Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

GLAVA 66.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenuOsobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva imodulacioni teorem, kaže da konvoluciji Furijeovih transformacija signala ufrekvencijskom domenu odgovara množenje signala u vremenskom domenu.x t X x t ↔XΩ , tada je:Ako je () ↔ ( Ω)i () ( )1 12 21x1() t ⋅x2() t ↔ X1( Ω) ∗X2( Ω ). (6.78)2πDokaz:Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije Furijeovihtransformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2π :F−1 1 1 1 jΩt X ( Ω) ∗X ( Ω ) = X ( Ω) ∗X ( Ω)e dΩ=2π 2π 2π 1 2 1 2−∞∞2 ∞ ∞ 1 jΩt= X1( Ψ) X2( Ω−Ψ)dΨe dΩ.2π −∞ −∞Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:(6.79 )2 ∞∞F −1 1 1 − jΩt X1( Ω) ∗X2( Ω ) = X1( Ψ) X2( Ω−Ψ)e dΩdΨ2π2π , (6.80 )−∞−∞ i smjene varijabli Θ=Ω−Ψ:2 ∞∞F −1 1 1 jΘt jΨt X1( Ω) ∗X2( Ω ) = X1( Ψ) X2( Θ)e dΘe dΨ2π2π , (6.81)−∞ −∞uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od Ψ , dobijamosljedeće:172