Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

GLAVA 66.4.6 Konvolucija u vremenskom domenuPodsjetimo se da je u obradi signala konvolucija:() ∗ () = ( ) ( − )x t x t x τ x t τ dτ(6.72 )1 2 1 2−∞∞jedna od osnovnih operacija jer omogućava pronalaženje odziva na proizvoljnupobudu sistema sa poznatim impulsnim odzivom.Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara množenje ufrekvencijskom domenu. Ako je x1() t ↔ X1( Ω ) i x2() t ↔ X2( Ω ), tada vrijedida je:x () t ∗ x () t ↔ X ( Ω) ⋅ X ( Ω ). (6.73)1 2 1 2Dokaz:Potražimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva signala:∞ ∞ ∞F − jΩt − jΩt{ x1() t ∗ x2()t } = x1() t ∗ x2() t e dt = x1( τ) x2( t−τ)dτe dt .(6.74)−∞ −∞ −∞Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:∞∞F − jΩt{ x1() t ∗ x2()t } = x1( τ) x2( t−τ)e dtdτ(6.75 )−∞ −∞i smjene varijabli θ = t − τ :∞∞F − jΩθ− jΩτ{ x1() t ∗ x2()t } = x1( τ) x2( θ)e dθe dτ, (6.76)−∞ −∞uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od τ , dobijamo:∞∞ −∞ −∞−{ () ()} ( ) j Ωjx1 t x2 t x2 e θ− Ωτ∗ = θ dθ⋅ x1( τ) e dτ= X2( Ω) ⋅X1( Ω)F . (6.77)168