Cvičenia - dai.fmph

Cvičenia 41CvičeniaZákladné pojmySkladanie relácií2.1. Nájdite príklad binárnych relácií R,S, pre ktoré nasledujúce tvrdenieneplatí:R◦S = R◦S.2.2. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S,T platí:R ⊆ S → R◦T ⊆ S ◦TR ⊆ S → T ◦R ⊆ T ◦S.2.3. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S,T platí:R◦(S ∪T) = (R◦S)∪(R◦T)(R∪S)◦T = (R◦T)∪(S ◦T).2.4. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S,T platí:R◦(S ∩T) ⊆ (R◦S)∩(R◦T)(R∩S)◦T ⊆ (R◦T)∩(S ◦T).Ukážte tiež, že v oboch tvrdeniach nemusí platit’ rovnost’.2.5. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S,T platí:R◦(S \T) ⊇ (R◦S)\(R◦T)(R\S)◦T ⊇ (R◦T)\(S ◦T).Ukážte tiež, že v oboch tvrdeniach nemusí platit’ rovnost’.Opačná relácia2.6. Dokážte, že pre l’ubovolné množiny A,B platí:(A×B) −1 = B ×A.2.7. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S platí:

42 2 Binárne relácieR −1 ⊆ S −1 ↔ R ⊆ SR −1 = S −1 ↔ R = S.2.8. Dokážte, že pre l’ubovolné binárne relácie R,S platí:∅ −1 = ∅(R−1 ) −1= R(R∪S) −1 = R −1 ∪S −1(R∩S) −1 = R −1 ∩S −1(R\S) −1 = R −1 \S −1 .Obraz a vzor množiny v relácii2.9. Nájdite príklad binárnej relácie R a množín X 1 ,X 2 , pre ktoré nasledujúcetvrdenia neplatí:R[X 1 ∩X 2 ] = R[X 1 ]∩R[X 2 ]R[X 1 \X 2 ] = R[X 1 ]\R[X 2 ].2.10. Nech R,S sú binárne relácie a nech X je množina. Dokážte, že platí:R ⊆ S → R[X] ⊆ S[X](R∪S)[X] = R[X]∪S[X](R∩S)[X] ⊆ R[X]∩S[X](R\S)[X] ⊇ R[X]\S[X].Ukážte tiež, že v posledných dvoch tvrdeniach nemusí platit’ rovnost’.2.11. Nech R,S sú binárne relácie a nech X,Y sú množiny. Dokážte, že platí:(R◦S)[X] = R[S[X]]X ⊆ domR ↔ X ⊆ (R◦R −1 )[X]Y ⊆ rngR ↔ Y ⊆ (R −1 ◦R)[Y].2.12. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R[X] ⊆ Y?(ii) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R[X] ⊇ Y?(iii) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R[X] = Y?Návod. Využite vetu 2.4.3.

Cvičenia 432.13. Nech A,B,X,Y sú množiny také, že X ⊆ A a Y ⊆ B. Dokážte, že prel’ubovolnú binárnu reláciu R z A do B platí:R −1 [Y] ⊆ X ↔ R∩(X ×Y) = ∅R −1 [Y] ⊇ X ↔ dom ( R∩(X ×Y) ) = XR −1 [Y] = X ↔ R∩(X ×Y) = ∅∧dom ( R∩(X ×Y) ) = X.Návod. Využite vetu 2.4.3 a výsledky cvičení 2.6-2.8 týkajúcich sa vlastnostíopačnej relácie.2.14. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] ⊆ X?(ii) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] = X?(iii) Kol’ko je binárnych relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] ⊇ X?Návod. Využite vetu 2.4.3 a výsledky predchádzajúceho cvičenia.Všade definované relácie2.15. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je všade definovaných relácií R z A do B takých, že R[X] ⊆ Y?(ii) Kol’ko je všade definovaných relácií R z A do B takých, že R[X] ⊇ Y?(iii) Kol’ko je všade definovaných relácií R z A do B takých, že R[X] = Y?Návod. Využite vety 2.4.3 a 2.5.3.2.16. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je všadedefinovanýchreláciíRzAdo B takých, že R −1 [Y] ⊆ X?(ii) Kol’ko je všadedefinovanýchreláciíRzAdo B takých, že R −1 [Y] ⊇ X?(iii) Kol’ko je všadedefinovanýchreláciíRzAdo B takých, že R −1 [Y] = X?Návod. Využite vetu 2.5.3 a výsledky cvičenia 2.13.Jednoznačné relácie2.17. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R[X] ⊆ Y?(ii) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R[X] = Y?(iii) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R[X] ⊇ Y?

44 2 Binárne relácieNávod. Využite vety 2.4.3 a 2.6.3.2.18. Nech X ⊆ A a Y ⊆ B sú konečné množiny.(i) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] ⊆ X?(ii) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] = X?(iii) Kol’ko je jednoznačných relácií R z A do B takých, že R −1 [Y] ⊇ X?Návod. Využite vetu 2.6.3 a výsledky predchádzajúceho cvičenia.