 ‘eme loi de Newton :Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuelest égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération.On a donc l’égalité :∑ ⃗Fi = m.⃗aoù F ⃗ i : forces exercées sur l’objetm : masse⃗a : accélérationOn pose ρ la masse par unité de longueur de la corde et ∆x la longueur de cordeconsidérée.L’accélération verticale est donnée par : ⃗a = ∂2 y∂t 2La 2 ‘eme loi de Newton nous donne la formule suivante :(On néglige les forces horizontales)A 2 − A 1 = ρ.∆x. ∂2 y∂t 2T 2 . sin(β) − T 1 . sin(α) = ρ.∆x. ∂2 y∂t 2Déduction de l’équation de la corde vibrante. Comme T 1 cos(α) = T 2 cos(β) = T ,on peut effectuer la division suivante :T 2 sin(β)T 2 cos(β) − T 1 sin(α)T 1 cos(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2⇒sin(β)cos(β) − sin(α)cos(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2⇒ tan(β) − tan(α) = ρ.∆x yT .∂2 ∂t 2Or tan(α) et tan(β) sont respectivement les pentes aux points x et x + ∆x . C’est àdire :tan(α) = ∂y∂y(x, t) et tan(β) = (x + ∆x, t)∂x ∂xL’équation devient alors :∂y ∂y ρ.∆x y(x + ∆x, t) − (x, t) =∂x ∂x T .∂2 ∂t 2

Ondes sonores 141⇒ 1 ∂y ∂y(x + ∆x, t) −(∆x) ∂x ∂x (x, t) = ρ yT .∂2 ∂t 2⇒ ⌊ ∂y∂y(x + ∆x, t) − (x, t)⌋∂x ∂xx + (∆)x − x= ρ T .∂2 y∂t 2Grâce à la formule de la dérivée, lorsque ∆x est infiniment petit on obtient√Tρ∂ 2 y∂x = ρ y2 T .∂2 ∂t 2Pour finir, on pose a =√En physique, la célérité de l’onde est donnée parTρ, a est alors la célérité de l’onde,ou vitesse de l’onde.L’équation qui régit la propagation des ondes dans un tuyau d’orgue est la même quel’équation de la corde vibrante c’est-à-dire(∂ 2 y)(∂t 2 ) = a2 ( (∂2 y)(∂x 2 ) )L’équation en dimension supérieure (pour un tambour par exemple dont on suppose quel’impulsion initiale est dirigée perpendiculairement au plan de la membrane du tambour)est :∂ 2 z∂t = 2 a2 ∇ 2 z encore notée ∂2 z∂t = a2( ∂ 2 z2 ∂x + ∂2 z)2 ∂y 2Soit une peau de tambour carrée de longueur L, on a alors :– z(x, y,t) représente le déplacement transversal d’un point de coordonnées (x, y) enfonction du temps t– 0 < x < L– 0 < y < L– t > 0– a désigne la vitesse de propagation de l’ondeL’importance des conditions initialesLes conditions initiales sont importantes car elles détermineront les coefficients de lasolution trouvée, en effet, elles permettent de restreindre l’ensemble des solutions.2 Résolution de l’équationNous allons maintenant résoudre l’équation donnée dans le paragraphe précédent c’està-direl’équation de la corde vibrante. On consid ‘ere une corde de longueur L tendue.

142 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider2.1 Définition des conditions initialesRappelons l’équation : (∂2 y)= (∂t 2 ) a2 ( (∂2 y)) (∂x 2 )On fixe plusieurs conditions initiales :– La corde est fixée à ses extrémités (1)→ y(0, t) = y(L, t) = 0 pour tout t > 0– Au temps initial, t = 0, la position de la corde est donnée par f(x) (2)→ y(x, 0) = f(x) pour tout 0 < x < L ,f ∈ L 2 ([0, L])– La vitesse initiale est nulle (3)→∂y(x, t)∂t= 0 pour tout 0 < x < L .A la fin de la résolution, nous ferons varier ces conditions initiales pour mettre enévidence leurs influences sur les solutions de l’équation.2.2 Séparation des variablesPour résoudre notre équation nous allons utiliser la méthode de séparation des variables.Ici on cherche les solutions particuli ‘eres de la forme y(x, t) = X(x).T(t) ou X(x) est unefonction ne dépendant que de x et T(t) une fonction ne dépendant que du temps t.L’équation devient alorsX(d 2 T dt2) = a 2 (d 2 X 2)Tdx(d2 T 2 2dt )⇔ T = (d2 X dxa XX et T sont des fonctions d’une seule variable et ne s’annulent pas sur l’intervalleconsidéré. Si l’on regarde les deux membres de l’équation précédente, on voit que le membrede gauche ne dépend que de t et celui de droite que de x, nous pouvons donc avoir égalitési et seulement si ces deux fractions sont constantes et égales.Résolution des équations différentiellesPrenons λ comme constante de séparation. Montrons, avant de continuer la résolutionde notre équation, que pour aboutir à des solutions non triviales il faut que λ soit négative.Pour cela, résolvons l’équation la plus simple c’est-à-dire (d 2 X 2dx ) − λX = 0Pour résoudre une telle équation, on peut utiliser la méthode de l’équation caractéristique( méthode qui consiste à associer à chaque degrés de dérivation un monôme de degréégal.)2)

Ondes sonores 143L’équation précédente devient alors l’équation du second degré suivantep 2 − λ = 0Trois cas peuvent se présenter :1er cas λ = 0( )Dans ce cas l’équation donne clairement p 2 d= 0 et donc2 X= 0, d’où X est unedx 2fonction du premier degré, c’est-à-dire X(x) = cx+b. Tenons compte maintenant desconditions initiales, d’apr ‘es (1), on a X(0) = b = X(L) = cL = 0, d’où X(x) = 0.Cette solution identiquement nulle est inintéressante.2 ‘eme cas λ > 0Les solutions de l’équation caractéristique sont alors p 1 = √ λ et p 2 = − √ ( )λ d’oùdles solutions de l’équation différentielle2 X= 0 − λX = 0 sont de la formedx 2X(x) = C 1 e (√ λ)x +C 2 e (−√ λ)x . Tenons compte maintenant des conditions initiales.(1) donne :{C 1 + C 2 = 0C 1 e (√λ)L +C 2 e (−√λ)L = 0Le déterminant de ce syst ‘eme linéaire est non nul donc d’apr ‘es Cramer il y aune solution unique qui est C 1 = C 2 = 0 d’où X(x) = 0, cette nouvelle solutionégalement triviale ne nous intéresse pas.3 ‘eme cas λ < 0L’équation caractéristique a deux solutions imaginaires p 1 = i √ −λ et p 1 = −i √ −λ laforme générale de la solution de l’équation différentielle est X(x) = C 1 cos(x √ −λ) +C 2 sin(x √ −λ). Tenons compte à nouveau de la condition initiale (1). On a toutd’abord X(0) = C 1 = 0 ce qui entraîne X(x) = C 2 sin(x √ −λ).Ce cas est le seul à nous amener a une solution non trivial c’est pourquoi notreconstante de séparation doit être négative.Revenons à notre problème proprement dit :Posons alors −λ 2 comme constante de séparation. D’après ce qui précède on déduitaisément que T(t) = B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat) et X(x) = B 2 cos(λx) + A 2 sin(λx).On a donc une première solution généraley(x, t) = X(x)T(t) = (B 2 cos(λx) + A 2 sin(λx))(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))Restriction de l’ensemble des solutionsAppliquons maintenant l’ensemble des conditions initiales pour affiner cette solution.(1) nous donne tout d’abord :

144 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneidery(0, t) = (B 2 cos(0) + A 2 sin(0))(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))→ B 2 = 0= B 2 (B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))= 0d’où y(x, t) = A 2 sin(λx)(B 1 cos(λat) + A 1 sin(λat))ou encore y(x, t) = sin(λx)(Bcos(λat) + A sin(λat)) avec B = B 1A 2et B = A 1A 2Utilisons maintenant l’autre condition donnée par (1), on obtient :y(L, t) = sin(λL)(Bcos(λat) + A sin(λat)) = 0⇒ sin(λL) = 0⇒ λL = mπ m ∈ N⇒ λ = m π m ∈ NLRegardons la condition (3)Car le second membre nul équivautà T(t)=0(∂y(x, t))(∂t)= sin(λx)(Aλa cos(λat) − Bλa sin(λat))on sait que (∂y(x,0))(∂t)= 0⇔ sin(λx)(Aλa cos(0) − Bλa sin(0)) = 0⇔ sin(λx)(Aλa) = 0⇒ A = 0Sous ces conditions : y(x, t) = sin(λx)(Bcos(λat)) = B sin(m Π L x) cos(mΠ L at)Supposons maintenant qu’en sommant cette solution sur tous les m ∈ N on obtiendrabien une solution de l’équation de départ. La sommation nous donneet (2) nous apprend quey(x, t) =∞∑B m sin(m Π L x) cos(mΠ L at)m=1y(x, 0) = f(x) ==∞∑B m sin(m π L x)(cos0)m=1∞∑B m sin(m Π L x)m=1On reconnaît là une série trigonométrique de période L. En décomposant f en série deFourier on obtient, par ailleurs, que f(x) = ∑ ∞n=1 A n sin(nx) + B n (cosnx). On a donc

Ondes sonores 145f(x) ==∞∑A n sin(nx) + B n (cosnx)n=1∞∑B m sin(m Π L x)m=1d’où B m = A npar unicité des coefficients.B n = 0On sait que les coefficients de Fourier∫de la fonction f se calculent de la manièresuivante, on en déduit donc que B m = 2 Lf(u) sin(m πu)duL 0 Ld’où∞∑[ ∫ 2 L (y(x, t) = f(u) sin(m π ) )L L u du sin(m π )L x cos(m π ) ]L atm=10VérificationVérifions que cette fonction est solution de notre équation.Nous allons pour cela vérifier deux points.– Tout d’abord que cette série est absolument convergente∞∑2∣L∞∑2∣L∞∑2∣L∞∑2∣Lm=1m=1m=1m=1∫ L0∫ L0∫ L0∫ L0(f(u) sin(m π ) )L u du sin(m π ) (L x cos m π ) ∣L at ∣∣f(u) sin(m π )L uf(u) sin(m π )L uf(u) sin(m π )L udu∣∣ ∣sin(m π )∣ ∣ ( ∣∣ ∣∣cosL x m π )∣ ∣∣L at du∣ × 1 × 1 car −1 cos(x) 1et −1 sin(x) 1∞du∣ = ∑C n (f)m=1Où les C n (f) sont les coefficients de Fourier de f.Proposition 2.1. Soit f une fonction 2π-périodique continue et de classe C 1 parmorceaux. En prolongeant la définition de f ′ à R tout entier, on obtient, une fonction2π- périodique dont les coefficients de Fourier exponentiels C n (f’) sont liés à ceuxde f par la formule :C n (f’) = inC n (f) ∀n ∈ N \ 0Théorème 2.2 (Théorème de Parseval). Soit f une fonction 2π-périodique alorsles coefficients de Fourier de f vérifient les égalités suivantes appelées égalités deParseval :

146 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderIci,∫1 2π+∑∞|f(x)| 2 dx = |C n (f)| 2(2π) 0∞∑C n (f) =n=1n=1− ∞∞∑( ) n × 1n C n(f)n=1∞∑ 1∞∑ (× n 2 |Cn 2n (f)| 2)} {{ }Riemannintégrablen=1} {{ }∣ ∞∑=∣ C d 2 f ∣∣∣2ndx 2n=1Or, ∑ ∞m=1 |C n(f”)| 2 représente les coefficients de Fourier de f ′′ . Cette somme estfinie si f ∈ L 2 ([0, L]).Or f ∈ L 2 ([0, L]) , donc on a :sum ∞ m=1 |C n (f”)| 2 < +∞∞∑d’où C n (f) < +∞d’oùm=1∞∑2∣Lm=1∫ L0(f(u) sin(m π L u)du )sin(m π L x) cos(mπ L at)) ∣ ∣∣∣< +∞La série converge bien normalement.– Ensuite, que l’équation est satisfaiteThéorème 2.3 (Théorème de dérivabilité). Soit ∑ f n une série de fonctions declasse C 1 sur un intervalle I de R, convergeant simplement sur I, si la série ∑ (f n ’)converge uniformément sur I, alors la fonction somme, ∑ f n est dérivable sur I et( ∑ f n )’ = ∑ (f n ’).Par le même genre de majoration que dans la partie précédente, on a que les différentesdérivées partielles convergent absolument, donc uniformément et simplementon peut donc appliquer le théorème de dérivabilité et on obtient :(∂y(x, t))(∂x)=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du (mπ L ) cos(mπ L x) cos(mπ L at))(∂ 2 y(x, t))(∂x 2 )∞∑= (−( 2 ∫ LL ) f(u) sin(m π L u)du (mπ L )2 sin(m π L x) cos(mπ L at))m=1 0

Ondes sonores 147(∂y(x, t))(∂t)=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du) sin(mπ L x)(mπ L a)(− sin(mπ L at))(∂ 2 y(x, t))(∂t 2 )=∞∑( 2 Lm=1∫ L0f(u) sin(m π L u)du sin(mπ L x)(mπ L a)2 (− cos(m π L at)))∑ ∞= a 2 (−( 2 ∫ LL ) f(u) sin(m π L u)du (mπ L )2 sin(m π L x) cos(mπ L at))m=1= a 2 (∂2 y(x, t))(∂x 2 )0On en conclut que y(x, t) = ∑ ∞m=1 ( ∫ 2 Lf(u) sin(m πu)du sin(m πx) cos(m π at)) estL 0 L L Lsolution de l’équation de la corde vibrante.Interprétation des résultats Un son complexe de hauteur fixe se décompose en sommede vibrations élémentaires, appelées harmoniques naturelles ou modes naturels (ou normaux)de vibration, dont la fréquence est multiple de celle de la fondamentale (cf partiemusique). La fréquence fondamentale donne la hauteur perçue d’une note. Les harmoniquesdéfinissent le timbre qui permet de distinguer un piano d’un violon jouant la même note.Un mode normal ou naturel de vibration est un mode dans lequel chaque point de lacorde vibre à la même fréquence.Rappelons la solution que nous avons trouvée :y(x, t) = ∑ ∞m=1 ( ∫ 2 Lf(u) sin(m πu)du sin(m πx) cos(m π at)), les termes de cette sérieL 0 L L Lreprésentent les modes naturels de vibration de la corde. La fréquence f n du n-ième modenormal s’obtient à partir du terme en cos(n π at) et a pour expression :L(D’après la partie 1, f n est le nombre de fois où la fonction cos(n π at) s’annule sur unLintervalle d’une seconde.)2πf n = n π L a ⇔ f n = na 2 L ⇔ f n = n 2 L √TρAu fil du temps les courbes de ces modes naturels varient des courbes pleines auxcourbes en pointillés et vice versa.Regardons maintenant ce qui se passe dans un tuyau ferméIci, la première ligne représente le mode fondamental, la deuxième, le deuxième harmoniqueet la troisième le troisième mode naturel. De même que pour la corde vibrante,au cours du temps les dépressions et surpressions s’inversent ce qui équivaut, sur notreschéma, à l’alternance des dessins bleus et blancs. On remarque que les courbes de la cordeet les variations de pression dans le tuyau sont similaires.

148 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 5 – Mode fondamental ou premier harmoniqueFig. 6 – 2ème mode naturel ou deuxième harmonique

Ondes sonores 149Fig. 7 – 3ème mode naturel ou troisième harmoniqueFig. 8 – Les premiers harmoniques dans un tuyau fermé (n = 1, 2et3)

150 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderVariations des conditions initiales. Faisons varier les conditions initiales pour montrerleurs influences sur les fréquences des harmoniques. Nous pouvons pour cela modifierplusieurs paramètres de la corde : sa longueur, sa matière, les tensions exercées à ses extrémités...La longueur. Considérons une corde de longueur L 2la fréquence du n-ième harmonique. On a alorset reprenons la formule qui donnef n = n √ τ2 L µ ⇔ f n = n √ τL µ .2On constate qu’avec une corde deux fois plus courte la fréquence des harmoniques estmultipliée par deux. En particulier, la fondamentale est multipliée par deux. Ainsi, lafréquence qui était fondamentale avant de modifier la longueur de la corde devient deuxièmeharmonique c’est à dire qu’elle est toujours présente dans la composition du son que l’onentend mais ce n’est plus elle qu’on entend le plus. C’est pour cela que l’on entend un sondifférent. (Il se passe le même genre de phénomène si la corde considérée est trois fois pluscourte ou deux fois plus longue par exemple...)La matière de la corde. La variable µ représente la masse par unité de longueur,donc c’est une constante du matériel dont est fait la corde c’est pourquoi prendre une cordede matière différente change les fréquences des harmoniques. Etant donné que les cordesdes différents instruments ( piano, guitare, violon....) sont faites en matières différentes, lafréquence des harmoniques permet de reconnaître l’instrument.Pour passer d’un octave à l’autre il faut multiplier les fréquences par 2. Si on veutpasser à l’octave juste en changeant µ il faut prendre un ν (qui représente la masse parunité de longueur de la nouvelle corde) quatre fois plus petit que µ.En effet,2 n √ τL µ L√ = n τν ⇔ τ4n2 L 2 µ = n2 τL 2 ν ⇔ 4 µ = 1 ν ⇔ ν = µ 4La position initiale de la corde. Fixons pour cela la position initiale de la corde.On considère la fonction suivante :Il vient∫ L0f(x) =f(x) sin(m π L x)dx = ∫ x00{ hxx 0si x ∈ [0, x 0 ] ,h L−xL−x 0si x ∈ [x 0 , L] .hxsin(m π ∫ Lx 0 L x)dx + h L − x sin(m πx 0L − x 0 L x)dx .

Ondes sonores 151Fig. 9 – Exemple de position initiale de la cordeCalculons séparément ces deux intégrales.∫ x00hxx 0sin(m π L x)dx = h x 0∫ x00x sin(m π L x)dx= h x 0( −Lx0mπ cos(mπ L x 0) −∫ x0= h x 0( −Lx0mπ cos(mπ L x 0) + L mπ0)−Lmπ cos(mπ L x)dx( L) )mπ sin(mπ L x)= h ( −Lx0x 0 mπ cos(mπ L x 0) + L2m 2 π sin(mπ 2 L x 0)= −Lhmπ cos(mπ L x 0) + L 2 hsin(m π m 2 π 2 x 0 L x 0))d’où∫ Lx 0h L − xL − x 0sin(m π L x)dx= h ∫ L(L − x) sin(m π L − x 0 x 0L x)dx= h ( (− L L − x ) ∫ x0)L − x 0 mπ cos(mπ L x) L+0 mπ cos(mπ L x)dx= h (L L − x )0L − x 0 mπcos(mπ L x 0) + L2m 2 π sin(mπ 2 L x 0)= Lhmπ cos(mπ L x 0) + L 2 hm 2 π 2 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)

152 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider∫ L0Or B m = 2 Lf(x) sin(m π ( −LhL x)dx = mπ + Lhmπ( L 2 h==+∫ Lf(x) sin(m π x)dx. Donc ici0 L)cos(m π L x 0)L 2 hm 2 π 2 (L − x 0 ))sin(m π L x 0)+m 2 π 2 x 0( )L 3 h − L 2 hx 0m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) + L 2 hx 0sin(m π m 2 π 2 (L − x 0 )x 0 L x 0)L 3 hm 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)B m = 2 L 3 hL m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)2L 2 h=m 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0)doncy(x, t) =∞∑m=12L 2 hm 2 π 2 x 0 (L − x 0 ) sin(mπ L x 0) sin(m π L x) cos(mπ L at)Prenons, par exemple, x 0 = L 2la formule devientEn développant on ay(x, t) = 8hπ 2 (y(x, t) =∞∑m=18hm 2 π 2 sin(mπ 2 ) sin(mπ L x) cos(mπ L at)sin π L x cos π L at − 1} {{ } 3 sin 3π 2 L x cos 3π L at + 1} {{ } 5 sin 5π 2 L x cos 5π L at} {{ }fondamental troisième harmonique cinquième harmonique)+ · · · .On constate que les harmoniques paires sont nulles. En effet, sin(2k π ) = sin(kπ) = 0.2Le fondamental a pour fréquence f 1 = (πa) = aL.(2πL) 2Le troisième harmonique a pour fréquence f 3 = (3πa) = (2πL) 3aL = 3f 2 1.Le cinquième harmonique a pour fréquence f 5 = (5πa) = (2πL) 5aL = 5f 2 1.On constate que toutes ces fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale. Onremarque que si l’on avait pris x 0 = L , on aurait les harmoniques multiples de 3 :3(f 3 , f 6 , f 9 , f 12 , ...) nulles.On a donc trouvé une condition pour supprimer certaines harmoniques.

Ondes sonores 1533 Introduction à la musiqueCette partie est plus axée sur la musique proprement dite.3.1 Explications physiquesQuelques généralisations brèves sur la production et la perception d’un son quelconque.EmettreIl existe de très nombreuses façons de produire un son : taper dans les mains, chanter,maiségalement souffler dans une bouteille, etc. Le point commun de tout ceci est quele son existe car une perturbation est créée.En effet, lorsque l’on souffle dans une bouteille, on crée une surpression d’air au niveaude l’embouchure (Cf 2.2) et l’air se propage. Or une onde est une perturbation qui sepropage donc le son émis par la bouteille est en corrélation avec l’onde créée.Lorsque l’on parle ou chante, nos cordes vocales entrent en vibration grâce à l’airpropulsé par nos poumons, créant ainsi l’onde vocale.RecevoirExplications simplifiées du fonctionnement de l’oreille lorsqu’elle reoit un son. Commentcela est-il transmis au cerveau? L’oreille se décompose en trois parties : l’oreille externe(pavillon, conduit auditif), l’oreille moyenne (les 3 osselets : marteau, enclume, étrier) etl’oreille interne. Lorsque le tympan vibre en réponse à une onde sonore, ce sont les osseletsqui transmettent ces vibrations à l’oreille interne. Il y a ensuite des voies nerveuses quimènent au cerveau. Comment celui-ci interprète les sons ?...Cela amène à la notion de sons agréables ou désagréables car les sons peuvent susciterdes sentiments de peur ou au contraire de joie. . .3.2 Notes et gammesPrésentationIntroduction de quelques notions musicales.La musique s’écrit et se lit sur une portée composée de 5 lignes et donc de 4 interlignes.Les notes représentent à la fois des durées et des hauteurs de son. La figure de la notereprésente sa durée, par exemple la ronde vaut 4 temps, la noire 1 temps, la double croche1/4 de temps. Et sa position sur la portée exprime sa hauteur de son.Pour faciliter l’écriture de la musique, il existe différentes clés placées au début de laportée :– la clé de Fa 3ème et 4ème ligne (cette dernière est utilisée par le cor, le tuba... parexemple)– la clé de Sol 2ème ligne (utilisée par la flûte, le hautbois...)

154 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 10 – L’oreille humaineFig. 11 – Quelques notes sur une portée

Ondes sonores 155Fig. 12 – Les différentes clésFig. 13 – Les altérations– la clé d’Ut 1ère, 2ème, 3ème et 4ème ligne (usitée par le trombone...)L’altération est un signe qui modifie la hauteur de son de la note à laquelle elle estaffectée.Il y a 3 types d’altération :1. Qui élèvent le son :– dièse ♯– double dièse2. Qui abaissent le son :– bémol ♭– double bémol ♭♭3. Qui remet la note dans son état naturel– le bécarre ♮ qui annule l’effet de toutes les altérations de la note qui le porte dansla mesure où il se trouve.Il y a 2 sortes d’altérations.– altération accidentelle : elle se place devant la note et est valable pendant toute lamesure pour cette même note (même ligne ou même interligne).– altération à la clé : elle(s) se place(nt) en début de portée après la clé et est (sont)valable(s) pendant tout le morceau. Les altérations à la clé sont en rapport avec lagamme dans laquelle est joué le morceau. Elles sont toujours dans le même ordre :– Fa Do Sol Ré La Mi Si pour les dièses– Si Mi La Ré Sol Do Fa pour les bémolsSi on veut Ré bémol à la clé, on a obligatoirement Si Mi La Ré en bémol à la clé, il nepeut pas être seul.)

156 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 14 – Les différents demi-tonsUne gamme est une série de sons conjoints, chaque son peut être le point de départ,la première note de la gamme. Donc une gamme est composée de 8 degrés qui ont desnoms différents : le premier est la tonique, le deuxième la sus-tonique, puis médiante,sous-dominante, dominante, sus-dominante, note sensible, octave (=tonique).Les degrés de la gamme ne sont pas également espacés entre eux : la plus grande distanceest le ton et la plus petite, le demi-ton.L’octave est divisée en 5 tons et 2 demi-tons en ayant : ton, ton, demi-ton, ton, ton, ton,demi-ton pour les gammes Majeures. Pour les gammes mineures la répartition des tons etdes demi-tons est plus complexe.Le dièse ou le bémol augmente ou baisse la note d’un demi-ton. Il y a deux sortes dedemi-tons :– le demi-ton diatonique se place entre 2 notes de noms différents.Exemples : do-ré ♭ ou sol♯-la ou si-do...– le demi-ton chromatique se place entre 2 notes de mêmes noms.Exemples : do-do♯ ou la ♭-la ...Mais le ton comporte une division plus petite que le demi-ton, appelé comma. Le demitondiatonique comporte 4 commas tandis que le demi-ton chromatique en comporte 5.Ce comma d’écart n’est perceptible que par des oreilles bien éduquées, donc on utilisel’enharmonie c’est à dire la synonymie entre deux notes de noms différents affectées toutes

Ondes sonores 157deux au même son (exemple : do♯-ré bémol).L’armure constitue l’ensemble des altérations à la clé. Et à partir de l’armure, on peuttrouver la tonalité majeure correspondante.– pas de dièse ni de bémol : gamme de Do– 1 bémol : gamme de Fa Majeur– prendre le dernier dièse et monter d’un demi-ton diatonique pour avoir le nom de lagamme Majeureexemple : Si on a à l’armure 3 dièses (Fa♯, Do♯, Sol♯) donne la gamme de La Majeur.– l’avant dernier bémol de l’armure est le nom de la gamme majeure.Gammes relatives :1. Pour former une gamme mineure relative d’une gamme Majeure, il faut :– élever d’un demi-ton chromatique la dominante de cette gamme Majeure, pour luidonner le rang de note sensible et donc– prendre pour tonique de la gamme mineure relative la sus-dominante (VIème degré)de la gamme Majeure.2. Pour former une gamme Majeure relative d’une gamme mineure, il faut :– abaisser d’un demi-ton chromatique la note sensible de cette gamme mineure, pouren faire une dominante, et donc– prendre pour tonique de la gamme Majeure, la médiante (IIIème degré) de cettegamme mineure.Approche mathématiqueExplications mathématiques de quelques notions présentées dans 3.2. Une note correspondà un son qui lui-même correspond à une onde. Donc la hauteur de la note est en rapportdirect avec la fréquence de «son» onde. Pour plus de facilité de notation, nous noteronsdans la suite « d » pour dièse et « b » pour bémol.La transposition123

158 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderDans ces trois cas, l’oreille reconnaît la mélodie de ”Au clair de la lune”, avec 2 plus ”haut”que 1, et 3 plus ”bas” que 1.SoitSoitF 1 = l’ensemble des fréquences dans le cas 1= {440, 440, 440, 493, 552 ,493, 440, 552, 493, 493, 440}F 2 = l’ensemble des fréquences dans le cas 2= {622, 622, 622, 697, 780, 697, 622, 780, 697, 697, 622}Quel est le rapport entre F 1 et F 2 ?On a :622440 = 1, 4136... 697493 = 1, 4137... 780552On remarque que :Donc F 2 ≃ 1, 414F 1Soit622440 ≃ 697493 ≃ 780552≃ 1, 414= 1, 4130...F 3 = l’ensemble des fréquences dans le cas 3= {261, 261, 261, 293, 330, 293, 261, 330, 293, 293, 261}Quel est le rapport entre F 1 et F 3 ?On a :261440 = 0, 5932... 293493 = 0, 5943... 330552On remarque que :261440 ≃ 293493 ≃ 330552≃ 0, 59= 0, 5978...Donc F 3 ≃ 0, 59F 1On peut donc en conclure que si on multiplie toutes les fréquences d’une mélodie parun nombre plus grand que 1, l’homme reconnaît la mélodie jouée plus haut.A l’inverse, si l’on multiplie toutes les fréquences par un nombre plus petit que 1,l’homme reconnaît alors la mélodie jouée plus bas.

Ondes sonores 159Un logarithme naturelf La = 440Hzf Dod = 554Hzf Fa = 698Hz4 5Si au piano, on joue 4 puis 5 on entend le même « écart »Logiquement, on pourrait penser que f Dod − f La = f Fa − f Dod ,c’est a dire 114=144 CONTRADICTIONEt on remarque que f Dodf La≈ f Laf FaL’oreille humaine fonctionne comme un logarithme : transforme une division en unedifférence.Les rapports entre les fréquences sont perus comme des intervalles entre les sons correspondants.Les différents types de gammesConstruire une gamme c’est ranger dans une octave des notes capables de donner entreelles, si possible, des accords consonant. Ces accords sont donnés par des sons dont l’intervalle(rapport des fréquences d’après la partie précédente) est une fraction simple :octave = 2quinte = 3/2quarte = 4/3L’octave est un intervalle entre 8 notes (la première et la dernière ayant le même nom).La fréquence du La est 440Hz et celle du La à l’octave au-dessus est 880Hz.La quinte est un intervalle séparant 5 notes (la tonique et la dominante). Un intervallede quinte pure a un rapport de fréquence de 3/2 c’est à dire que si la note a une fréquencef, sa quinte a une fréquence de (3/2) ∗ f.Posons O = {do, ré, mi, fa, sol, la, si}Il existe plusieurs faons de choisir les intervalles entre ces notes.L e tempérament en musique sert à accorder des instruments à sons fixes comme lepiano. Sur le clavier de celui-ci, l’octave est limitée au nombre de touches c’est à dire 12,les dièses et les bémols sont confondus, alors que l’octave « réelle » comporte 21 notes : do,dod, réb, ré, réd, mib, mi, mid, fab, fa, fad, solb, sol, sold, lab, la, lad, sib, si, sid, dob. Onaboutit ainsi à la création de tempéraments différents.Le tempérament en musique sert àaccorder des instruments à sons fixes comme le piano. Sur le clavier de celui-ci, l’octave estlimitée au nombre de touches c’est à dire 12, les dièses et les bémols sont confondus, alorsque l’octave « réelle » comporte 21 notes : do, dod, réb, ré, réd, mib, mi, mid, fab, fa, fad,

160 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 15 – Tableau de synthèsesolb, sol, sold, lab, la, lad, sib, si, sid, dob. On aboutit ainsi à la création de tempéramentsdifférents.( ou gamme au tempérament égal ou encore gamme de Bach)La gamme tempérée (ougamme au tempérament égal ou encore gamme de Bach) [WIKcs] [GDEga] [WIKgt]On divise l’octave en 12 demi-tons égaux, en ajoutant 5 nouvelles notes par rapport àl’ensemble O : dod ou réb – réd ou mib – fad ou solb – sold ou lab – lad ou sib.La transposition n’introduit alors pas de nouvelles notes (cf partie La convention dudodécaphonisme et cadres tonals)La gamme tempérée est posée ainsi; et sert de référence.Le cent (avant dernière et dernière colonne du tableau) est une unité de mesure desintervalles. C’est la mesure de l’écart entre une note et une référence. Il permet de préciserla hauteur d’une note dans un tempérament par rapport à sa hauteur dans le tempéramentégal, référence du système de mesure.La gamme chromatique tempérée se compose de 12 demi-tons : il y a donc 1200 centsdans une octave et un demi-ton tempéré est égal à 100 cents.

Ondes sonores 161La formule pour déterminer la valeur en cents de l’intervalle entre 2 notes de fréquencesf 1 et f 2 est1200 ∗ ( (log( f 1f2 ))) (log(2))Gamme au tempérament inégal [WIKti]Contrairement au tempérament égal, un tempérament inégal est un système de divisionde l’octave à structure non régulière. Le principe est que sur le cycle de quintes (cf partieGamme pythagoricienne), on répartit différemment des fractions de comma. Ainsi on :_ améliore la qualité de certaines tierces_ améliore la quinte du loup_ fausse un minimum de quinte_ étend les possibilités de modulation.Les possibilités de création de tempérament inégal sont infinies, et beaucoup de musiciensont cherché le tempérament idéal. Cependant lorsque des instruments accordés dansun certain tempérament jouent une oeuvre dans un ton éloigné du leur, elle devient inaudibledu fait de la fausseté des intervalles. Ces instruments ne peuvent donc pas jouer danstoutes les tonalités. C’est pour cela que Jean-Sébastien Bach (par exemple) a défendu lesystème du tempérament égal permettant ainsi de jouer dans toutes les tonalités.Pour représenter des tempéraments inégaux, on utilise le cycle de quintes en indiquantles corrections apportées par rapport à la quinte juste. Ces corrections sont des fractionsde comma, sans oublier que lorsque l’on diminue un intervalle, il faut une augmentation «compensatoire » ailleurs.Exemples– Werckmeister ( III ) répartit le comma pythagoricien, ainsi deux tierces sont prochesde la pureté mais aucune n’est pure.– SilbermannLa gamme pythagoricienne [WIKcp][GDEco][Wikcq][WIKgp]La gamme pythagoricienne est une gamme particulière, construite sur le cycle desquintes.Qu’est-ce que le cycle de quinte?On rappelle qu’une quinte est l’écart entre la tonique et la dominante. Le cycle desquintes est une succession de notes séparées par un intervalle de quinte. En particulier, onpeut facilement, retrouver l’ordre des altérations à la clé sur ce cycle.De plus, la quinte a la particularité de pouvoir constituer sur un cycle (de quintes enquintes) toutes les notes de la gamme occidentale c’est à dire do – dod ou réb – ré – rédou mib – mi – fa – fad ou solb – sol – sold ou lab – la – lad ou sib – si.Mais ce cycle des quintes soulève un problème. En effet, lorsque l’on fait un tour, donc12 quintes, on parcourt 7 octaves.On devrait donc avoir :

162 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 16 – Représentation schématique des tempéraments inégauxFig. 17 – Werckmeister III

Ondes sonores 163Fig. 18 – SilbermannFig. 19 – Cycle des quintes

164 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderFig. 20 – Comma pythagoricienf ∗ ( 3 2 )12 = f ∗ 2 7c’est à dire f∗(3 2 )122 7 = fOr ce n’est pas le cas, prenons par exemple f = 440Hz (fréquence bien connue du La)440∗( 3 2 )12= 292292552 7 512= 292292552 7≈ 446, 003 ≠ 44065536Cet écart de 446,003∗100 − 100 ≈ 1, 36pourcent est le comma pythagoricien.440Un comma est donc un micro-intervalle représentant une fraction de ton.Quelle est sa valeur en cents ?Une quinte pure (par exemple do-sol)1200 ∗ ( (log(f solf do))) = 1200 ∗ ((log(391,11(log(2)) (log(2))260,74 ))) ≈ 701, 95centsDonc 12 quintes pures :12 ∗ 701, 95 = 8423, 46centsEt 7 octaves7 ∗ 1200 = 8400cents⇒ comma = 8423, 46 − 8400 = 23, 46centsCet écart conduit au fait qu’il y a, dans le cycle des quintes, une quinte « fausse » nonau sens du solfège mais au sens où sa sonorité est désagréable. Elle est appelée quinte duloup. Traditionnellement, c’est l’intervalle Mib-Sold, très peu voire jamais utilisé dans uneexécution musicale, qui est choisi. On peut estimer qu’un intervalle très faux hurle, d’oùl’appellation de quinte de loup.Description « mathématiques » de la gamme pythagoriciennenotes Do Sol Ré La Mi Si Fad Dod Sold Réd Lad Fa Doécart par3 3rapport à Do 1 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 3 11 3 122 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2 121 2 3 4 5 6 7

Ondes sonores 165Fig. 21 – Quinte du loupMaintenant, replaçons toutes ces notes dans la même octave; on va diviser leur fréquencepar une puissance de 2.Par exemple, on « divisera » Dod et Sold par 2 4 , La par 2 1 , Fa par 2 6 ...On obtientnotes Do Dod Ré Réd Mi Fa Fad Sol Sold La Lad Si Doécart par3rapport à Do 1 7 3 2 3 9 3 4 3 11 3 6 3 3 8 3 3 3 10 3 52 11 2 3 2 14 2 6 2 17 2 9 2 2 12 2 4 2 15 2 7 2Hormis sur l’intervalle Mi-Sol (où se situe la quinte du loup) on constate :– Undemi − tonchromatique = 21872048– Undemi − tondiatonique = 256243– (Demi−tonchromatqiue) = 1, 0136 soit un écart de 1,36% = le comma pythagoricien (démontrantce qui a été dit en partie musique).(Demi−tondiatonique)– Unton = 9 8D’autres gammes [GDEga]Il faut savoir qu’il existe également d’autres gammes, comme par exemple : la gammed’Aristoxène-Zarlino. Elle est basée sur 3 accords : Fa-La-Do ; Do-Mi-Sol; Sol-Si-Ré. Cettegamme est assez voisine de la gamme de Pythagore.La convention du dodécaphonisme et cadre tonal Le violon est l’un des raresinstruments à pouvoir faire varier la fréquence des notes presque continûment. Les autresinstruments, on le visualise bien en prenant le piano comme exemple, n’ont que 12 notesdifférentes possibles.On note D l’ensemble de ces 12 notes c’est à dire :D = {La, Lad, Si, Do, Dod, Ré, Réd, Mi, Fa, Fad, Sol, Sold}.

166 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderLa convention du dodécaphonisme– On fixe la fréquence d’une de ces 12 notes : en général celle du La.– Deux fréquences successives ont toujours le même intervalle (c’est à dire que lesrapports sont égaux, cf partie Un logarithme naturel).Quel est ce rapport ?Notons le δ.Et posons :f 1 = fréquence du Laf 2 = fréquence du Lad...f 12 = fréquence du Soldf 13 = fréquence du La à l’octaveD’après cette convention on a que : δ = f 2f 1= f 3f 2= ... = f 13f 12⇒f 2 = δ ∗ f 1f 3 = δ ∗ f 2 = δ 2 ∗ f 1...f 13 = δ ∗ f 12 = δ 12 ∗ f 1Or on sait que f 13 = 2 ∗ f 1 . Donc δ 12 = 2, et δ = 12√ 2Il est pratique de représenter l’ensemble D des 12 notes du dodécaphonisme sur uncercle, comme sur une montre.Donc multiplier la fréquence d’une note de ce cercle par δ n revient à faire une rotationde n « crans » dans le sens des aiguilles d’une montre et ceci est équivalent à faire unerotation de r « crans » où r est tel que n ≡ r[mod12] . Et donc transposer une mélodie,c’est faire « tourner » toutes les notes de celle-ci parle même nombre de « crans ».Un cadre tonal est un sous-ensemble, noté T de l’ensemble D.Par exemple O = {Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si} est un cadre tonal correspondant à lagamme de Do Majeur et sa transposé O+4 = {Mi,Fad, Sold, La, Si, Dod, Réd} correspondà la gamme Majeure de Mi.Donc le sous-ensemble T +n est une transposition de T .Un type tonal est donc l’ensemble des transposés d’un cadre tonal T .Par exemple le type tonal de O est constitué des cadres tonals suivants : O , O +1,O +2, ..., O +10, O +11 car O +12 correspond à O et que tous les cadres O + i aveci = {1, 2, ..., 11} sont différent de O .Cadres tonals voisins et distants Deux cadres voisins sont deux cadres peu différents.Cela permet en musique un passage « en douceur » d’un cadre tonal à un autre,voisin de celui-ci.Deux cadres non voisins sont dits distants.

Ondes sonores 167Fig. 22 – Cercle dodécaphoniqueExemples :Prenons le cadre tonal O comme référence.O + 5 = {Fa, Sol, La, Lad, Do, Ré, Mi}La seule différence est que le Si devient Lad.O et O + 5 sont voisins.Il en est de même pour O et O + 7 = {Sol, La, Si, Do, Ré, Mi, Fad}.Par contreO + 3 = {Réd, Fa, Sol, Sold, Lad, Do, Ré} « a 3 différences avec O » etO + 6 = {Fad, Sold, Lad, Si, Dod, Réd, Fa} « a 6 différences avec O ».O + 3 et O + 6 sont donc distants de O.Nombres de transposés des cardes tonalsThéorème 3.1.1. Il y a 4096 cadres tonals différents, et exactement 352 types de cadres tonals.2. Plus précisément il y a,– 4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés différents, qui définissent 335types.– 54 cadres tonals avec exactement 6 transposés différents, qui définissent 9 types.

168 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider– 12 cadres tonals avec exactement 4 transposés différents, qui définissent 3 types.– 6 cadres tonals avec exactement 3 transposés différents, qui définissent 2 types.– 2 cadres tonals avec exactement 2 transposés différents, qui définissent 1 types.– 2 cadres tonals avec exactement 1 transposé, qui définissent 2 types.Démonstration– Le cercle dodécaphonique comporte 12 notes.Le nombre de cadres tonals totals est donc le cardinal de l’ensemble des parties de l’ensembledes 12 éléments :Z/12Z = {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6, ¯7, ¯8, ¯9, ¯10, ¯11} ,qui correspond à :D = {Do, Dod, Ré, Réd, Mi, Fa, Fad, Sol, Sold, La, Lad, Si} .Donc P(D) = 2 12 = 4096– Soit G le groupe Z/12ZSoit C un cadre tonal c’est à dire un sous-ensemble de Z/12Z .Soit • une action de G sur C par addition modulo 12 qui correspond ici à une rotationde r « crans » (= transposition).L’orbite du cadre C = O C = {g•C/g ∈ G}= l’ensemble des cadres tonals qu’on obtient par transpositionOn a que |O C | = le nombre d’image différentes par transposition.Le stabilisateur de C dans G = Stab G (C) = {g ∈ G/g•C = C}= l’ensemble des éléments de G qui envoie C sur lui-même.D’après le cours de Structure Algébrique ( Mr Dax, année 2008 L3 semestre 2) on aque|G|= |O |Stab G (C)| C| ⇒ 12 = |Stab |O C | G(C)|⇒ Le nombre de transposés d’un cadre est donc un diviseur de 12.– On a trivialement que : il y a 2 cadres tonals avec exactement 1 transposé.Ces cadres sont l’ensemble vide et l’ensemble des 12 notes.– On définit des motifs sur le cercle dodécaphonique :_ R correspond à : la note appartient au cadre._ B correspond à : la note n’appartient pas au cadre._ Le motif « démarre » toujours sur la même note ( on choisit de prendre le Do).Par exemple : le motif RRB correspond à l’ensemble de notes{Do, Dod, Réd, Mi, Fad, Sol, La, Lad}. En effet, un motif engendre un cadre par rotation: « longueur du motif ».Pour engendrer un cadre, on a que le nombre d’éléments par motif est un diviseur de12.Le nombre de transposés du cadre composé par un motif, tel que le motif ne soir pas «redivisible en motifs plus petits », correspond au nombre d’éléments de ce motif.

Ondes sonores 169Fig. 23 – Motif RRBLes cadres qui ont exactement n transposés différentes correspondent aux cadres engendréspar les motifs (non divisibles) à n éléments.Exemple : le motif à 4 éléments RBRB est divisible avec le motif RB; il n’a donc que2 transposés. Ils engendrent donc le même cadre.Un motif M est divisible par un autre motif M’ si M ⊂ M’ et si M et M’ engendre lemême cadre.– Considérons les motifs à 2 éléments.Il y a 3 façons de le construire, on prend 0, 1 ou 2 R dans ce motif. Or le motif 0Rcorrespond au motif BB c’est à dire engendre le cadre « ensemble vide » (déjà traîté), demême 2R engendre le cadre des 12 notes.On a donc( 20)+( 21)+( 22)− 2 = 1 + 2 + 1 − 2 = 2 cadres tonals avec exactement 2transposés différents.– Motifs à 3 éléments.Il y a 4 façons de la construire, mais pour la même raison que le motif à 2 éléments, onenlève les cas 0R( et 3R. ( ( ( 3 3 3 3Donc il y a + + + − 2 = 1 + 3 +0)1)2)3)3! + 1 − 2 = 3 + 3 = 6 cadres(2!1!)tonals avec exactement 3 transposés car on a supprimé les cas divisibles.– Motifs à 4 éléments

170 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs SchneiderIl y a 5 façons de les construire mais on doit ne pas comptabiliser certains motifs (déjàtraités) à savoir :BBBB : ensemble videRRRR : ensemble des 12 notesBRBR et RBRB qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsAlors il y a( 40)+( ( ( ( 4 4 4 4+ + +1)2)3)4)−4 = 1+4+ 4! + 4! +1−4 = 2+6+4 = 12(2!2!) (3!1!)cadres tonals avec exactement 4 transposés car on a supprimé les cas divisibles.– Motifs à 6 éléments.Comme pour le motif à 4 éléments, on doit supprimer certains cas :BBBBBB : ensemble videRRRRRR : ensemble des 12 notesRBRBRB et BRBRBR qui sont divisibles en motifs à 2 élémentsRBBRBB, BRRBRR, RBRRBR, BRBBRB, RRBRRB, BBRBBR qui sont divisiblesen motifs à 3 éléments ( 6On a donc +0)( 61)+( 62)+( 63)+( 64)+( 65)+( 66)−10 = 1+6+ 6!(2!4!) + 6!(3!3!) +6!+ 6! + 1 − 10(4!2!) (5!1!)=7 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 − 10 = 54 cadres tonals avec exactement 6 transposés car ona supprimé les cas divisibles.– Il ne reste que les motifs à 12 éléments donc 12 transposés.Or on sait qu’il y a 4096 cadres tonals en tout. Donc il y a4096 − 54 − 12 − 6 − 2 − 2 = 4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés.– Cherchons maintenant le nombre de types dans chacun des cas, ce qui achèvera ladémonstration.Soit A l’ensemble des cadres tonals qui ont t transposés différents c’est à dire les cadresqui ont des orbites de taille t.Notons x = |A|On regroupe, dans A, un cadre avec ses t − 1 transposés ; ce sous-ensemble de cardinalt correspond à un type.Ceci donne une partition de A en n sous-ensembles à t éléments (où n est le nombre detypes).On a donc la formule suivante :Nombre de types = Nombre de sous-groupes différentsn = x t = |A|tD’où4020 cadres tonals avec exactement 12 transposés différents qui définissent 402012= 335types.54 cadres tonals avec exactement 6 transposés différents qui définissent 54 6 = 9 types.12 cadres tonals avec exactement 4 transposés différents qui définissent 12 4 = 3 types.6 cadres tonals avec exactement 3 transposés différents qui définissent 6 3 = 2 types.2 cadres tonals avec exactement 2 transposés différents qui définissent 2 2 = 1 type.2 cadres tonals avec exactement 1 transposé qui définissent 2 1 = 2 types.

Ondes sonores 171D’où 335 + 9 + 3 + 2 + 1 + 2 = 352 types pour les 4096 cadres tonals.3.3 L’harmoniqueLes harmoniques sont les fréquences multiples de la fondamentale. Les intensités relativesdes harmoniques permettent de distinguer l’instrument. Pourquoi?4 ConclusionLa musique est un sujet très vaste et complexe, grâce à ce travail nous avons pu «éclairer » mathématiquement certaines notions.Références[ALA07] F.Alabau, Cours L2 : séries entières et analyse de Fourier, 2007[AZO03] Les mathématiques en licence, E. Azouli, J. Avignant, G. Auliac, Ediscience, ,BU Saulcy, 510.AZO[BOS95] Séries de fonctions et intégrale de Riemann, Boschet Françoise, Masson, , BUSaulcy, 515.43.BOS[BRO01] Michel Broué,[CIN06] L’utilisation des mathématiques et de la physique en musique, Cinarelli Ophélie,2006[DAN96] Théorie de la musique, A. Danhauser, Henry Lemoine, Paris, 1996, appartient àAnaïs,[GDEco] Grand dictionnaire encyclopédique comma, Larousse, 1983, appartient à Anaïs,[GDEga] Grand dictionnaire encyclopédique Gamme, Larousse, 1983, appartient à Anaïs,[GDEha] Grand dictionnaire encyclopédique harmonique, Larousse, 1983, appartient àAnaïs,[HTMcv] La corde vibrante théorique,http ://www.jpbourgeois.org/guitar/corde.htm/Théorie[HTMln] Les lois de Newton,http ://www.institut.math.jussieu.fr/ broue/tonamath.pdf[PDFac] Produire des sons, écouter,http ://e.m.c.2.free.fr/spe6-acoustique-musicale.pdf[PDFco] Equation de la corde vibrante,http ://www.cmi.univ-mrs.fr/∼rau/Tdteleman/corde.pdfhttp ://www.educnet.education.fr/orbito/orb/meca/meca12.htm

172 Émilie Legendre – Audray Langbach – Anaïs Schneider[PDFcv1] Equation de la corde vibrante et équation d’onde,http ://web2.uqat.ca/lerene/webcours/gen-0135/manuel/m39-0135.pdf[PDFcv2] Modélisation de la corde vibrante, M. Laforest, A. Saucier, E. Chan-Tave,http ://www.genie-des-maths.polymtl.ca/exemples/equations differentielles/ex15/ex15.pdf[PDFcv3] Equation de la corde vibrante,http ://www.latp.univ-mrs.fr/ rau/Tdteleman/corde.pdf[PDFio] Propagation des ondes sonores,http ://www.audiocontact.fr/guides fiches/propagation des ondes sonores part1.pdf[PDFon] Qu’est-ce qu’une onde ?http ://www.ulg.ac.be/sciences/pedagogique/dossierpds2003/Post01.pdf[PIE83] Le son musical : musique, acoustique et informatique, John R Pierce, Belin, 1983,Metz technopôle, 534.3 PIE[SPI93] Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites, Murray RSpiegel, MC Graw-Hill Editeurs, 1993, BU Saulcy, 515,243,SPI[WIKcp] Comma Pythagoricien, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Comma pythagoricien[WIkcq] Cycle des quintes, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle des quintes[WIKcs] Cent et savart, Wikipédia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Cent et savart[WIKeo] Wave equation, Wikipédia, http ://en.wikipedia.org/wiki/Wave equation[WIKgp] Gamma pythagoricienne, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Gamme pythagoricienne[WIKgt] Gamme tempérée, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Gamme tempérée[WIKio1] Tuyau d’orgue, Wikipédia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Tuyau d’orgue[WIKio2] Onde stationnaire dans un tuyau, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Onde stationnaire dans un tuyau[WIKti] Tempérament inégal, Wikipédia,http ://fr.wikipedia.org/wiki/Tempérament inégal

!∀#∃%∃&#∋&())∗())+,−.#/∋ #0∀1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,+2(−##13∋ ∋∀1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,+4,−5∀61 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,7,8∋∋#∃#∀61−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,7,985∀61 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,7((−!∀ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,7: !∀#,−∋∀1∋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,7:(−!∀ .&∋1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,77− .&∋1∋∀..9∋!∀−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,4:8;< /∋ %#.#∃6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,4:98/∋ ###6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,4:18< /∋ ###6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,4∗8< /∋ ###6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,4∗8;< /∋ ###6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−,47:−∀# ∋

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