Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Glava 6FURIJEOVA TRANSFORMACIJAPo teoriji Furijeovih redova, svaki periodičan signal možemo predstavitizbirom beskonačno mnogo ortogonalnih funkcija. Budući da predstava signalapreko Furijeovog reda omogućava potpuno drugačiji uvid u karakteristikesignala u odnosu na vremenski domen, prirodno se postavlja pitanje da li jemoguće ideju razlaganja signala na njegove prostoperiodične komponenteproširiti i na neperiodične signale. Posmatrajući neperiodičan signal kaoperiodičan signal sa beskonačno velikim periodom, Furijeova transformacijaproširuje ovakav koncept razlaganja signala i na neperiodične signale.Prilikom sinteze periodičnog signala na osnovu koeficijenata Furijeovogreda u zbiru učestvuje beskonačno mnogo prostoperiodičnih funkcija, ali jeneophodno naglasiti da se njihove učestanosti međusobno razlikuju za konačaniznos i da je razlika susjednih učestanosti jednaka osnovnoj učestanosti signala.Prema tome, spektar periodičnih signala se računa za diskretne vrijednostiučestanosti. Proširujući ovaj koncept na neperiodične signale uvođenjembeskonačno velikog perioda, osnovna učestanost signala postaje infinitezimala,a samim tim se i razlike između susjednih učestanosti beskonačno smanjuju, tespektar postaje kontinualna funkcija učestanosti.

GLAVA 66.1 Prelaz sa Furijeovog reda na FurijeovutransformacijuPosmatrajmo neperiodičan signal dat na Slici 6.1(a). Formirajmo periodičnoproširenje dijela ovog signala sa intervala t 1< t < t 2, sa periodom T0 = t2 − t1, kaona Slici 6.1(b), tako da vrijedi:x () t ≡ x() t , t1 < t < t , (6.1)21xt ( 1) = xt ( 1+ ) −xt( 1−)2 , (6.2)x() t = x( t + nT0 ),n∈ . (6.3)Furijeov red tako dobijenog periodičnog signala je dat sa:∞jkΩ20tπx () t = Cke , Ω0= , k∈ , (6.4)k =−∞T0gdje su koeficijenti Furijeovog reda:1− jkΩ0tCk= x() t e dt,k∈T . (6.5)0 T0Ako formiramo novo periodično proširenje sa periodom T 0′ > T 0, T′ 0= t′ 2− t′1,dobijamo Furijeov red u obliku:sa koeficijentima:∞jkΩ′20tπx ′() t = C′ ke, Ω ′0=(6.6)T ′k =−∞0 T0′01− jkΩ′0tC′ k= x′() t e dt,k∈T′ . (6.7)140

Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Slika 6.1 (a)Kontinualan neperiodičan signal; (b) i (c) njegngovaperiodičnaa proširenja.141

GLAVAA 6Slika6.2Promjena koeficijenataFurijeovogreda pri povećanjuperiodaperiodičnogproširenjasignala.U graničnomslučajukadat 1→ −∞, t2→∞→∞ i T0→∞→∞ ovakoformiranoperiodičnoo proširenjesignalapostajeneperiodičan signal,Ω0→ dΩi kΩΩ0postajekontinualnaa varijablaa Ω , te je:Ω0lim C k= limT0→∞ 2πT0→∞→T 0( )x t) e − jkΩ0tdΩt dt =2π −∞U ovomgraničnomslučajukoeficijentii Furiijeovogreda postajufunkcijakontinualne varijjable Ω i njihovevrijednostipostaju nfinitezimale. Na Slici 6.26je ilustrovanoštase dešava sa koeeficijentimaFurijeovogredapriprommjeniosnovnogperiodasignala.Amplitudni spektar postajegušći,a vrijednostimodulakoeficijenata Furijeovog redasesmanjuju.∞()x te − jΩt ddt .(6.8)142

Furijeova transformacijaStoga umjesto koeficijenata Furijeovog reda C kima smisla posmatratiproizvod Ck⋅ T0. Taj proizvod je u graničnom slučaju jednak:T0→∞0()− jΩtlim C ⋅ T = x t e dt, (6.9)k∞−∞što vodi definiciji Furijeove transformacije (Fourier Transform – FT) kontinualnihsignala, koju primjenjujemo u analizi neperiodičnih signala:∞X Ω = x t e dt. (6.10)− jΩt( ) ( )−∞Na osnovu (6.9) i (6.10) veza između Furijeove transformacije i koeficijenataFurijeovog reda je data sa:ili, na osnovu (6.8) i (6.10), sa:( )X Ω = lim C ⋅ T , (6.11)lim CT0→∞kT0→∞k0dΩ= X ( Ω ). (6.12)2πPeriodičan signal sa beskonačno velikim periodom ( T 0→∞) se može shvatitikao neperiodičan signal, pa vrijedi:∞∞∞jkΩ t dΩjΩt 1jΩtT0→∞ T0→∞ k =−∞ 2π2π−∞ −∞0() lim () lim k ( ) ( )x t = x t = C e = X Ω e = X Ω e dΩ. (6.13)Dobijeni izraz:∞1jΩtx() t = X( ) e d2π Ω Ω(6.14)−∞omogućava sintezu signala na osnovu poznate Furijeove transformacije inaziva se inverzna Furijeova transformacija.Neophodno je naglasiti da, za razliku od izraza za sintezu periodičnihsignala, gdje se sumiraju elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije čijesu frekvencije umnožak osnovne frekvencije periodičnog signala, u izrazu zasintezu neperiodičnih signala učestanosti elementarnih kompleksniheksponencijalnih funkcija koje grade signal pripadaju kontinuumu realnihbrojeva, te kažemo da je spektar neperiodičnih signala kontinualan.143

GLAVA 6Dakle, Furijeov transformacioni par je dat sa:∞X Ω = x t e dt, (6.15)− jΩt( ) ( )−∞∞1jΩtx() t = X( ) e d2π Ω Ω. (6.16)−∞Često koristimo sljedeći način označavanja za direktnu:i inverznu Furijeovu transformaciju:X{ }( ) xt ( )Ω =F (6.17)−() = X( Ω)xtF , (6.18)1 { }dok Furijeov transformacioni par označavamo sa:x() t ↔ X ( Ω ). (6.19)Vrlo često domen definisanosti signala (vremenski domen) nazivamooriginalni, a domen definisanosti Furijeove transformacije frekvencijski ilitransformacioni domen.Za egzistenciju Furijeove transformacije dovoljno je da signal:1. bude apsolutno integrabilan:∞ ∞ ∞− jΩt − jΩt xte () dt≤ xte () dt= xt () dt

Furijeovatransformacija(a)(b)Slikka 6.3Primjer(a)amplitudnog i (b) faznogspektra neperiodičnogsignala.Diraakovafunkcija,sinusni i drugiperiodičnisignali, ali za kojee seipakmožeodrediti Furijeova transformacija,, kao što ćemoto kasnije vidjeti.Fiziččki gleddano,ovakodeffinisanaFurijeovatransformacijadajefrekvencijskupredstavukontinualnog neperiodičnogsignala. Ona u članovima12 πX ( Ω) dΩΩ sadrži infoormacijuo amplitudama i fazamabeskonačnoo mnogojelementarnihfunkcijaoblikae Ωtna koje se razlažekontinualni signalx ( t ) .Moddul Furijeovetransformacijee X ( Ω) određujeamplitudeelementarnihfunkcijapa se nazivaamplitudni spekktarsignala, a argumentθ( Ω ) =arg X ( Ω ) jefaznispektar signaala jer utičena faznepomakeelementarnih funkcija.NaSlici 6.3ilustrovanje načingrafičkogprikazaspektra neperiodičnih signala.Furiijeovatransformacijasignalaa nijejedan-jedanpreslikavanje.Naime,Furijeovetransformacijedvasignala kojizadovoljavajuDirihleove uslove, arazlikuju se samo u konačnombrojuizolovanihsingulariteta (prekidnihtačaka)145

GLAVAA 6sujednake, jerna vrijednostintegralaavrijednostiu izolovanimtačkama. Međutim, prilikomrekonstrukcijesignalainverznomFurijeovomtransformacijomu tačkamadiskontinuitetat0 sedobija:jerzbogkontinualnosti kompleksne eksponencijalne funkcije ex) + x(( t 0−+t0 +∞12 x t1j) =2πX ( Ω)e−∞∞1= 2 2 π X (Ω)e−∞∞( 0−)+ x t + ,− Ωt0−− jΩt0U praktičnimaplikacijamasmatramoda je Furijeovtransformacionipar pjedinstvenosingularitete.određen,jerfizičkiostvarljiviisignalinemajuizolovane( 0∞ x( ( )−∞∞)t eje − Ωtdt1dΩ +2π −X ( Ω)e−∞dΩ = 2x( t 0 ).∞t ne utičekonačanbrojje − Ωt 0 +j te Ωa 0dΩ=(6.20)vrijedi da je:(6.21)Primjer6.1:Odrediti koeficijenteFurijeovogredazaa povorkupravougaonihimpulsadatunaSlici6.4. Posmatrati šta se dešava prillikompromjene perioda datog1signalacrtajući koeficijenteFurijeovogredaza T 0=2 , T0= =1 i T0= 2 , akoje1T =20 .Slika6.4Periiodičansignal u obliku povorkepravougaonih imppulsa.146

Furijeova transformacijaRješenje:U Primjeru 5.3 smo odredili koeficijente Furijeovog reda datog signala:2ATTCk= sinck2 π , k ≠ 0(6.22)T T0 0C0= 2A T . (6.23)TnπPoložaj nula u spektru signalaa kΩ 0= , n∈ Z se ne mijenjaTpovećavanjem perioda signala T0.2πRazmak koeficijenata Furijeovog reda je Ω0= . Sa porastom perioda T 0T0taj razmak se smanjuje, što je ilustrovano na Slici 6.5. U graničnom slučaju,kada T0→∞, razmak frekvencijskih komponenti postaje beskonačno mali, štoznači da frekvencijske komponente postaju kontinualna funkcija učestanosti.Pri tome se vrijednosti koeficijenata Furijeovog reda smanjuju, i unavedenom graničnom slučaju postaju infinitezimale. Međutim, proizvodCk⋅ T0i Furijeova transformacija neperiodičnog signala koji se dobijeX Ω = lim C ⋅ T imaju konačnepovećavanjem perioda do beskonačnosti ( )0T0→∞vrijednosti. Najlakše je to uočiti posmatrajući nulti koeficijent Furijeovog redaC0= 2A T koji teži nuli pri beskonačnom povećanju perioda, dok je vrijednostT0Furijeove transformacije za nultu učestanost:2ATX 0 = lim C ⋅ T = lim ⋅ T = 2AT, (6.24)( )0 0 0T0→∞T0→∞T0konstantna pri povećanju perioda T0.k0147

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.5 Uticajpromjene periodasignalana izgledamplitudnog speektra:1 1(a)T = , T 0=202 ; 1 1(b) T = , T 0=1 i (c) T = , T20200= 2 .148

FurijeovatransformacijaPrimmjer6.2:OdrreditiFurijeovutransformacijusignalaamplitudni spektarsignala.datog naSlici6. 6.NacrtatiSlika6.6Neperiodičansignal u obliku pravougaonogimpulsa.Rješeenje:Datisignal jegraničnslučajsignalaa sa Slike6.4, kadaT 0→ ∞ . Prematome,njegovspektarje graničnislučajj spektrasaSlike6. 5, pri čemuu kΩ 0postajekontinualna variijablaΩ . Spektarsignala prikazan je na Slicii 6.7.Slika6.7Furijeovatransformacijapravougaonogimpulsa.149

GLAVA 6Računajući na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformacijudobijamo:( ) F ( ){ } ()T− jΩt − jΩtX Ω = xt = xte dt= Ae dt=jΩT − jΩTA − jΩt2A e − e=− e = ⋅ =jΩjΩ2sin ΩT= 2AT = 2AT sinc ΩT.ΩTNule spektra signala se nalaze na učestanostima:T−T∞−∞−T(6.25)kπΩ= , k∈ Z . (6.26)T6.2 Furijeova transformacija kompleksnih signalaU praksi se najčešće radi sa realnim signalima, iako se ponekad ukazuje potrebaza formiranjem kompleksnih signala u vremenu, njihovom analizom iobradom. Prilikom definisanja Furijeove transformacije nismo postavljaliuslove da signal u vremenu bude realan. Stoga isti definicioni izraz za Furijeovutransformaciju možemo primijeniti i na kompleksne signale. Dakle, Furijeovatransformacija kompleksnog signala:je data sa:() = () + ()(6.27)x t x t jx tri( Ω ) = ( Ω ) + ( Ω ) = ( ) + ( ) cos( Ω ) − sin ( Ω )X X jX x t jx t t j t dt. (6.28)r i r i−∞Relani i imaginarni dijelovi Furijeove transformacije su:∞150

Furijeova transformacija∞( Ω ) = ( ) cos( Ω ) + ( ) sin ( Ω )X x t t x t t dt, (6.29)r r i−∞∞( Ω ) = − () sin( Ω ) + () cos( Ω )X x t t x t t dt. (6.30)i r i−∞Ako je realni dio signala u vremenu parna, a imaginarni neparna funkcija,imaginarni dio Furijeove transformacije će biti jednak nuli, jer je proizvodparne i neparne funkcije neparna funkcija, a integral neparne funkcije od −∞do ∞ je jednak nuli. Slično, ako je realni dio signala u vremenu neparna, aimaginarni parna funkcija, realni dio Furijeove transformacije će biti jednaknuli.Iz relacija (6.28-30) lako se izvode specijalni oblici Furijeovog integrala kojiuspostavljaju vezu između realnih i imaginarnih dijelova Furijeovetransformacije sa parnim i neparnim dijelovima signala u vremenu i obrnuto.Mi ćemo se zadržati na tim vezama razmatrajući samo realne vremenske signalenešto kasnije.Kada radimo analizu kompleksnih signala u vremenskom domenu, onda jepotrebno razmotriti i spektar konjugovano kompleksnih signala. KonjugovanaFurijeova transformacija je data sa:*X ( )∞* jΩtx ( t)e dt−∞Ω = . (6.31)Ako potražimo reflektovanu konjugovanu Furijeovu transformaciju:*X ( )∞* − jΩtx ( t)e dt−∞−Ω = , (6.32)vidimo da ona zapravo predstavlja Furijeovu transformaciju konjugovanokompleksnog signala:pa zaključujemo da je:∞* * −x t x t e j Ω t dt{ ()} ()F = , (6.33)−∞() ↔ ( −Ω ). (6.34)x t X* *151

GLAVA 66.3 Furijeova transformacija realnih signalaU ovom poglavlju ćemo razmotriti osnovne osobine spektara realnih signala.Napišimo definicioni izraz za Furijeovu transformaciju pod pretpostavkom daje signal u vremenu realan:Tada vrijedi:∞X Ω = x t e dt. (6.35)− jΩt( ) ( )−∞*X ( )∞jΩtx( t)e dt−∞Ω = , (6.36)∞X −Ω = x t e dt. (6.37)jΩt( ) ( )Iz jednakosti (6.36) i (6.37) jasno slijedi da je:−∞Budući da je:X*X*( −Ω ) = X ( Ω ). (6.38)( ) X( )Ω = Ω , (6.39)*arg X ( Ω ) = −argX ( Ω ), (6.40)zaključujemo da je amplitudni spektar realnog signala parna, a fazni spektarneparna funkcija učestanosti:X( ) X( )−Ω = Ω , (6.41)arg X ( −Ω ) = −argX ( Ω ). (6.42)Sada ćemo lako izvesti zaključke za realni i imaginarni dio Furijeovetransformacije realnih signala. Označimo fazni spektar signala saϕ ( Ω ) = arg X ( Ω ). Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra,realni dio Furijeove transformacije realnih signala:152

Furijeova transformacijaRe{ X( )} X( ) cosϕ( )Ω = Ω Ω (6.43)je parna funkcija, dok je imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala:Im{ X( )} X( ) sinϕ( )Ω = Ω Ω (6.44)neparna funkcija učestanosti.Pokazaćemo sada da je Furijeova transformacija parnih realnih signalarealna, dok je Furijeova transformacija neparnih realnih signala čistoimaginarna.Svaki signal može da se razloži na njegov parni { xt ()}i neparni { xt ()}dio (vidjeti 2.3):() (){ } { ()}xt = xt + xt . (6.45)Posmatrajmo sada Furijeove transformacije parnog i neparnog dijela signala:∞( ) ( ){ } { ()} cos( ) sin ( ) r( ) i( )X Ω = x t + x t Ωt − j Ω t dt = X Ω + jX Ω .(6.46)−∞Furijeova transformacija parnog dijela signala:je realna:∞−∞∞{ ()} cos( ) ( ){ x()t } ( )= cos Ωt dt,−∞∞{ } sin ( )x t Ωt dt − j x t Ω t dt =−∞(6.47)∞( Ω ) = ( )0{ } ( Ω )Xr2 x t cos t dt , (6.48){ } ( )jer je integral neparne funkcije xt () sin Ωtjednak nuli. Za Furijeovutransformacija neparnog dijela signala na sličan način se dobije da je čistoimaginarna:153

GLAVA 6∞−∞{ ()} cos( ) ( )∞{ ()} ( )=−j x t sin Ωt dt,−∞∞{ } sin ( )x t Ωt dt − j x t Ω t dt =−∞(6.49)∞( Ω ) =− ( )0{ } ( Ω )Xi2 x t sin t dt . (6.50)6.4 Osobine Furijeove transformacijeAnaliza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje ukolikopoznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima koji slijededokazaćemo i dati primjere korišćenja osnovnih osobina Furijeovetransformacije. Zbog široke primjenljivosti u rješavanju konkretnih problema,ove osobine se često nazivaju pravila Furijeove transformacije.6.4.1 SimetrijaUkoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika x () t (npr. pravougaoniimpuls) ima spektar funkcionalnog oblika X ( Ω ) (u posmatranom primjeru toje sinc funkcija), onda spektar signala koji u vremenu ima funkcionalni oblikX () t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik reflektovanogoriginalnog signala (pravougaonog impulsa u posmatranom primjeru)pomnoženog sa 2π . Dakle, ako postoji transformacioni par x() t ↔ X ( Ω ),tada je:X () t ↔ 2πx( −Ω ). (6.51)154

Furijeova transformacijaDokaz:∞X x t e dt− jΩtKako je Furijeova transformacija data sa ( Ω ) = ( )jednostavnom zamjenom varijabli t i Ω dobijamo:∞− jt() ( )−∞, ondaΩX t = x Ω e dΩ. (6.52)Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju od 2π x ( −Ω ):−∞Ω{ 2π( )} 2π( ) ( )F j t − jΩtx −Ω = x −Ω e dΩ = x Ω e dΩ2π, (6.53)-1 1∞−∞Poredeći (6.52) i (6.53) dobijamo:−Ω→Ω{ π ( −Ω )} = ()F -1 2 x X t . (6.54)∞−∞Primjer 6.3:Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa x () t δ () tkonstante x() t = 1 .= iRješenje:Polazeći od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristećisvojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformacijuDirakovog impulsa:∞ ∞ ∞− jΩt − jΩ0{ δ()} δ() δ() δ()F t = t e dt = t e dt = t dt = 1. (6.55)−∞ −∞ −∞Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan.Furijeovu transformaciju konstante x() t = 1 pronaći ćemo koristeći osobinusimetrije Furijeove transformacije:155

GLAVAA 6(a)(b)(c)(d)Slika 6.8 (a) Dirakovafunkcijai (b) njenaFurijeovatransformacija;(c) konstantaa i (d) njenaFurijeova transformacija.156

Furijeova transformacijaδ () t ↔ 1 x() t = 1↔ 2πδ ( −Ω ) = 2πδ( Ω ). (6.56)Na Slici 6.8 prikazani su spektri Dirakovog impulsa i konstante.Primjećujemo da se u spektru konstante pojavljuje beskonačno velikavrijednost u vidu Dirakove funkcije. Bez uvođenja Dirakove funkcije ne bismobili u mogućnosti da odredimo spektar konstante, jer konstanta nije apsolutnointegrabilan signal i direktno računanje njene Furijeove transformacije prekodefinicionog izraza nije moguće. Takođe zaključujemo da je spektar konstanteparan i realan.6.4.2 LinearnostAko postoje transformacioni parovi x1() t ↔ X1( Ω ) i x2() t ↔ X2( Ω ), tada jeFurijeova transformacija linearne kombinacije signala jednaka na isti načinformiranoj linearnoj kombinaciji njihovih Furijeovih transformacija:ax () t + bx () t ↔ aX ( Ω ) + bX ( Ω)∀a b ∈ . (6.57)1 2 1 2, ,Dokaz:Budući da je integral linearni operator, direktno slijedi:F∞− jΩt+ = + ={ 1() 2()} 1() 2()ax t bx t ax t bx t e−∞∞∞− jΩt − jΩt() () ( ) ( )= a x t e + b x t e = aX Ω + bX Ω−∞1 2 1 2.−∞(6.58 )157

GLAVA 66.4.3 Pomak u vremenskom domenuAko je x() t ↔ X ( Ω ), tada pomjeranje signala u vremenu za t 0vremenskihjedinica ima za posljedicu množenje spektra kompleksnom eksponencijalnomj t0funkcijom e − Ω :− jΩt0x( t − t ) ↔ e X ( Ω ). (6.59)0Dokaz:Na osnovu definicionog izraza, Furijeovu transformaciju signalapomjerenog u vremenu dobijamo u obliku:F∞∞j t − jΩτ− jΩt0xt t xt t e dt x e e d− Ω{ ( 0)} ( 0) ( τ)− = − = τ =−∞t− t0=∞− jΩt0 j t0e x t e dt e X−∞−() j Ωt− Ω( )τ−∞= = Ω.(6.60 )0Budući da je j te − Ω = 1, zaključujemo da se amplitudni spektar signala nemijenja prilikom pomjeranja signala u vremenu:− Ω( ) ( ) ( )− jΩt0 j t0e X e X XΩ = Ω = Ω . (6.61)Primjer 6.4:Odrediti i nacrtati spektar pomjerenog Dirakovog impulsa δ ( t − t 0 ).Rješenje:Znajući da je δ () t ↔ 1 , koristeći pravilo pomaka u vremenskom domenudirektno dobijamo:− jΩt0δ ( t −t0 ) ↔ 1⋅ e . (6.62)Amplitudni i fazni spektar pomjerenog Dirakovog impulsa dati su na Slici 6.9.158

Furijeovatransformacija(a)(b)(c)Slika6.9(a) Pomjereni Dirrakov impuls, (b) njegovamplitudnii(c) fazni spektar.Primmjećujemoda jezbogpomaka u vremenskomdomenudošloo dopromjenefaznogspektra,dokjeamplitudnii spektarostaoisti.Primmjer6.5:OdrreditiFurijeovutransformacijunacrtatinjegov amplitudni spektar.signalax ( t )= δ (t − 5TT + δ (t − 7TT ) ,)te159

GLAVAA 6Rješenje:Koristećiosobinulinearnosti,a zatimosoobinupomakau vremenskomdomenu, dobijamo:)T )}{− j5TΩ j7F {δδ(t− 5TT + δ (t − 7T =F δ (t −5T+ Fδ( t− 7T=e + e − TΩjT=2e − j 6TΩeΩ + e − jTΩ(6.63)−=2 j6TΩΩe cosTΩ.2Budućidaseradio realnomsignalunjegovamplitudni spektarjeparan.Zadanisignali njeggov amplitudnispektar prikazanisu na Slici 6.10.)}{)}(a)(b)Slika6.10(a) Dvapomjerenaa Dirakkova impulsa i(b) njihovamplitudnispektar.160

Furijeova transformacija6.4.4 Pomak u frekvencijskom domenuAko je x() t ↔ X ( Ω ), množenje signala u vremenu sa kompleksnom0eksponencijalnom funkcijom te Ω ima za posljedicu pomjeranje spektra pofrekvencijskoj osi za Ω0:jΩ0tx() t ⋅e ↔ X ( Ω − Ω ). (6.64)Dokaz:Potražimo Furijeovu transformaciju od ()j 0x t0t⋅ e Ω :∞∞0 0 − j( Ω−Ω0) tjΩ t jΩ t − jΩt{ () ⋅ } = () = ( τ)F x t e x t e e dt x e dτ. (6.65)−∞Isti rezultat ćemo dobiti ako u definicionom izrazu za Furijeovu transformacijuzamijenimo Ω sa Ω−Ω0, što znači da je:−∞j 0t{ xt () ⋅ e Ω} = X( Ω−Ω0)F . (6.66)Primjer 6.6:Odrediti i nacrtati Furijeovu transformaciju signala x () t cos0= Ω t .Rješenje:Od ranije znamo da je 1↔ 2πδ ( Ω ). Koristeći osobinu linearnosti i osobinupomaka u frekvencijskom domenu dobijamo:1 j 0t 1j 0t{ cos0t} { e Ω− ΩF Ω = F } + F { e } = πδ ( Ω−Ω0) + πδ ( Ω+Ω0). (6.67)2 2Kosinusoida i njena Furijeova transformacija prikazane su na Slici 6.11.161

GLAVAA 6(a)((b)(Slika 6.11 (a) Kosinusoida i (b)njenaa Furijeova trannsformacija.6. .4.5SkaliranjeProširivanje ili sužavanje(jednomriječju skaliranje) signalau jednomdomenudovodido sužavanja odnosnoproširivanjaa signalau drugomdomenu.Akojex ( t ) ↔ X( Ω ) , onda vrijedi:1 Ω x(at) ↔Xaa , a∈ .(6.68)162

Furijeova transformacijaDokaz:Na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju imamo:Za a < 0 :∞1 a ⋅∞− jΩpj t a− Ω{ ( )} = ( ) = ( )F x at x at e dt x p e dpa. (6.69)Fdok je za a > 0 :−∞−∞at→p−a⋅∞ΩΩ1 j t 1− j tax at = x t e dt =− x t e dt =aa∞∞, (6.70)∞Ω1 − j t 1aΩ= xte () dt= Xaaa −a{ ( )} () ()−∞∞−∞Ω1 − j t 1aΩF { xat ( )} = xte () dt Xa= . (6.71)a a −∞Ilustracija osobine skaliranja data je na Slici 6.12.163

GLAVAA 6Slika 6.12 (a) Skaliranjesa faktorommannjimod jedan, vremenski domen(nastavakna sljedećojstranici);164

FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (nastavak): (b) skaliranjesa faktorommanjimodjedan,frekvencijskidomen (nas(stavaknasljedećoj stranici));165

GLAVAA 6Slika 6.12 (nastavak):(c)skaliranje sa faktoromvećim od jedan, vremenskidomen (nastavaknasljedećoj stranici);166

FurijeovatransformacijaSlika 6.12 (nastavak): (d) skaliranje sa faktorom većim od jedan,frekvencijskidomen.167

GLAVA 66.4.6 Konvolucija u vremenskom domenuPodsjetimo se da je u obradi signala konvolucija:() ∗ () = ( ) ( − )x t x t x τ x t τ dτ(6.72 )1 2 1 2−∞∞jedna od osnovnih operacija jer omogućava pronalaženje odziva na proizvoljnupobudu sistema sa poznatim impulsnim odzivom.Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara množenje ufrekvencijskom domenu. Ako je x1() t ↔ X1( Ω ) i x2() t ↔ X2( Ω ), tada vrijedida je:x () t ∗ x () t ↔ X ( Ω) ⋅ X ( Ω ). (6.73)1 2 1 2Dokaz:Potražimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva signala:∞ ∞ ∞F − jΩt − jΩt{ x1() t ∗ x2()t } = x1() t ∗ x2() t e dt = x1( τ) x2( t−τ)dτe dt .(6.74)−∞ −∞ −∞Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:∞∞F − jΩt{ x1() t ∗ x2()t } = x1( τ) x2( t−τ)e dtdτ(6.75 )−∞ −∞i smjene varijabli θ = t − τ :∞∞F − jΩθ− jΩτ{ x1() t ∗ x2()t } = x1( τ) x2( θ)e dθe dτ, (6.76)−∞ −∞uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od τ , dobijamo:∞∞ −∞ −∞−{ () ()} ( ) j Ωjx1 t x2 t x2 e θ− Ωτ∗ = θ dθ⋅ x1( τ) e dτ= X2( Ω) ⋅X1( Ω)F . (6.77)168

FurijeovatransformacijaPrimmjer6.7:Polaazeći odpoznatogizrazaa zaFurijeovutransformacijupravougaonogimpulsai koristeći osoobinukonvolucije, odreditiFurijeovutransformacijutrougaonog impulsa sa Slike6. 13, , amplitudeA i trajanjaod−T do d T .Slika 6.13Trougaoni impuls.Rješeenje:PosttupakodređivanjaFurijeove transformacijetrougaonogimpulsajeprikazanjena Slici6. .14.. Prvvo seodrediFurijeovaatransformacijupravougaonog impulsa amplitude A i trajanjaod−TdoT kojakje jednaka2AT2T sincΩTT . Konvolucijaovakvadvapravougaona impulsax 1( t ) i x 2( t )2rezultuje trougaonimimpulsomx 3 ( t ) amplitude2AA T i trajanja od −2Tdo2T 2 , čija jeFuriijeovatransformacija, dobijena koristećiosobinukonvolucijeu2 vremenskomdomenu, jednaka4A T2 2sincΩTT . Kakobismoo od o trougaonogimpulsakoji je nastao konvolucijomdobilii trougaoniimpulsčijuu Furijeovutransformaciju tražimo, neophodnoga je umanjiti po amplitudi 2AT2T putadasedobijesignalx 4 ( t ) , a zatimskalirati sa faktorom2, te se primjenomosobinalinearnostii skaliranjakonačnoo dobiije traženaFurijeovatransformacijau2 ΩTT oblikuATsinc.2169

GLAVAA 6Slika 6.14 Odreeđivanje Furijeovetransformacije trougaonog impulsa(vremenski domen).170

FurijeovatransformacijaSlika 6.14 OdreeđivanjeFurijeovee transformacije trougaonog impulsa(frekvencijski domen)).171

GLAVA 66.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenuOsobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva imodulacioni teorem, kaže da konvoluciji Furijeovih transformacija signala ufrekvencijskom domenu odgovara množenje signala u vremenskom domenu.x t X x t ↔XΩ , tada je:Ako je () ↔ ( Ω)i () ( )1 12 21x1() t ⋅x2() t ↔ X1( Ω) ∗X2( Ω ). (6.78)2πDokaz:Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije Furijeovihtransformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2π :F−1 1 1 1 jΩt X ( Ω) ∗X ( Ω ) = X ( Ω) ∗X ( Ω)e dΩ=2π 2π 2π 1 2 1 2−∞∞2 ∞ ∞ 1 jΩt= X1( Ψ) X2( Ω−Ψ)dΨe dΩ.2π −∞ −∞Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:(6.79 )2 ∞∞F −1 1 1 − jΩt X1( Ω) ∗X2( Ω ) = X1( Ψ) X2( Ω−Ψ)e dΩdΨ2π2π , (6.80 )−∞−∞ i smjene varijabli Θ=Ω−Ψ:2 ∞∞F −1 1 1 jΘt jΨt X1( Ω) ∗X2( Ω ) = X1( Ψ) X2( Θ)e dΘe dΨ2π2π , (6.81)−∞ −∞uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od Ψ , dobijamosljedeće:172

Furijeova transformacijaF ∞∞−1 1 1 1jΘt jΨt X1( Ω) ∗X2( Ω ) = X2( Θ) e dΘ X1( Ψ)e dΨ2π 2π 2π−∞ −∞F1 1 1( ) 2( ) 1() 2()2 X Ω ∗πX Ω = x t ⋅x t . (6.83)Primjer 6.8:2πOdrediti Furijeovu transformaciju kosinusoide učestanosti Ω0= ,T0amplitudno modulisane sa trougaonim impulsom jedinične amplitude i trajanjaTod − T do T . Vrijedi da je T0= .4Rješenje:Označimo sa x1() t trougaoni impuls prikazan na Slici 6.15(a). Amplitudnommodulacijom kosinusoide sa trougaonim impulsom dobijamo:() ()x t = x t ⋅cosΩ t. (6.84)1 0Na osnovu pravila konvolucije u frekvencijskom domenu dobijamo:1X ( Ω ) = X1( Ω) ∗F{ cosΩ 0t}=2π1= X1( Ω) ∗πδ( 0) πδ ( 0)2π Ω−Ω + Ω+Ω =1 1= X1( Ω−Ω0) + X1( Ω+Ω0),2 2(6.85)2 ΩTgdje je xt () ↔X( Ω ), a x1() t ↔ X1( Ω ) = Tsinc. Postupak je ilustrovan na2Slici 6.15, a konačan analitički izraz dat sa:X( )( Ω−Ω ) T T ( Ω+Ω )T2 2 2 22 0 20Ω = sinc+ sinc . (6.86)T173

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.15 (a) Trouugaoni impuls;(b)) kosinusoida i (c) amplitudnomodulisana kossinusoida.174

Furijeovatransformacija(d)(e)(f)Slika 6.15 (d)Furijeova transformacija trougaonogimpulsa;;(e) Furijeova transformacija kosinusoidei (f) Furijeovatransformacijaa amplitudnomoddulisane kosinusoide.175

GLAVA 66.4.8 Deriviranje u vremenskom domenuAko postoji transformacioni par xt () ↔X( )dx()tj X ( )Ω , tada je:↔ Ω Ω . (6.87)dtAko u vremenskom domenu deriviramo signal, to će u frekvencijskomdomenu, zbog množenja sa jΩ , dovesti do naglašavanja visokofrekvencijskihkomponenti signala.Dokaz:Izrazimo signal x()t preko inverzne Furijeove transformacije, pa potražimonjegov izvod:∞∞dx d 1 1= Ω Ω = Ω Ω Ωdt dt 2π 2π−∞ −∞jΩXΩ , te je:jΩt jΩt X( ) e d j X( ) e d . (6.88)Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( )()dx t↔ jΩX( Ω ). (6.89)dtPonavljajući postupak n puta, dobijamo da je:()nd x tndtn( j ) X ( )↔ Ω Ω . (6.90)Primjer 6.9:Odrediti Furijeovu transformaciju jedinične odskočne funkcije.Rješenje:Između funkcije znaka:176

Furijeova transformacijai Hevisajdove funkcije:postoji sljedeća veza:− 1, t < 0sgn () t = 0, t = 01, t > 0 0, t < 01 uh() t = , t = 02 1, t > 0(6.91)(6.92)1 1sgn () t = uh() t − . (6.93)2 21Prvi izvod funkcije sgn () t jednak je prvom izvodu funkcije uh() t :2d 1 d 1duhsgn () t uh() t δ tdt2 = − = =dt2 dtZnajući da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantuvrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka iFurijeovu transformaciju izvoda funkcije uh() t :() t(). (6.94)d1 du sgn () th F = = 1dt 2 F . (6.95) dt Koristeći osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:1 jΩ F sgn () t = jΩ { u ()}1ht =2 F . (6.96)Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije uh() t ,trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa jΩ . Kako Ω poprima vrijednostiod −∞ do ∞ , spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa jΩ važeći je za sveučestanosti osim za Ω= 0.177

GLAVA 6Vrijednost spektra za Ω= 0 nosi informaciju o jednosmjernoj komponentisadržanoj u signalu. Za funkciju znaka vrijednost Furijeove transformacije zaΩ= 0 je jednaka nuli:− j0t{ ()} () F sgn t = sgn t e dt =− 1⋅ dt+ 1⋅ dt = 0 , (6.97)Ω= 0∞−∞što znači da u funkciji znaka nije sadržana jednosmjerna komponenta, dokfunkcija uh() t ima jednosmjernu komponentu jer njena Furijeovatransformacija u nuli ima beskonačnu vrijednost:0−∞∞ 0∞ ∞+− j0t1F { uh()t } = uh()t e dt = ⋅ dt+ 1⋅ dt = 1⋅dt→∞Ω= 0 2 . (6.98)Koristeći vezu:−∞∞0− 0+ 0+dobijamo Furijeovu transformaciju funkcije uh() t :1 112 2jΩVrijednost jediničnog odskočnog signala:1 1uh() t = sgn () t + , (6.99)2 2F { uh() t } = F sgn () t + = + πδ ( Ω). (6.100)0, t < 0u()t = , (6.101)1, t > 0u nuli nije definisana. Ovaj signal može da se od funkcije uh() t razlikuje samou t = 0. Ta razlika ne utiče na vrijednost Furijeovog integrala, te je Furijeovatransformacija jediničnog odskočnog signala ut () jednaka Furijeovojtransformaciji Hevisajdove funkcije uh() t :1jΩ() ↔ + πδ ( Ω)u t0. (6.102)178

Furijeova transformacijaNapomenimo da se prilikom određivanja inverzne Furijeove transformacije1+ πδ Ω na osnovu (6.20) uvijek rekonstruiše Hevisajdova funkcijajΩiz ( )uh() t .6.4.9 Deriviranje u frekvencijskom domenuDeriviranju u frekvencijskom domenu odgovara množenje sa nezavisnomvarijablom t u vremenskom domenu. Ako postoji transformacioni parxt ↔XΩ , tada je:() ( )()tx t↔jdX ( Ω)Dokaz:Deriviranjem izraza za Furijeovu transformaciju po Ω :dΩ . (6.103)dobijamo:∞− Ω() ( ) xte dt= X Ω (6.104)d Ω−∞j t dte je:∞()j tdX ( Ω)− Ω− j tx t e dt = , (6.105)dΩ−∞()tx t↔jdX ( Ω)Deriviranjem n puta dobijamo transformacioni par:dΩ . (6.106)()nt x t↔nnd XjndΩ( Ω). (6.107)179

GLAVA 66.4.10 Integraljenje u vremenskom domenuIntegraljenju u vremenskom domenu odgovara dijeljenje u frekvencijskomdomenu sa nezavisnom varijablom Ω , zbog čega dolazi do naglašavanjaniskofrekvencijskih komponenti signala. Ukoliko originalni signal imajednosmjernu komponentu, u spektru integraljenog signala pojavljuje seπ X 0 .Dirakov impuls jačine udara ( )Ako postoji transformacioni par xt () ↔X( )tΩ , tada vrijedi da je:1 x( τ) dτ ↔ X( Ω ) + πX( 0) δ( Ω). (6.108)jΩ−∞Dokaz:1jΩKonvolucija proizvoljnog signala x()t i Hevisajdove funkcije ut () je data sa:Znamo da je Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije + πδ ( Ω)∞t() ∗ () = ( τ) ( − τ) τ = ( τ)τ . (6.109)x t u t x u t d x d−∞Furijeova transformacija prethodnog izraza, uz korišćenje osobinekonvolucije u vremenskom domenu, daje:−∞.Ft 1 x( τ) dτ = F { x() t ∗ u()t } = X( Ω ) ⋅ + πδ( Ω ) =j−∞ Ω X ( Ω)= + πX( 0 ) δ( Ω).jΩ(6.110)180

Furijeova transformacija6.4.11 Integraljenje u frekvencijskom domenuAko postoji transformacioni par xt () ↔X( )∞Ω , onda vrijedi da je:1x() t + πx( 0) δ() t ↔ X( Ψ)dΨjt . (6.111)Dokaz:Na osnovu pravila simetrije i poznatog transformacionog para:Ωdobijamo:1jΩ() ↔ + πδ ( Ω)u t(6.112 )1+ πδ () t ↔ 2πu( −Ω ). (6.113)jtInverzna Furijeova transformacija konvolucije proizvoljnog signala X ( Ω ) ireflektovane Hevisajdove funkcije u( −Ω ) u frekvencijskom domenu, jednakaje umnošku njihovih pojedinačnih inverznih Furijeovih transformacija i faktora2π :1 1 1xt{ X( ) u( )} 2 π − x() t () t x( 0) ( t)2πjtπδ F Ω ∗ −Ω = ⋅ + = + jtπ δ . (6.114) S druge strane, konvolucioni integral proizvoljnog signala X ( Ω ) ireflektovane Hevisajdove funkcije u( −Ω ) u frekvencijskom domenu, zbogantikauzalnosti reflektovane Hevisajdove funkcije, različit je od nule samo ugranicama od Ω do ∞ :∞X( Ω) ∗u( −Ω ) = X( Ψ)dΨ. (6.115)Ω()181

GLAVA 6Na osnovu dvije posljednje relacije zaključujemo da je:( )()xt∞−1 F X Ψ dΨ = + πx t . (6.116)Ωjt( 0) δ( )U Tabeli 6.1 je dat zbirni prikaz osobina Furijeove transformacije.6.5 Furijeova transformacija periodičnih signalaDo sada smo za predstavu periodičnih signala preko elementarnihkompleksnih eksponencijalnih (prostoperiodičnih) komponenti koristili razvojsignala u Furijeov red. Osnovna karakteristika spektra periodičnih signala kojaga razlikuje od spektra neperiodičnih signala je njegova diskretnost, odnosnokonačne razlike frekvencija spektralnih komponenti. Analizirajući osobineFurijeove transformacije primijetili smo da se u spektru konstante, sinusne ikosinusne funkcije pojavljuju Dirakovi impulsi. Sada ćemo razmatranje uopštitii pokazati da se Furijeova transformacija može koristiti i za spektralnu analizuperiodičnih signala. U tu svrhu prvo ćemo prikazati periodičan signal prekoFurijeovog reda, a zatim pronaći Furijeovu transformaciju tog signala.Kompleksni oblik Furijeovog reda je oblika:sa koeficijentima:∞jkΩ0txt () = Ce(6.117 )kk =−∞1 jk t0 T0− Ω0()Ck= x t e dtT . (6.118)182

Furijeova transformacijaTabela 6.1. Osobine Furijeove transformacije.Osobina x () t X ( Ω )Simetrija X () t 2πx ( −Ω )Linearnost ax () t + bx () t ∀a b ∈ aX ( Ω ) + bX ( Ω )Pomak u vremenskomdomenuPomak u frekvencijskomdomenu1 2, , .1 2− jΩt x ( t − t 0 )e 0X ( Ω )j 0t() ⋅ e ΩX ( Ω−Ω )x tSkaliranje x( at),Konvolucija uvremenskom domenuKonvolucija ufrekvencijskom domenuDeriviranje uvremenskom domenuDeriviranje ufrekvencijskom domenuIntegraljenje uvremenskom domenua∈ 1 XaΩa() ∗ ()X ( Ω) ⋅ X ( Ω )x t x t1 201 21() ⋅ ()1( ) 2( )2 X Ω ∗πX Ωx t x t1 2dx()tdt( )jΩXΩdXtx()( Ω)ttjdΩ x( τ ) dτX ( Ω ) + π X ( 0) δ ( Ω)−∞1jΩIntegraljenje ufrekvencijskom domenu1x t x tjt() + π ( 0) δ () X ( Ψ)∞Ωd Ψ183

GLAVA 6Furijeovom transformacijom signala x () t dobijamo:∞ ∞ ∞jkΩ0t jkΩ0tF { x() t} = F Cek = F { Cek } = Ck⋅2πδ( Ω−kΩ0).(6.119)k=−∞ k=−∞ k=−∞Furijeova transformacija periodičnog signala je niz Dirakovih impulsa naučestanostima kΩ0za koje se inače računa Furijeov red tog signala. Za ostaleučestanosti taj spektar je jednak nuli, te kažemo da ima diskretnu prirodu. SvakiDirakov impuls 2πδ ( Ω−kΩ 0 ) u poslednjem izrazu zapravo je Furijeova0transformacija jedne kompleksne prostoperiodične komponente jk te Ω , dobijenna osnovu osobine pomaka u frekvencijskom domenu.Dakle, pri traženju Furijeove transformacije periodičnog signala,neophodno je pronaći koeficijente Furijeovog reda tog signala. Tada je:∞{ x() t } = Ck⋅2πδ( Ω−kΩ0)F . (6.120)k =−∞Određivanje koeficijenata Furijeovog reda pri traženju Furijeovetransformacije periodičnih signala se može izbjeći. Naime, svaki periodičansignal x () t perioda T0možemo posmatrati kao rezultat konvolucijeneperiodičnog signala x()t koji je na osnovnom periodu jednak periodičnomsignalu:()xtsa povorkom Dirakovih impulsa: T0 T0xt (), t∈ − ,= 2 2 , (6.121) 0, inačeDakle,∞() t = δ ( t −kT0) δ. (6.122)k =−∞∞() = ()* δ () = ()* δ ( −0) = ( −0)x t x t t x t t kT x t kT . (6.123)k=−∞∞k=−∞184

Furijeova transformacijaKoristeći osobinu konvolucije u vremenskom domenu, Furijeovatransformacija periodičnog signala jednaka je proizvodu Furijeovetransformacije signala x()t i Furijeove transformacije povorke Dirakovihimpulsa δ () t :{ } ( ) { δ( )}{ ()} ()* δ()F x t = F x t t = X Ω ⋅F t . (6.124)Prvo ćemo odrediti koeficijente Furijeovog reda i pronaći Furijeovutransformaciju povorke Dirakovih impulsa:FT0 T02 2− jk 0t − jk 0t1 1 1Ck= δ () t e dt δ () t e dtT= =T, (6.125)T0 T0 0 T00−−2 2∞∞{2πδ () t } Ck2πδ ( k0) δ ( k0)= ⋅ Ω− Ω = Ω− Ω =Tk=−∞∞( k ) δ ( )=Ω δ Ω− Ω = Ω0 0k =−∞0.k=−∞(6.126)Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa prikazana je na Slici 6.16.Primjenjujući osobinu odabiranja Dirakove funkcije u frekvencijskom domenu:( ) δ( ) ( ) δ( )X Ω Ω−kΩ = X kΩ Ω−kΩ (6.127)0 0 0iz (6.133) i (6.135) dobijamo Furijeovu transformaciju periodičnog signala:∞∞{ x() t } = X ( Ω) ⋅Ω0δ ( Ω−kΩ 0) =Ω0X ( kΩ0) δ ( Ω−kΩ0)F . (6.128)k=−∞k=−∞185

GLAVAA 6(a)(b)Slika6.16(a)Signal u obliku povorke Dirakovihimpulsai (b) njegovaFuriijeovatransformacija.Primjer6.10:Odrediti Furijeovutransformacijupovorkee trougaonihimpulsadatihna Slici6. 17, pričemuje T =4T .e0Slika 6.17Povorkatrougaonihimpulsa.186

Furijeova transformacijaRješenje:Postupak određivanja Furijeove transformacije povorke trougaonihimpulsa prikazan je na Slici 6.18. Prvo izdvajamo jedan period periodičnogsignala x () t i formiramo signal x()t . Furijeova transformacija neperiodičnog2 ΩTsignala x()t je X ( Ω ) = ATsinc. Periodičan signal x () t u vremenskom2domenu možemo dobiti konvolucijom signala x()t i povorke Dirakovihimpulsa δ () t , čemu u domenu Furijeove transformacije odgovara množenje,tako da je:s( ) F ( ){ } F { () δ ()}X Ω = x t = x t ∗ t =ΩT∞2ππ δ( k )2= AT sinc ⋅ δ Ω− Ω0=2 T0k =−∞∞πA2 k= sinc ( Ω−kΩ0).2 k =−∞ 4(6.129)187

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.18 Određivanje Furrijeovetransformacijepovorketrougaonihimpulsa(vremenski domen)): (a) jedan trougaoniimpuls;(b) povorkaDirakkovihimpulsai (c) povorka trougaonihimpulsa.188

Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)Slika 6.18 OdreeđivanjeFurijeovee transformacije povorke trougaonih impulsa(frekvencijski domen)): (d) Furijeovatransformacijaa jednogtrougaonog impulsa;(e) Furijeovatransformacija povorkeDiraakovihimpulsaa i (f) Furiijeovatransformacijapovorketrougaonihimpulsa.189

GLAVA 66.6 Parsevalova teorema za kontinualneneperiodične signalePosmatrajmo neperiodične signale koji imaju konačnu energiju datu sa:Koristeći izraz za sintezu signala:∞W = x t dt. (6.130)x−∞∞() 21jΩtx() t = X( ) e d2π Ω Ω(6.131)−∞i njegov konjugovano kompleksni oblik:∞* 1 * − jΩtx () t X ( ) e d2π−∞= Ω Ω, (6.132)pokazaćemo da energiju signala možemo računati i u transformacionomdomenu:∞ ∞ ∞* 1* − jΩtWx= x() t x () t dt = x() t X ( ) e d dt2π Ω Ω =−∞ −∞ −∞∞∞1 *− jΩt= X ( Ω) x( t)e dtdΩ=2π −∞ −∞∞∞*2X X d X d1 1= ( ) ( ) ( ) .2π Ω Ω Ω= Ω Ω2π−∞Parsevalova teorema za neperiodične kontinualne signale:−∞(6.133)∞1Wx= x t dt = X Ω dΩ2π∞2 2 () ( )(6.134)−∞nam kaže da energiju signala možemo računati i u frekvencijskom domenu.Funkcija ( ) 2X Ω se u literaturi naziva spektralna gustina energije, gustina energetskogspektra ili kratko energetski spektar signala. Primjer grafičke predstave energetskogspektra dat je na Slici 6.19.−∞190

Furijeovaa transformacijaSlikka 6.19Energetski spektar pravougaonog impulsa.ZarealnesignalevrijediX (−Ω2= X ( Ω) 2 , što značida jeenergetskispektarparnaa funkcija.Energetski spektarsignalaje prekoFurijeovetransformacije povezansakorelacijomsignnala. PotražimoFurijeovu transformacijuautokorelacije:F{() ⊗ x(xt⊗( t)}=F= XPri tome smokoristilii daje:*{*x (( Ω)−t ∗ x t = FX)(Ω) 2(Ω).)}{x*( −t ))}⋅ F{x(} =( t)}(6.135)što je lakopokazati:*x( −t ) ↔ X * (Ω),(6.136)X*(Ω) =∞−∞=Fx*{(x)t e*(jΩt d)}dt−t }.t→−τ−∞= − x∞*(−τ )e −Zaklljučujemoda je Furijeovatransformacijaa autokorelacije jednaka gustinienergetskog speektra signala:F{RR xx () t } = X (Ω) 2 .(6.138)Dakkle, autokorelacijai energetskispektar signalaa noseistu informaciju o signalui iz njihnije mogguće rekonstruisati origiginalnisignal.jΩτ∞dτ= −∞*x( −t)ej te − Ωt dt =(6.137)191

GLAVA 66.7 Odmjeravanje signalaAko se radi digitalna obrada kontinualnih signala, signalu je potrebno pridružitiniz brojeva koji odgovaraju njegovim vrijednostima u odabranim trenucimavremena. Taj postupak, koji nazivamo analogno/digitalna konverzija ili kratkodigitalizacija, se sastoji od dva koraka. Prvo se vrši odmjeravanje signala tako što seuzimaju uzorci signala u odabranim vremenskim trenucima. Zatim sevrijednosti tako dobijenih odmjeraka signala kvantuju i dodjeljuje im se brojnavrijednost iz konačnog skupa brojeva. U ovom poglavlju ćemo se bavitiuticajem odmjeravanja na spektralne karakteristike signala.Odmjeravanje signala ćemo matematički modelirati množenjem signala sapovorkom Dirakovih impulsa:s∞() = () ⋅ δ () = () δ ( − Δ ) = ( Δ ) δ ( − Δ )x t x t t x t t k t x k t t k t . (6.139)k=−∞∞k=−∞Signal koji nastaje procesom odmjeravanja, nazvaćemo odmjereni signal.Potrebno je naglasiti da je odmjereni signal kontinualna funkcija, jer su njegovevrijednosti poznate u svakom trenutku vremena. Odmjereni signal je zapravopovorka Dirakovih impulsa u trenucima odabiranja t= kΔ t, čije su jačine udarajednake vrijednostima signala u tim vremenskim trenucima. Za ostalevrijednosti vremenske nezavisne varijable odmjereni signal jednak je nuli.Furijeova transformacija odmjerenog signala je:{ ()} () sδ ()1{ } { ()} { δ ()}F x t = F x t ⋅ t = F x t ∗F t , (6.140)2π∞1F { xs()t } = X ( Ω) ∗Ωsδ ( Ω−kΩs), (6.141)2πk =−∞∞1 2πF { xs()t } = Xs( Ω ) = X ( Ω−kΩs), Ωs= . (6.142)Δtk =−∞ΔtPrimjećujemo da se spektar odmjerenog signala periodično ponavlja saperiodom koji je jednak učestanosti odmjeravanja:2πΩs= . (6.143)Δ t192

Furijeova transformacijaOsnovni cilj prilikom odmjeravanja signala je da se sačuva što višeinformacija sadržanih u signalu, kako bi se na osnovu odmjeraka mogao štobolje rekonstruisati originalni kontinualni signal. Na osnovu teorije razvojasignala preko ortogonalnih funkcija znamo da je za idealnu rekonstrukcijusignala računanjem inverzne transformacije neophodno poznavanje svihspektralnih komponenti signala, dok je za aproksimaciju signala mogućekoristiti uži frekvencijski opseg, pri čemu se dodavanjem visokofrekvencijskihkomponenti smanjuje srednjekvadratna greška pri rekonstrukciji signala.Kao posljedica odmjeravanja signala, u frekvencijskom domenu dolazi doperiodičnog ponavljanja spektra kontinualnog signala. Pri tome se može desitida se frekvencijske komponente iz jednog perioda signala preklope safrekvencijskim komponentama iz drugih perioda. Tu pojavu nazivamopreklapanje spektra (aliasing). Preklapanje spektra se može izbjeći ako je spektarkontinualnog signala ograničen. U praktičnim primjenama često radimo sasignalima za koje možemo smatrati da imaju ograničen spektar. Vidjećemo daje pod tim uslovom moguće iz spektra odmjerenog signala izdvojiti spektarkontinualnog signala, te inverznom Furijeovom transformacijom rekonstruisatioriginalni kontinualni signal.Pretpostavimo da je spektar signala ograničen, tj. da se u spektru signala nepojavljuju frekvencijske komponente učestanosti većih od Ωg . Na Slici 6.20 suprikazana tri karakteristična slučaja koja ilustruju šta se dešava sa spektromodmjerenog realnog signala (čiji je spektar paran) prilikom promjeneučestanosti odmjeravanja. U prvom slučaju učestanost odmjeravanja je bar dvaputa veća od gornje granične učestanosti Ωg kontinualnog signala, dok je udrugom slučaju jednaka 2Ω g . U ova dva slučaja ne dolazi do preklapanja uspektru odmjerenog signala. Do preklapanja u spektru odmjerenog signaladolazi kada je učestanost odmjeravanja manja od 2Ω g . Sa Slike 6.20 je jasnovidljivo da je idealna rekonstrukcija spektra kontinualnog signala, a samim tim irekonstrukcija originalnog kontinualnog signala bez gubitaka, moguća ako jeučestanost odmjeravanja dovoljno velika, tj. u slučajevima kada je Ω ≥2Ω .Ovaj uslov naziva se Nikvistov kriterij, a učestanostučestanost.Ωs2se naziva Nikvistovasg193

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.20 Odmjeravanjesignala:(a) kontinualnisignal; (b) povorkaDirakovih2πimpulsai (c) odmmjereni signal,Δt 1= (nastavak na sljeedećojΩs1stranici));194

Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)Slika 6.20 (nastavak): (d) amplitudni spektarsignala xtt ; (e) Furijeovatransformacija povorke Dirakovihimpulsai (f) amplitudni spektarodmjerenog signala, Ω > 2Ωg (nastavak nasljedećojstranici);Ω s1()195

GLAVAA 6(g)(h)2πSlika 6.20 (nastavak):(g)odmjerenisignal, Δ t 2= Ωs 22ππΔtt = (nastavakna sljedećoj strasanici);Ω3s3i (h) odmjereni signal,196

Furijeovaa transformacija(i)(j)Slika 6.20 (nastavak): (i)amplitudnispektarodmjerenogsignala,Ω s3(j) amplitudni spektarr odmjerenog signala, Ω2 g< 2Ω.Ωs 2== 2ΩΩ gi1971

GLAVA 66.8 Rekonstrukcija signala iz njegovih odmjerakaPretpostavimo da je prilikom odmjeravanja signala poštovan Nikvistov kriterij.Pokazaćemo da je pod tim uslovom moguća idealna rekonstrukcija signala. Prvoćemo izdvojiti spektar kontinualnog signala iz spektra odmjerenog signalamnoženjem spektra odmjerenog signala sa tzv. prozorskom funkcijom P( Ω ),koja je data na Slici 6.21(a).Transformacioni par u vremenskom domenu ovoj prozorskoj funkciji P( Ω ) jesinc funkcija:Ωs2πpt () = sinc t,Ωs= , (6.144)2 Δ tprikazana na Slici 6.21(b), što se lako odredi koristeći osobinu simetrijeFurijeove transformacije.Množenju spektra odmjerenog signala sa prozorskom funkcijom ufrekvencijskom domenu:( Ω ) = ( Ω) ⋅ ( Ω)X X P , (6.145)sodgovara konvolucija odmjerenog signala sa funkcijom p()t u vremenskomdomenu:() () ()xt = xst∗ pt =∞ Ωs= x( kΔt) δ ( t −kΔt)∗ sinc t =k=−∞ 2∞Ωs= x( kΔt) sinc ( t −kΔt).2k =−∞(6.146)Dakle, rekonstrukcija signala u vremenskom domenu se može posmatratikao suma beskonačno mnogo sinc funkcija oblika (6.144), koje djeluju utrenucima kΔ t i čije su amplitude pomnožene sa vrijednostima signala utačkama odabiranja, pogledati Sliku 6.22. Funkcija p()t data sa (6.144)omogućava rekonstrukciju kontinualnog signala iz njegovih odmjeraka bezgreške, te se naziva idealna interpolaciona funkcija.198

Furijeovaa transformacija(a)(b)Slika6. 21(a) Prozorskafunkcijaa u frekvencijskomdomenui (b) idealnainterpolaciona funkcija kaonjen Furijeovtransformacioni par uvremmenskomdomenu.Primmjetimo da je idealnaa interpolaciona funkkcija nekauzalna.Zbogtoganavrijednostrekonstruisanogsignala u nekom trenutkune utičusamovrijednostiodmjerakaa signala do togi u tomtrenutku, već i nakon posmatranogtrenutkaukomsevrširekonstrukcija,sve dobeskonačnosti, pogledatiSliku6.22(f). Toonemogućavaa rekonstrukcijusignala u realnomvremenu,tj. istovremenosapristizanjeminformacijao odmjercima signala. Zbog problemaa uzrookovanihnekauzalnošćuovefunkcije, u prakksi se primjenjujuu kauzalneinterpolacionefunkcijepomoćukojihserekonstruiše približanobliksignala.1991

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.22 Idealnarekonstrukcijasignala: (a)amplitudni spektar odmjerenogsignala;(b) prozorska funnkcija i (c)) amplitudnispektarkontinualnogsignala dobijen kao proizvodX s ( Ω) i P(Ω)(nastavakna sljedećojstranici));200

Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)Slika 6.22 (nastavak): (d) odmjerenisignal; (e) idealnaa interpolaciona funkcijai(f) rekonstruisani kontinualni signalnacrtan debelomlinijom, doksutankimlinijamanacrtanekonvolucijepojedinačnihDirakovihimpulsasignalat sa idealnominterpolacionomfunkcijom.x s()2012

GLAVA 66.9 Gibsov fenomenPrilikom rekonstrukcije signala množenje u frekvencijskom domenuuniformnom prozorskom funkcijom P( Ω ), koja je različita od nule i jednakajedinici samo za Ω≤Ω, 0 garantuje idealnu rekonstrukciju signala čija je gornjagranična učestanost manja ili jednaka od Ω0. Ako bi širina prozorske funkcijebila manja, došlo bi do odsijecanja dijela spektra signala na učestanostimavećim od Ω0. U slučaju signala sa diskontinuitetima, čiji spektar nije ograničeni prekriva cijeli frekvencijski opseg od −∞ do ∞ beskonačno, odsijecanjevisokofrekvencijskih komponenti je neminovno sve dok je širina prozorskefunkcije konačna. Rekonstrukcija signala bez visokofrekvencijskih komponentirezultuje aproksimativnim oblicima signala. Srednjekvadratna greška koja sečini pri rekonstrukciji signala se smanjuje sa povećanjem širine prozorskefunkcije i teži ka nuli kada širina prozorske funkcije teži ka beskonačnosti.Međutim, pri rekonstrukciji signala koji sadrže diskontinuitete, iakosrednjekvadratna greška postaje jako mala pri velikim širinama prozora,rekonstruisani signal se po svom obliku značajno razlikuje od originalnogsignala i u njemu se pojavljuju karakteristični preskoci i oscilacije nazvani Gibsovfenomen (Josiah Willard Gibbs, 1839 –1903).Ilustrovaćemo Gibsov fenomen na primjeru rekonstrukcije Hevisajdovefunkcije iz njenog spektra. U svrhu rekonstrukcije, pomnožimo spektarHevisajdove funkcije U( Ω)sa prozorskom funkcijom P( Ω ) širine Ω0:( ),0ˆUΩ Ω ≤ΩU( Ω ) = U( Ω) ⋅P( Ω ) = . (6.147) 0, inačeInverznom Furijeovom transformacijom dobijamo:() ˆ ( ){ } ( ) ( )1 1{ } ()1{ ( )}− − −û t = F U Ω = F U Ω ⋅P Ω = u t ∗F P Ω . (6.148)Inverzna Furijeova transformacija prozorske funkcije dobije se koristeći pravilosimetrije:ΩF { }, (6.149)π−() ( )1 0pt = PΩ = sincΩ0t202

Furijeova transformacijatako da je rekonstruisana Hevisajdova funkcija jednaka:∞tΩ Ω Ωut ˆ ut sinc t ut sinc d sinc dπ π π−∞−∞Numeričkom integracijom se može pokazati da maksimalna vrijednost ovogπintegrala nastupa za t = . Do ovog zaključka se može doći i posmatrajućiΩ0 0 0() = () ∗ ( Ω0 ) = ( −τ) ( Ω0τ) τ = ( Ω0τ)τ .(6.150)0grafičko rješavanje konvolucije Hevisajdove i sinc funkcije ilustrovano na Slici6.23. Vidljivo je da se najveća površina ispod proizvoda ove dvije funkcijeπdobije kada se prednja ivica reflektovane Hevisajdove funkcije nađe u t = , Ωšto je prikazano punom linijom na Slici 6.23(b).Maksimalna vrijednost ût () je za 9% veća od vrijednosti Hevisajdovefunkcije i ne zavisi od širine prozorske funkcije Ω 0. Sa povećanjem širineprozorske funkcije u frekvencijskom domenu smanjuje se širina glavnog luka irazmak između nula sinc funkcije u vremenskom domenu, ali istovremeno,shodno osobini skaliranja Furijeove transformacije, proporcionalno raste njenaamplituda. Zbog toga pri povećanju širine prozorske funkcije frekvencijaoscilacija u rekonstruisanom signalu raste, povećava se strmina u okolini tačkegdje originalni signal ima prekid i preskok se pomjera prema tački prekidapostajući sve uži, ali vrijednost maksimuma rekonstruisanog signala, kojiodgovara površini ispod proizvoda Hevisajdove i sinc funkcije u trenutkuπt = ostaje 1,09. I pored toga što pri povećanju frekvencijskog opsega naΩ0osnovu kog se vrši rekonstrukcija signala preskok ostaje iste visine, periodoscilacija u rekonstruisanom signalu postaje sve kraći, tako da sesrednjekvadratna greška sve više smanjuje. Za ilustraciju navedenog, naslikama 6.24 i 6.25 prikazan je Gibsov fenomen koji se javlja pri rekonstrukcijipravougaonog impulsa. Širina prozorske funkcije na Slici 6.25 je dva puta većaod širine prozorske funkcije na Slici 6.24, tako da se na ovim slikama možepratiti uticaj širine prozorske funkcije na oblik oscilacija koje se javljaju urekonstruisanom signalu.0203

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.23 Rekonstrukcija Hevisajdovefunkcijeiz ograničenogspektrasignala:(a)p()t - inverzna Furijeovatransformacijaa prozorskefunkcije;;(b) pomjeranje reflektovaneHevisajdove funkcije pri određivanjukonvolucijei (c) konvolucijaHevisajdove funkcije sa p(t) .204

Furijeova transformacija6.10 Hilbertova transformacijaZa kauzalni signal moguće je uspostaviti vezu između realnog i imaginarnogdijela njegove Furijeove transformacije. Da bismo to pokazali, pođimo odčinjenice da svaki kauzalan signal, koji je jednak nuli za t < 0, možemo zapisatina sljedeći način:x() t = x() t ⋅ u()t . (6.151)Množenju dva signala u vremenskom domenu odgovara konvolucijanjihovih Furijeovih transformacija u frekvencijskom domenu, pa dobijamo:1X( Ω ) = F { x( t)} = F { x() t ⋅ u()t } = X( Ω) ∗U( Ω), (6.152)2π{ }{ }gdje je X ( Ω ) =F xt ( ) i U( Ω ) =F u( t). Sada je:1 1 X ( Ω ) = R( Ω ) + jI( Ω ) = R( ) jI( ) πδ ( )2π Ω + Ω ∗Ω + = jΩ(6.153)1 1 1 1 1 1 = R( Ω) ∗δ( Ω ) + I( Ω) ∗ + j I( Ω) ∗δ( Ω) − R( Ω)∗ .2 2πΩ 2 2πΩNa osnovu (4.31) znamo da je konvolucija signala sa Dirakovim impulsompomjerenim u tačku t 0jednaka tom signalu pomjerenom u tačku t 0. Zbog togasu konvolucije sa Dirakovim impulsima u (6.153) jednake:R( ) δ ( ) R( )Ω∗ Ω= Ω, (6.154)Tako dobijamo da je:I( ) δ ( ) I( )Ω∗ Ω= Ω. (6.155)1 1 1 1 1 1 R( Ω ) + jI( Ω ) = R( Ω ) + I( Ω) ∗ + j I( Ω) − R( Ω)∗2 2πΩ 2 2πΩ. (6.156) 205

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.24 Gibsov fenomen(frekvencijski domen):(a) amplitudnispektar originalnogsignala; (b) prozorska funkcija širine2ΩΩi (c) proizvodam01mplitudnog spektrasignala iprozorske funkcije.206

Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)Slika 6.24 Gibsovfenomen(vremenskidomen): (d) originalnisignal;(e) p1 (t)- inverznaFurijeova transformacija propozorskefunkciješirinee 2Ω i 01(f) konvolucijaoriginnalnogsignala sap t) .1 (2072

GLAVAA 6(a)(b)(c)Slika 6.25 Gibsov fenomen(frekvencijski domen):(a) amplitudnispektar originalnogsignala; (b) prozorska funkcija širine2ΩΩ 02=4Ω i(c) proizv01vodd amplitudnogspektra signalaa iprozorske funkcije.208

Furijeovaa transformacija(d)(e)(f)Slika 6.25 Gibsovfenomen(vremenskidomen): (d) originalnisignal;(e) p2( t ) - inverznaFurijeova transformacijaprozorskefunkciješirinee 2Ω = 024ΩΩ i (f)konvolucij01a origioinalnogsignala sa .p 2( t)2092

GLAVA 6Razdvajajući realne i imaginarne dijelove (6.155), zaključujemo da realni iimaginarni dio Furijeove transformacije kauzalne funkcije možemo izraziti nasljedeći način:( Ψ)∞1 1 1 IR( Ω ) = I( Ω)∗ = dΨπ Ω π , (6.157)Ω−Ψ−∞∞1 1 1 R( Ψ)( ) ( )I Ω =− R Ω ∗ =− dΨπ Ω π . (6.158)Ω−ΨDvije prethodne relacije uspostavljaju vezu između realnog i imaginarnogdijela Furijeove transformacije kauzalnog signala, te kažemo da realni iimaginarni dio Furijeove transformacije kauzalnog signala obrazuju Hilbertovtransformacioni par dat sa (6.157) i (6.158). To znači da je za rekonstrukcijukauzalnog signala dovoljno poznavati samo realni ili imaginarni dio njeneFurijeove transformacije, jer se pomoću Hilbertove transformacije rekonstruišenepoznati imaginarni, odnosno realni dio Furijeove transformacije.−∞210