Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

GLAVA 66.9 Gibsov fenomenPrilikom rekonstrukcije signala množenje u frekvencijskom domenuuniformnom prozorskom funkcijom P( Ω ), koja je različita od nule i jednakajedinici samo za Ω≤Ω, 0 garantuje idealnu rekonstrukciju signala čija je gornjagranična učestanost manja ili jednaka od Ω0. Ako bi širina prozorske funkcijebila manja, došlo bi do odsijecanja dijela spektra signala na učestanostimavećim od Ω0. U slučaju signala sa diskontinuitetima, čiji spektar nije ograničeni prekriva cijeli frekvencijski opseg od −∞ do ∞ beskonačno, odsijecanjevisokofrekvencijskih komponenti je neminovno sve dok je širina prozorskefunkcije konačna. Rekonstrukcija signala bez visokofrekvencijskih komponentirezultuje aproksimativnim oblicima signala. Srednjekvadratna greška koja sečini pri rekonstrukciji signala se smanjuje sa povećanjem širine prozorskefunkcije i teži ka nuli kada širina prozorske funkcije teži ka beskonačnosti.Međutim, pri rekonstrukciji signala koji sadrže diskontinuitete, iakosrednjekvadratna greška postaje jako mala pri velikim širinama prozora,rekonstruisani signal se po svom obliku značajno razlikuje od originalnogsignala i u njemu se pojavljuju karakteristični preskoci i oscilacije nazvani Gibsovfenomen (Josiah Willard Gibbs, 1839 –1903).Ilustrovaćemo Gibsov fenomen na primjeru rekonstrukcije Hevisajdovefunkcije iz njenog spektra. U svrhu rekonstrukcije, pomnožimo spektarHevisajdove funkcije U( Ω)sa prozorskom funkcijom P( Ω ) širine Ω0:( ),0ˆUΩ Ω ≤ΩU( Ω ) = U( Ω) ⋅P( Ω ) = . (6.147) 0, inačeInverznom Furijeovom transformacijom dobijamo:() ˆ ( ){ } ( ) ( )1 1{ } ()1{ ( )}− − −û t = F U Ω = F U Ω ⋅P Ω = u t ∗F P Ω . (6.148)Inverzna Furijeova transformacija prozorske funkcije dobije se koristeći pravilosimetrije:ΩF { }, (6.149)π−() ( )1 0pt = PΩ = sincΩ0t202