Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
GLAVA 66.9 Gibsov fenomenPrilikom rekonstrukcije signala množenje u frekvencijskom domenuuniformnom prozorskom funkcijom P( Ω ), koja je različita od nule i jednakajedinici samo za Ω≤Ω, 0 garantuje idealnu rekonstrukciju signala čija je gornjagranična učestanost manja ili jednaka od Ω0. Ako bi širina prozorske funkcijebila manja, došlo bi do odsijecanja dijela spektra signala na učestanostimavećim od Ω0. U slučaju signala sa diskontinuitetima, čiji spektar nije ograničeni prekriva cijeli frekvencijski opseg od −∞ do ∞ beskonačno, odsijecanjevisokofrekvencijskih komponenti je neminovno sve dok je širina prozorskefunkcije konačna. Rekonstrukcija signala bez visokofrekvencijskih komponentirezultuje aproksimativnim oblicima signala. Srednjekvadratna greška koja sečini pri rekonstrukciji signala se smanjuje sa povećanjem širine prozorskefunkcije i teži ka nuli kada širina prozorske funkcije teži ka beskonačnosti.Međutim, pri rekonstrukciji signala koji sadrže diskontinuitete, iakosrednjekvadratna greška postaje jako mala pri velikim širinama prozora,rekonstruisani signal se po svom obliku značajno razlikuje od originalnogsignala i u njemu se pojavljuju karakteristični preskoci i oscilacije nazvani Gibsovfenomen (Josiah Willard Gibbs, 1839 –1903).Ilustrovaćemo Gibsov fenomen na primjeru rekonstrukcije Hevisajdovefunkcije iz njenog spektra. U svrhu rekonstrukcije, pomnožimo spektarHevisajdove funkcije U( Ω)sa prozorskom funkcijom P( Ω ) širine Ω0:( ),0ˆUΩ Ω ≤ΩU( Ω ) = U( Ω) ⋅P( Ω ) = . (6.147) 0, inačeInverznom Furijeovom transformacijom dobijamo:() ˆ ( ){ } ( ) ( )1 1{ } ()1{ ( )}− − −û t = F U Ω = F U Ω ⋅P Ω = u t ∗F P Ω . (6.148)Inverzna Furijeova transformacija prozorske funkcije dobije se koristeći pravilosimetrije:ΩF { }, (6.149)π−() ( )1 0pt = PΩ = sincΩ0t202
Furijeova transformacijatako da je rekonstruisana Hevisajdova funkcija jednaka:∞tΩ Ω Ωut ˆ ut sinc t ut sinc d sinc dπ π π−∞−∞Numeričkom integracijom se može pokazati da maksimalna vrijednost ovogπintegrala nastupa za t = . Do ovog zaključka se može doći i posmatrajućiΩ0 0 0() = () ∗ ( Ω0 ) = ( −τ) ( Ω0τ) τ = ( Ω0τ)τ .(6.150)0grafičko rješavanje konvolucije Hevisajdove i sinc funkcije ilustrovano na Slici6.23. Vidljivo je da se najveća površina ispod proizvoda ove dvije funkcijeπdobije kada se prednja ivica reflektovane Hevisajdove funkcije nađe u t = , Ωšto je prikazano punom linijom na Slici 6.23(b).Maksimalna vrijednost ût () je za 9% veća od vrijednosti Hevisajdovefunkcije i ne zavisi od širine prozorske funkcije Ω 0. Sa povećanjem širineprozorske funkcije u frekvencijskom domenu smanjuje se širina glavnog luka irazmak između nula sinc funkcije u vremenskom domenu, ali istovremeno,shodno osobini skaliranja Furijeove transformacije, proporcionalno raste njenaamplituda. Zbog toga pri povećanju širine prozorske funkcije frekvencijaoscilacija u rekonstruisanom signalu raste, povećava se strmina u okolini tačkegdje originalni signal ima prekid i preskok se pomjera prema tački prekidapostajući sve uži, ali vrijednost maksimuma rekonstruisanog signala, kojiodgovara površini ispod proizvoda Hevisajdove i sinc funkcije u trenutkuπt = ostaje 1,09. I pored toga što pri povećanju frekvencijskog opsega naΩ0osnovu kog se vrši rekonstrukcija signala preskok ostaje iste visine, periodoscilacija u rekonstruisanom signalu postaje sve kraći, tako da sesrednjekvadratna greška sve više smanjuje. Za ilustraciju navedenog, naslikama 6.24 i 6.25 prikazan je Gibsov fenomen koji se javlja pri rekonstrukcijipravougaonog impulsa. Širina prozorske funkcije na Slici 6.25 je dva puta većaod širine prozorske funkcije na Slici 6.24, tako da se na ovim slikama možepratiti uticaj širine prozorske funkcije na oblik oscilacija koje se javljaju urekonstruisanom signalu.0203
- Page 13 and 14: Furijeova transformacija∞( Ω ) =
- Page 15 and 16: Furijeova transformacijaRe{ X( )} X
- Page 17 and 18: Furijeova transformacijaDokaz:∞X
- Page 19 and 20: Furijeova transformacijaδ () t ↔
- Page 21 and 22: Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Sli
- Page 23 and 24: Furijeova transformacija6.4.4 Pomak
- Page 25 and 26: Furijeova transformacijaDokaz:Na os
- Page 27 and 28: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 29 and 30: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 31 and 32: FurijeovatransformacijaPrimmjer6.7:
- Page 33 and 34: FurijeovatransformacijaSlika 6.14 O
- Page 35 and 36: Furijeova transformacijaF ∞∞−
- Page 37 and 38: Furijeovatransformacija(d)(e)(f)Sli
- Page 39 and 40: Furijeova transformacijai Hevisajdo
- Page 41 and 42: Furijeova transformacijaNapomenimo
- Page 43 and 44: Furijeova transformacija6.4.11 Inte
- Page 45 and 46: Furijeova transformacijaTabela 6.1.
- Page 47 and 48: Furijeova transformacijaKoristeći
- Page 49 and 50: Furijeova transformacijaRješenje:P
- Page 51 and 52: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 53 and 54: Furijeovaa transformacijaSlikka 6.1
- Page 55 and 56: Furijeova transformacijaOsnovni cil
- Page 57 and 58: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 59 and 60: Furijeovaa transformacija(i)(j)Slik
- Page 61 and 62: Furijeovaa transformacija(a)(b)Slik
- Page 63: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 67 and 68: Furijeova transformacija6.10 Hilber
- Page 69 and 70: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 71 and 72: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
Furijeova transformacijatako da je rekonstruisana Hevisajdova funkcija jednaka:∞tΩ Ω Ωut ˆ ut sinc t ut sinc d sinc dπ π π−∞−∞Numeričkom integracijom se može pokazati da maksimalna vrijednost ovogπintegrala nastupa za t = . Do ovog zaključka se može doći i posmatrajućiΩ0 0 0() = () ∗ ( Ω0 ) = ( −τ) ( Ω0τ) τ = ( Ω0τ)τ .(6.150)0grafičko rješavanje konvolucije Hevisajdove i sinc funkcije ilustrovano na Slici6.23. Vidljivo je da se najveća površina ispod proizvoda ove dvije funkcijeπdobije kada se prednja ivica reflektovane Hevisajdove funkcije nađe u t = , Ωšto je prikazano punom linijom na Slici 6.23(b).Maksimalna vrijednost ût () je za 9% veća od vrijednosti Hevisajdovefunkcije i ne zavisi od širine prozorske funkcije Ω 0. Sa povećanjem širineprozorske funkcije u frekvencijskom domenu smanjuje se širina glavnog luka irazmak između nula sinc funkcije u vremenskom domenu, ali istovremeno,shodno osobini skaliranja Furijeove transformacije, proporcionalno raste njenaamplituda. Zbog toga pri povećanju širine prozorske funkcije frekvencijaoscilacija u rekonstruisanom signalu raste, povećava se strmina u okolini tačkegdje originalni signal ima prekid i preskok se pomjera prema tački prekidapostajući sve uži, ali vrijednost maksimuma rekonstruisanog signala, kojiodgovara površini ispod proizvoda Hevisajdove i sinc funkcije u trenutkuπt = ostaje 1,09. I pored toga što pri povećanju frekvencijskog opsega naΩ0osnovu kog se vrši rekonstrukcija signala preskok ostaje iste visine, periodoscilacija u rekonstruisanom signalu postaje sve kraći, tako da sesrednjekvadratna greška sve više smanjuje. Za ilustraciju navedenog, naslikama 6.24 i 6.25 prikazan je Gibsov fenomen koji se javlja pri rekonstrukcijipravougaonog impulsa. Širina prozorske funkcije na Slici 6.25 je dva puta većaod širine prozorske funkcije na Slici 6.24, tako da se na ovim slikama možepratiti uticaj širine prozorske funkcije na oblik oscilacija koje se javljaju urekonstruisanom signalu.0203
Change language