Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
GLAVA 66.4.8 Deriviranje u vremenskom domenuAko postoji transformacioni par xt () ↔X( )dx()tj X ( )Ω , tada je:↔ Ω Ω . (6.87)dtAko u vremenskom domenu deriviramo signal, to će u frekvencijskomdomenu, zbog množenja sa jΩ , dovesti do naglašavanja visokofrekvencijskihkomponenti signala.Dokaz:Izrazimo signal x()t preko inverzne Furijeove transformacije, pa potražimonjegov izvod:∞∞dx d 1 1= Ω Ω = Ω Ω Ωdt dt 2π 2π−∞ −∞jΩXΩ , te je:jΩt jΩt X( ) e d j X( ) e d . (6.88)Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( )()dx t↔ jΩX( Ω ). (6.89)dtPonavljajući postupak n puta, dobijamo da je:()nd x tndtn( j ) X ( )↔ Ω Ω . (6.90)Primjer 6.9:Odrediti Furijeovu transformaciju jedinične odskočne funkcije.Rješenje:Između funkcije znaka:176
Furijeova transformacijai Hevisajdove funkcije:postoji sljedeća veza:− 1, t < 0sgn () t = 0, t = 01, t > 0 0, t < 01 uh() t = , t = 02 1, t > 0(6.91)(6.92)1 1sgn () t = uh() t − . (6.93)2 21Prvi izvod funkcije sgn () t jednak je prvom izvodu funkcije uh() t :2d 1 d 1duhsgn () t uh() t δ tdt2 = − = =dt2 dtZnajući da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantuvrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka iFurijeovu transformaciju izvoda funkcije uh() t :() t(). (6.94)d1 du sgn () th F = = 1dt 2 F . (6.95) dt Koristeći osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:1 jΩ F sgn () t = jΩ { u ()}1ht =2 F . (6.96)Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije uh() t ,trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa jΩ . Kako Ω poprima vrijednostiod −∞ do ∞ , spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa jΩ važeći je za sveučestanosti osim za Ω= 0.177
- Page 1 and 2: Glava 6FURIJEOVA TRANSFORMACIJAPo t
- Page 3 and 4: Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Sli
- Page 5 and 6: Furijeova transformacijaStoga umjes
- Page 7 and 8: Furijeovatransformacija(a)(b)Slikka
- Page 9 and 10: Furijeova transformacijaRješenje:U
- Page 11 and 12: FurijeovatransformacijaPrimmjer6.2:
- Page 13 and 14: Furijeova transformacija∞( Ω ) =
- Page 15 and 16: Furijeova transformacijaRe{ X( )} X
- Page 17 and 18: Furijeova transformacijaDokaz:∞X
- Page 19 and 20: Furijeova transformacijaδ () t ↔
- Page 21 and 22: Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Sli
- Page 23 and 24: Furijeova transformacija6.4.4 Pomak
- Page 25 and 26: Furijeova transformacijaDokaz:Na os
- Page 27 and 28: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 29 and 30: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 31 and 32: FurijeovatransformacijaPrimmjer6.7:
- Page 33 and 34: FurijeovatransformacijaSlika 6.14 O
- Page 35 and 36: Furijeova transformacijaF ∞∞−
- Page 37: Furijeovatransformacija(d)(e)(f)Sli
- Page 41 and 42: Furijeova transformacijaNapomenimo
- Page 43 and 44: Furijeova transformacija6.4.11 Inte
- Page 45 and 46: Furijeova transformacijaTabela 6.1.
- Page 47 and 48: Furijeova transformacijaKoristeći
- Page 49 and 50: Furijeova transformacijaRješenje:P
- Page 51 and 52: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 53 and 54: Furijeovaa transformacijaSlikka 6.1
- Page 55 and 56: Furijeova transformacijaOsnovni cil
- Page 57 and 58: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 59 and 60: Furijeovaa transformacija(i)(j)Slik
- Page 61 and 62: Furijeovaa transformacija(a)(b)Slik
- Page 63 and 64: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 65 and 66: Furijeova transformacijatako da je
- Page 67 and 68: Furijeova transformacija6.10 Hilber
- Page 69 and 70: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 71 and 72: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
Furijeova transformacijai Hevisajdove funkcije:postoji sljedeća veza:− 1, t < 0sgn () t = 0, t = 01, t > 0 0, t < 01 uh() t = , t = 02 1, t > 0(6.91)(6.92)1 1sgn () t = uh() t − . (6.93)2 21Prvi izvod funkcije sgn () t jednak je prvom izvodu funkcije uh() t :2d 1 d 1duhsgn () t uh() t δ tdt2 = − = =dt2 dtZnajući da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantuvrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka iFurijeovu transformaciju izvoda funkcije uh() t :() t(). (6.94)d1 du sgn () th F = = 1dt 2 F . (6.95) dt Koristeći osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:1 jΩ F sgn () t = jΩ { u ()}1ht =2 F . (6.96)Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije uh() t ,trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa jΩ . Kako Ω poprima vrijednostiod −∞ do ∞ , spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa jΩ važeći je za sveučestanosti osim za Ω= 0.177
Change language