Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Furijeova transformacija6.10 Hilbertova transformacijaZa kauzalni signal moguće je uspostaviti vezu između realnog i imaginarnogdijela njegove Furijeove transformacije. Da bismo to pokazali, pođimo odčinjenice da svaki kauzalan signal, koji je jednak nuli za t < 0, možemo zapisatina sljedeći način:x() t = x() t ⋅ u()t . (6.151)Množenju dva signala u vremenskom domenu odgovara konvolucijanjihovih Furijeovih transformacija u frekvencijskom domenu, pa dobijamo:1X( Ω ) = F { x( t)} = F { x() t ⋅ u()t } = X( Ω) ∗U( Ω), (6.152)2π{ }{ }gdje je X ( Ω ) =F xt ( ) i U( Ω ) =F u( t). Sada je:1 1 X ( Ω ) = R( Ω ) + jI( Ω ) = R( ) jI( ) πδ ( )2π Ω + Ω ∗Ω + = jΩ(6.153)1 1 1 1 1 1 = R( Ω) ∗δ( Ω ) + I( Ω) ∗ + j I( Ω) ∗δ( Ω) − R( Ω)∗ .2 2πΩ 2 2πΩNa osnovu (4.31) znamo da je konvolucija signala sa Dirakovim impulsompomjerenim u tačku t 0jednaka tom signalu pomjerenom u tačku t 0. Zbog togasu konvolucije sa Dirakovim impulsima u (6.153) jednake:R( ) δ ( ) R( )Ω∗ Ω= Ω, (6.154)Tako dobijamo da je:I( ) δ ( ) I( )Ω∗ Ω= Ω. (6.155)1 1 1 1 1 1 R( Ω ) + jI( Ω ) = R( Ω ) + I( Ω) ∗ + j I( Ω) − R( Ω)∗2 2πΩ 2 2πΩ. (6.156) 205