Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
GLAVA 6∞−∞{ ()} cos( ) ( )∞{ ()} ( )=−j x t sin Ωt dt,−∞∞{ } sin ( )x t Ωt dt − j x t Ω t dt =−∞(6.49)∞( Ω ) =− ( )0{ } ( Ω )Xi2 x t sin t dt . (6.50)6.4 Osobine Furijeove transformacijeAnaliza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje ukolikopoznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima koji slijededokazaćemo i dati primjere korišćenja osnovnih osobina Furijeovetransformacije. Zbog široke primjenljivosti u rješavanju konkretnih problema,ove osobine se često nazivaju pravila Furijeove transformacije.6.4.1 SimetrijaUkoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika x () t (npr. pravougaoniimpuls) ima spektar funkcionalnog oblika X ( Ω ) (u posmatranom primjeru toje sinc funkcija), onda spektar signala koji u vremenu ima funkcionalni oblikX () t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik reflektovanogoriginalnog signala (pravougaonog impulsa u posmatranom primjeru)pomnoženog sa 2π . Dakle, ako postoji transformacioni par x() t ↔ X ( Ω ),tada je:X () t ↔ 2πx( −Ω ). (6.51)154
Furijeova transformacijaDokaz:∞X x t e dt− jΩtKako je Furijeova transformacija data sa ( Ω ) = ( )jednostavnom zamjenom varijabli t i Ω dobijamo:∞− jt() ( )−∞, ondaΩX t = x Ω e dΩ. (6.52)Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju od 2π x ( −Ω ):−∞Ω{ 2π( )} 2π( ) ( )F j t − jΩtx −Ω = x −Ω e dΩ = x Ω e dΩ2π, (6.53)-1 1∞−∞Poredeći (6.52) i (6.53) dobijamo:−Ω→Ω{ π ( −Ω )} = ()F -1 2 x X t . (6.54)∞−∞Primjer 6.3:Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa x () t δ () tkonstante x() t = 1 .= iRješenje:Polazeći od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristećisvojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformacijuDirakovog impulsa:∞ ∞ ∞− jΩt − jΩ0{ δ()} δ() δ() δ()F t = t e dt = t e dt = t dt = 1. (6.55)−∞ −∞ −∞Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan.Furijeovu transformaciju konstante x() t = 1 pronaći ćemo koristeći osobinusimetrije Furijeove transformacije:155
- Page 1 and 2: Glava 6FURIJEOVA TRANSFORMACIJAPo t
- Page 3 and 4: Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Sli
- Page 5 and 6: Furijeova transformacijaStoga umjes
- Page 7 and 8: Furijeovatransformacija(a)(b)Slikka
- Page 9 and 10: Furijeova transformacijaRješenje:U
- Page 11 and 12: FurijeovatransformacijaPrimmjer6.2:
- Page 13 and 14: Furijeova transformacija∞( Ω ) =
- Page 15: Furijeova transformacijaRe{ X( )} X
- Page 19 and 20: Furijeova transformacijaδ () t ↔
- Page 21 and 22: Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Sli
- Page 23 and 24: Furijeova transformacija6.4.4 Pomak
- Page 25 and 26: Furijeova transformacijaDokaz:Na os
- Page 27 and 28: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 29 and 30: FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (
- Page 31 and 32: FurijeovatransformacijaPrimmjer6.7:
- Page 33 and 34: FurijeovatransformacijaSlika 6.14 O
- Page 35 and 36: Furijeova transformacijaF ∞∞−
- Page 37 and 38: Furijeovatransformacija(d)(e)(f)Sli
- Page 39 and 40: Furijeova transformacijai Hevisajdo
- Page 41 and 42: Furijeova transformacijaNapomenimo
- Page 43 and 44: Furijeova transformacija6.4.11 Inte
- Page 45 and 46: Furijeova transformacijaTabela 6.1.
- Page 47 and 48: Furijeova transformacijaKoristeći
- Page 49 and 50: Furijeova transformacijaRješenje:P
- Page 51 and 52: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 53 and 54: Furijeovaa transformacijaSlikka 6.1
- Page 55 and 56: Furijeova transformacijaOsnovni cil
- Page 57 and 58: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 59 and 60: Furijeovaa transformacija(i)(j)Slik
- Page 61 and 62: Furijeovaa transformacija(a)(b)Slik
- Page 63 and 64: Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)S
- Page 65 and 66: Furijeova transformacijatako da je
Furijeova transformacijaDokaz:∞X x t e dt− jΩtKako je Furijeova transformacija data sa ( Ω ) = ( )jednostavnom zamjenom varijabli t i Ω dobijamo:∞− jt() ( )−∞, ondaΩX t = x Ω e dΩ. (6.52)Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju od 2π x ( −Ω ):−∞Ω{ 2π( )} 2π( ) ( )F j t − jΩtx −Ω = x −Ω e dΩ = x Ω e dΩ2π, (6.53)-1 1∞−∞Poredeći (6.52) i (6.53) dobijamo:−Ω→Ω{ π ( −Ω )} = ()F -1 2 x X t . (6.54)∞−∞Primjer 6.3:Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa x () t δ () tkonstante x() t = 1 .= iRješenje:Polazeći od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristećisvojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformacijuDirakovog impulsa:∞ ∞ ∞− jΩt − jΩ0{ δ()} δ() δ() δ()F t = t e dt = t e dt = t dt = 1. (6.55)−∞ −∞ −∞Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan.Furijeovu transformaciju konstante x() t = 1 pronaći ćemo koristeći osobinusimetrije Furijeove transformacije:155
Change language