Glava 1

Glava 1SIGNALI I SISTEMI1.1 UVODKoncept signala i sistema se pojavljuje u veoma mnogo različitih oblastinauke i tehnologije, kao što su kominikacije, obrada govora, slike i videosignala, biomedicinski inženjering, aeronautika i astronautika, seizmologija,kontrola hemijskih procesa, proizvodnja energije i distributivni sistemi, itd...Iako fizička priroda signala i sitema u ovim oblastima može biti veoma različita,signali se svugdje posmatraju kao funkcije jedne ili više nezavisnih varijablikoje sadrže informacije o ponašanju ili prirodi nekih fenomena, dok sistemiodgovaraju na pobudu jednim (ili više) signalom proizvodeći drugi signal(signale).Postoji mnogo problema i pitanja vezanih za signale i sisteme. U nekimslučajevima želimo da okarakterišemo dati sistem kako bismo mogli razumjetikako će on reagovati na različite pobude, dok se nekad bavimo projektovanjemsistema koji će na željeni način obrađivati signale. Jedna od uobičajenihaplikacija je restauracija signala koji je na neki način degradiran, npr. uklanjanješuma u komunikacijama ili poboljšanje kvaliteta slike. Ponekad želimoda modifikujemo dati sistem zasnovano na mjerenju nekih fizičkihveličina, kao što su temperatura, pritisak i sl., što nazivamo kontrolomprocesa.

U ovom kursu ćemo se baviti filtriranjem signala. Filtrirati signal, unajširem smislu, znači djelovati na signal i modifikovati ga na unaprijedzadani način, najčešće tako da neke komponente signala pojačavamo ilipropuštamo bez ili sa malim dozvoljenim slabljenjem, dok drugekomponente signala slabimo ispod propisanog nivoa.U nekim aplikacijama, signali su funkcije kontinualne varijable(vremena ili prostora), te ih nazivamo kontinualni signali, dok su u drugimvrijednosti signala poznate samo u određenim vremenskim trenucima pagovorimo o dikretnim signalima. Na ovoj podjeli signala zasnovana je i jednaod osnovnih klasifikacija filtara na analogne i digitalne filtre.1.2 SIGNALISignal je kvantitativna ili kvalitativna fizička veličina koja sadržiinformacije. Priroda signala, ovisno o njegovom porijeklu, može biti raznolika.Signalima se može opisati mnoštvo različitih fizičkih fenomena. Npr.ljudski govorni mehanizam proizvodi glasove kreiranjem varijacija akustičkogpritiska. Koristeći mikrofon te varijacije se mogu prevesti u električni signal(napon ili struja). Kao što se može vidjeti na sljedećoj slici, različiti glasoviodgovaraju različitim oblicima signala. Slično je i sa slikom koja jedvodimenzionalni signal, gdje vrijednosti signala u prostoru odgovarajuintenzitetu svjetline.Primjer zapisa govornog signala

Bilo koji signal (mehanički, električni, akustični, video, biološki…), da bise podvrgao obradi elektronskim putem, mora biti konvertovan u električnisignal. Električni signali nastaju mjerenjem fizičkih fenomena, kao što sutemperatura, pritisak, zvuk, svjetlost i slično, ili vještačkim putem, npr. prigenerisanju elektronske muzike i sintetičkih slika (računarska grafika i sl.).Pod obradom signala podrazumijevamo konverziju pobudnog signala usignal odziva na način definisan sistemom na koji pobudni signal djeluje.Primjere obrade signala susrećemo svakog časa, svuda oko nas. Čak i biološkejedinke možemo posmatrati kao sisteme koji reaguju na zvukove, svjetlost imnoštvo drugih signala iz okoline. Jedan od jednostavnih primjera je navlačenjeroletni pri čemu ne samo da smanjujemo količinu već mijenjamo i boju svjelostiu sobi. Na taj način djelujemo na signal svjetlosti, mijenjajući pobudni signal,svjetlost koja pada na otvor, u odziv, odnosno svjetlost koja ulazi u sobu. Načinna koji smo promijenili količinu i boju svjetlosti zavisi od upotrijebljenih roletnii naravno, naše odluke, dakle sistema na koji pobudni signal djeluje.Obrada električnih signala podrazumijeva konverziju električnog signalapobude u električni signal odziva. U daljnjem izlaganju ćemo pod riječju signalpodrazumijevati električni signal.1.2.1 Klasifikacija signalaBudući da se signal predstavlja kao funkcija jedne ili više nezavisnihvarijabli, te možemo govoriti o jednodimenzionalnim ili višedimenzionalnimsignalima. Jednodimenzionalni signali su npr. temperatura ili pritisak mjereni ujednoj tački u prostoru, dok se kao primjer višedimenzionalnih signala mogunavesti dvodimenzionalne ili trodimenzionalne slike, gdje su nezavisnevarijable koordinate u ravni, odnosno prostoru, respektivno. Iako se kodjednodimenzionalnih signala ne ograničavamo samo na vrijeme kao nezavisnuvarijablu, često to usvajamo radi jednostavnijeg izlaganja.Na osnovu toga da li signal postoji u svakom trenutku vremena ili ne,govorimo o kontinualnom ili diskretnom signalu u vremenu, respektivno. Zasignale koji mogu da poprime proizvoljnu vrijednost iz dozvoljenog opsegakažemo da su kontinualni po amplitudi, dok za signale čije vrijednostiamplitude pripadaju konačnom skupu kažemo da su kvantovani. Ako je signalkontinualan u vremenu i po amplitudi kažemo da se radi o analognom signalu.Za signal diskretan u vremenu i kvantovane amplitude kažemo da je digitalan.

Vremenski diskretni signali sa kontinualnom amplitudom1.2.5 Analogni signaliČesto se pojam analognog signala poistovjećuje sa pojmom kontinualnisignal. To nije u potpunosti korektno. Čak i ako se prihvati i koristi takvaterminologija, neophodno je razumijevanje razlike pojmova kontinualni ianalogni signal. Signal kontinualan u vremenu smo već definisali. Akoamplituda signala može da poprimi proizvoljnu vrijednost iz dozvoljenogopsega kažemo da je amplituda signala kontinualna. Signal kontinualan uvremenu i sa kontinualnom amplitudom nazivamo analogni signal.1.2.6 Kvantizacija i kodovanje signalaKvantizacija je proces kojim se ulazni signal kontinualne amplitudepreslikava u izlazni signal čija amplituda može da poprimi konačno mnogorazličitih nivoa.Pretpostavimo da amplituda ulaznog signala leži u opsegux ≤ x t < x , gdje D = x max - x min nazivamo dinamički opseg signala, te damin( )maxželimo da signal kvantujemo sa L različitih nivoa xˆ , k = 0,1,..., L− 1.Definišimo L nivoa ulaznog signala x , k = 0,1,..., L− 1 takvih da jex0 = xmin〈 x0〈 x2... 〈 xL−2〈 xL−1= xmax.kk

Preslikavanje ulaznog u izlazni signal se vrši na osnovu kvantizacionefunkcije na sljedeći način:( ) [ , ) ( )x t ∈ x x ˆ ˆ+ 1⇒ x t = x .k k kZbog toga što amplituda kvantovanog signala poprima konačan brojrazličitih nivoa, vrijednosti signala se zapisuju (koduju) sa konačnim brojembita B i uobičajeno je L = 2 B . Očigledno je da amplituda signala prije i poslijekvantizacije nije ista. Greška kvantizacije koja nastupa zavisi od dinamičkogopsega D i broja novoa kvantizacije L, kao i od izbora nivoa ulaznog signala ikvantizacionih nivoa. Broj bita kojim se koduje kvantovani signal je veomavažan. Pri memorisanju, procesiranju i prenosu signala poželjno je baratati sašto manjim brojem bita. Međutim, kvantovanjem signala sa malim brojemkvantizacionih nivoa gubimo informacije koje ima originalni signal. Stoga jeneophodno naći kompromis između ova dva oprečna zahtijeva, tako da seodabere najmanji mogući broj bita za zapis amplitude, a da se pri tome sačuvajuneophodne informacije u signalu. Sljedeća slika prikazuje kvantizaciju signalasa šesnaest kvantizacionih nivoa. U praksi se koristi znatno veći brojkvantizacionih nova, vrlo rijetko manje od 2 8 =256.Kvantizacija sa šesnaest kvantizacionih nivoaNa sljedećoj slici dati su primjeri kvantovanih signala kontinualnog trajanjau vremenu.

Kvantovani signali kontinualnog trajanja1.2.7 Digitalni signaliKvantizacijom dikretnog signala, a zatim kodovanjem kvantovanih nivoadolazimo do digitalnog signala. Digitalni signal je niz brojeva koji predstavljajukvantovane vrijednosti signala u diskretnim trenucima vremena. Kodovanevrijednosti amplitude odmjeraka kvantovanog signala xˆk= x( kT)se grafičkipredstavljaju u zavisnosti od rednog broja odmjerka k. Radi jednostavnijenotacije, u daljnjem izlaganju ćemo koristiti oznaku x( n ) da označimo digitalnisignal. Sljedeća slika prikazuje primjere digitalnih signala.

1.3 SISTEMIDigitalni signaliSistem posmatramo kao proces čiji rezultat je transformacija signala. Prematome, sistem ima ulazne i izlazne signale koji su međusobno vezani kroztransformaciju koju nad ulaznim signalima vrši sistem. Npr., neki muzičkisistem na osnovu ulaznog audio signala vrši reprodukciju tog signala. Akotakav sistem ima tonsku kontrolu, moguće je mijenjati karakteristike sistem, teza sisteme sa sličnim mogućnostima kažemo da osim ulaznih i izlaznih signalaimaju i kontrolne signale.Pod riječju filtar, u najširem smislu, podrazumijevamo sistem koji djelujena komponente signala modifikujući ih na unaprijed zadani način. Pri tome seželjene komponente signala pojačavaju ili propuštaju sa dozvoljenim malimslabljenjem, dok se neželjene komponente signala blokiraju ili slabe ispodpropisanog nivoa. Električni filtar je sistem koji modifikuje frekvencijskekomponente ulaznog signala na način zadan prenosnom funkcijom sistema. Udaljnjem izlaganju ćemo pri korištenju riječi filtar podrazumijevati da se radi oelektričnom filtru.

U opštem slučaju, sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom opisuje selinearnom diferencijalnom jednačine N-tog reda sa konstantnim koeficijentima:M k( ) d x( t)N kd y t∑ak=k ∑ bk,kk= 0 dt k=0 dtili, napisano u razvijenoj formi:N N−1 M M−1d y d y d x d xN+N N−1 + + N 1 0=M+−M M−1 + +M−10a a a y b b b xdt dt dt dtgdje su a i, i = 1,2, …,M i b j, j = 1,2, …,N realni koeficijenti koji zavise odelemenata sistema i njihovih međusobnih veza.Napomena: kod nelinearnih sistema neki od koeficijenata može bitifunkcija od x i/ili y, a kod vremenski zavisnih sistema od vremena.Primjenom Laplasove transformacije na diferencijalnu jednačinu, uzpodsjećanje da je Laplasova transformacija izvoda:n−( 0) 1( 0)n⎛d y⎞ n n−1 n−2dy d yL ⎜ sY( s) s y( 0n ⎟ = − ) − s − −⎝ dt ⎠dt dtimamo:N N−1 M M−1( aNs + aN−1s + + a0) Y ( s) + ICy( s) = ( bMs + bM−1s + b0) X ( s) + ICx( s)gdje su u IC y() s i () sza y i x.n−1IC xgrupisani svi članovi koji uključuju početne uslovePri određivanju kompletnog odziva, bilo u vremenskom domenu ilikorištenjem Laplasove transformacije, neophodno specificarati dodatne(početne) uslove u nekom trenutku vremena:N −1dy( )( t0) d y( t0)y t0 , ,..., .N −1dt dtU slučaju kad su svi početni uslovi jednaki nuliN −1( )(0) (0)0 = dy t d y ty t = ... = = 0N − 1dt dt

sistem opisan linearnom diferencijalnom jednačinom sa konstantnimkoeficijentima je linearan, kauzalan i vremenski invarijantan.Kako prilikom određivanja neke od karakteristika sistema, npr. impulsnogodziva ili funkcije mreže, ta karakteristika sistema ne smije da zavisi odtrenutnog stanja sistema opisanog kroz početne uslove, svi početni uslovi sepostavljaju na nulu.Prema tome, funkcija mreže:( )H s( )( )MM−1bMs bM−1s b0NN−1N+N−1 + +0( )( )Y s + + +N s= = =X s a s a s a D sje količnik dva polinoma po s sa realnim koeficijentima, tzv. realna racionalnafunkcija.Nakon faktorizacije polinoma funkcija mreže se može zapisati u obliku:N ( s)bM( s−z1)( s−z2) …( s−zM)( ) = =D( s)aN( s− p1)( s− p2) …( s−pN)Budući da su koeficijenti funkcije ( s)H sH realni, njene nule i polovi dolaze ukonjugovano-kompleksnim parovima.Zavisno od rasporeda nula i polova u kompleksnoj ravni, mogu nastupitirazličiti oblici odziva:1. svi polovi se nalaze u lijevoj poluravni – odziv eksponencijalno pada kadt → ∞ ,2. pojavljuje se pol na jw osi – u odzivu se javljaju oscilacije,3. postoje polovi u desnoj poluravni – odziv eksponencijalno raste svremenom.4. polovi u desnoj poluravni – odziv eksponencijalno raste s vremenom..Im sResMogući raspored nula i polova funkcije mreže u s-ravni

Uslov stabilnosti i minimalno fazni sistemiStabilnost je veoma važna osobina sistema. Intuitivno, sistem je stabilanako mala promjena ulaza ne generiše izlaz koji divergira. Drugim riječima,odziv na ograničenu pobudu mora biti ograničen da bi sistem bio stabilan.Fizički fenomeni, kao što su lančane reakcije ili rast populacije, koji se moguopisati rastućim eksponencijalnim signalima, su primjeri odziva nestabilnihsistema, dok fenomeni kao što su odziv RLC kola koji se opisuju opadajućimeksponencijalnim signalima predstavljaju primjere odziva stabilnih sistema.Da bismo odredili uslove pod kojima je LTI sistem stabilan,h t na koji djeluje ograničenapretpostavićemo sistem sa impulsnim odzivom ( )pobuda, x() t B ∀t∞〈 , . Tada je:() t h( τ ) x( t −τ) dτ≤ h( τ ) x( t −τ) dτ≤ B h( τ )∫−∞∞∫y = dτ.−∞Prema tome, kontinualni LTI sistem je stabilan ako je njegov impulsniodziv apsolutno integrabilan,∞∫−∞( τ ) dτ 〈 ∞h .Kao primjer stabilnog sistema možemo navesti sistem čija je uloga samo dazakasni ulazni signal, pa je njegov impulsni odziv h( t) = δ ( t − t 0). Ispitujući dali je sistem stabilan:∞∫−∞h∞( τ ) dτδ ( τ − t ) dτ1=∫−∞0 =vidimo da je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan pa je sistem stabilan,što je bilo i za očekivati jer je odziv ovog sistema na bilo koju ograničenupobudu jednak pomjerenoj verziji pobude, dakle ograničen.Posmatrajmo sada sistem opisan sa:yt∫−∞() t = x( τ )dτkoji nazivamo integrator. Da bismo pronašli impulsni odziv sistemax t = δ t , pa imamo:pretpostavimo () ()yKako jet() t ( τ ) dτ= u()t=∫−∞δ .∞∫−∞

∞∫∞( τ ) dτdτ= ∞u=∫−∞0vidimo da se radi o nestabilnom sistemu.Gledano u s-ravni, za stabilne sisteme karakteristični polinom D()s morabiti Hurvicov (Hurwitz) polinom, tj., imati sve korijene u lijevoj poluravni.Korijene polinoma D () s nazivamo polovima funkcije mreže H () s .Ako svi korijeni polinoma N ( s)leže na jw osi ili u lijevoj poluravni s-ravni, funkcija H () s se naziva minimalno fazna funkcija. Korijene polinomasH s .N () nazivamo nulama funkcije mreže ( )Ako želimo postići određenu magnitudu nevažno je da li funkcija mrežeima nule koje leže u lijevoj ili u desnoj poluravni, ako predstavljaju sliku uogledalu onih u lijevoj poluravni. Međutim, funkcija mreže sa nulama u lijevojpoluravni ima manju fazu.Primjer:FunkcijeH1( s) = H0( s)( s+ σ ) i H2( s) = H0( s)( s− σ ) , gdje je σ realno ipozitivno, imaju istu magnitudu( ) ( ) ( )2 2H jΩ = H jΩ = H jΩ Ω + σ ,1 2 0ali su im faze različite:ΩΩΩϕ1( Ω ) = ϕ0( Ω ) + arctg , ϕ2( Ω ) = ϕ0( Ω ) + arctg = ϕ0( Ω ) + π −arctg.σ−σσKako jeΩ πarctg ≤σ 2slijediΩϕ2 − ϕ1 = π −2arctg≥ 0.σDakle, sistem sa nulom u desnoj poluravni ima veću fazu. Razmatranje se lakoproširi na sisteme sa više nula.

1.4 DISKRETNI SISTEMISlično kao kod kontinualnih sistema, diskretni sistem posmatramo kaoproces čiji rezultat je transformacija diskretnog ulaznog signala u diskretniizlazni signal:x n → y n ,( ) ( )gdje je sa x( n ) označen ulazni, a sa ( )y n izlazni signal.Blok dijagram diskretnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazomPredstavljanje linearnih vremenski invarijantnih (LTI) diskretnihsistemaSlično kao kod kontinalnih sistema, osobina da se bilo koji diskretni signalmože predstaviti preko impulsa nam, zajedno sa svojstvom linearnosti ivremenske invarijantnosti, omogućava potpunu karakterizaciju LTI diskretnogsistema preko njegovog odziva na jedinični impuls.Konvolucioni suma omogućava pronalaženje odziva LTI sistema naproizvoljnu pobudu ako je poznat odziv sistema na jedinični impuls.h n kao odziv LTI sistema na impulsnuDefinišimo impulsni odziv ( )pobudu δ ( n), h( n) L{ δ ( n)}= gdje je sa L označen operator kojim sistemtransformiše ulazni signal u izlazni. Zbog vremenske invarijantnosti, odziv LTIsistema na δ ( n− k)je h( n−k). Znajući da proizvoljan diskretni signalmožemo predstaviti sa∞∑( ) = ( ) δ ( − )x n x k n kk =−∞i koristeći princip superpozicije, slijedi odziv na proizvoljnu eksitaciju:∞ ∞ ∞⎧⎫y( n) = L{ x( n)} = L⎨∑ x( k) δ ( n− k) ⎬= ∑ x( k) L δ ( n− k)= ∑ x k h n−k⎩k=−∞ ⎭ k=−∞ k=−∞{ } ( ) ( )Posljednja jednakost predstavlja opštu formu odziva LTI diskretnih sistemax n i označena je kao konvoluciona suma, ilina proizvoljnu pobudu ( )jednostavno, konvolucija. Konvolucija dva diskretna signala se simboličkiy n = x n * h n .označava sa ( ) ( ) ( )

U slučaju da su svi korijeni karakteristične jednačine različiti, homogenorješenje ima obliky( n) = A n n 1α 1+ A2α2 + ... + A nNα N.Partikularno rješenje se pretpostavlja u istom obliku kao eksitacija. Npr,kako je x( n) = n patikularno rješenje se pretpostavlja u oblikuk −1 k−2cn1cn2... c kn+ + + . Ako je x( n) a= pri čemu a nije korijennkarakteristične jednačine, patikularno rješenje se pretpostavlja u obliku ca , aako je a jednak jednom od korijena karakteristične jednačine, patikularnok−1 n k−3 n k−3n nrješenje se pretpostavlja u obliku cn a + cn a + cn a + + c a .1 2 3...Da bi odredili odziv sistema na osnovu poznate jednačine diferencija,neophodno je poznavanje početnih uslova: y( −N) , y( − N + 1 ),..., y( − 1)ix( −M) , x( − M + 1 ),..., y( − 1). Pri određivanju neke od funkcija mrežesmatramo da su svi početni uslovi jednaki nuli.Ako na ulaz diskretne mreže, čiji je impulsni odziv jednak h( n ) ,ndovedemo kompleksnu eksponencijalnu sekvencu ( ) = , ∈ , signal nax n z z Cizlazu mreže će biti jednak:− ⎡− ⎤y( n) = h( n) ∗ x( n) = ∑ h( k) x( n− k) = ∑ h( k) z = ⎢∑h( k) z ⎥z = H( z)zk=−∞ k=−∞ ⎣k=−∞⎦.Način kako diskretna mreža mijenja signal definisan je funkcijom prenosaH z−ndiskretne mreže ( ) ( )∞ ∞ ∞n k k n n∞= ∑ h n z . Primijetimo da je funkcija prenosan=−∞diskretne mreže jednaka z-transformaciji impulsnog odziva.Poznavajući pravilo z-transformacije o konvoluciji diskretnih signala:y( n) = h( n) ∗x( n) ↔ Y( z) = H( z) X ( z),funkcija prenosa diskretne mreže može se izraziti i kao količnik z-transformacije odziva i z-transformacije eksitacije:Y( z)H( z)= .X ( z)Kod diskretnih sistema opisanih rekurzivnom jednačinom diferencija:M( ) = ∑ k ( − ) −∑k ( − )y n b x n k a y n kNk= 0 k=1k

impulsni odziv je u opštem slučaju beskonačnog trajanja. Funkcija prenosa jeracionalna funkcija i ima i nule z ki polove pkkonačnih vrijednosti. Može dase zapiše u jednom od sljedećih oblika, kao količnik dva polinoma (u1razvijenom ili faktorizovanom obliku, po z − ili po z ):( )H z( )( )( )( )Y z N z= = = =X z D z1M−1∏( 1−k )N−1∏( 1−k )k= 1 k=1MM−k M−k∑bzk ∑bzkk= 0 N−Mk=0zNN−k N N−k+ ∑az kz + ∑azkk= 1 k=1M∏( −k)zz z zk= 1 N−Mk=1= k= kzNpz z p∏( −k)Ako je diskretni sistem opisan nerekurzivnom jednačinom diferencijaMy( n) = ∑ bkx( n−k),k = 0onda je impulsni odziv konačnog trajanja. Funkcija prenosa ima M konačnihnula i pol reda N u nuli:Y( z)NMM( z)−k −M M−kH( z)= = = ∑bkz = z ∑ bkz.X z D z( )( ) k= 0 k=0Ako je imulsni odziv konačnog trajanja, kažemo da se radi o FIR (FiniteImpulse Responese) sistemu, a ako je impulsni odziv beskonačnog trajanja,onda kežemo da se radi o IIR ili I 2 R (Infinite Impulse Responese) sistemu.Posebnu klasu IIR sistema čine takozvani “all-pole” sistemi koji nemajukonačnih nula transmisije ( b = 0, k ≠ 0 ) i čija funkcija prenosa ima oblik:( )H zk( )( )Y z b b= = = zX z1+ +0 N0NN−k N N−k∑az kz ∑azkk= 1 k=1.

Stabilnost digitalnih sistemaU vremenskom domenu diskretni sistem je stabilan ako njegov impulsniodziv zadovoljava uslov:∞∑ h( n)< ∞ .n=−∞Iz uslova stabilnosti datog u vremenskom domenu slijedi da funkcijaprenosa konvergira na jediničnoj kružnici u z-ravi:∞ ∞ ∞ ∞−n −n −n( ) = ∑ ( ) ≤ ∑ ( ) = ∑ ( ) = ∑ ( )

Ako su svi polovi diskretnog sistema u unutrašnjosti jediničnog kruga u z-ravni p 1, i 1, 2,..., Ni< = , za impulsni odziv vrijedi da je ∑ h( n)∞n=−∞ M i n< 0 .Dakle, digitalni sistem je stabilan ako i samo ako oblast konvergencijefunkcije prenosa obuhvata jediničnu kružnicu.−M

1.5 SPECIFIKACIJA I KLASIFIKACIJA FILTARAPrije nego što se pristupi projektovanju i realizaciji filtra, neophodno jezadati zahtjeve koje filtar treba da zadovolji. Nakon toga, pristupa seprojektovanju filtra, odnosno određivanju prenosne funkcije koja zadovoljavapostavljene zahtjeve, nekom od aproksimacionih metoda. Kako najčešće postojimnoštvo rješenja, neophodno je, po nekom od kriterija, odabrati jednu prenosnufunkciju. Nakon toga slijedi realizacija filtra, proces preslikavanja prenosnefunkcije u električnu mrežu. Tu na raspolaganju stoji mnoštvo metoda, a izborje najčešće određen specifičnom namjenom. Pri tome treba voditi računa darješenje bude jednostavno, ekonomično, i da ne zavisi mnogo od tolerancijaupotrijebljenih elemenata. Analizom realizovanog filtra (koja uključuje metodesimulacije) utvrđuje se da li je dobijeno rješenje prihvatljivo i konačno slijediimplementacija, odnosno izrada i testiranje prototipa. Na kraju treba sagledati itroškove masovne proizvodnje, uzimajući u obzir cijene komponenti,tehnologiju proizvodnje, testiranja i podešavanja. Ako neki od postavljenihzahtjeva nije zadovoljen, pristupa se izmjenama u realizaciji, a ako jeneophodno i izboru druge prenosne funkcije. Na sljedećoj slici je prikazanaprocedura projektovanja, realizacije i simulacije filtra.Klasifikacija filtara može se uraditi na mnogo različitih načina.Posmatrajući karakter signala koji procesiraju, izvršena je podjela filtara na:• analogne, koji procesiraju analogne signale i• digitalne, koji procesiraju digitalne signale.Ovisno o prirodi realizacije, analogni filtri se dijele na:• pasivne, koji se realizuju samo pasivnim komponentama i• aktivne, kod kojih se za realizaciju koriste i aktivne komponenete.Saglasno funkciji koju vrše, filtri se najčešće dijele na osnovu opsegafrekvencija koje propuštaju na:• niskopropusne filtre (NP),• visokopropusne filtre (VP),• filtre propusnike opsega (PO),• filtre nepropusnike opsega (NPO),• svepropusnike (ekvalizatore kašnjenja).

SPECIFIKACIJA FILTRA:amplitudna karakteristika,fazna karakteristika (grupno kašnjenje), itd…PRONALA@ENJE ODGOVARAJU] E PRENOSNE FUNKCIJEKOJA ZADOVOLJAVA SPECIFIKACIJE FILTRAREALIZACIJA:SINTEZA FILTRA NA OSNOVU POZNATE PRENOSNE FUNKCIJEPRAKTI^ NA RAZMATRANJA:ANALIZA SVAKE FILTARSKE SEKCIJE U SMISLU OSJETLJIVOSTI,SELEKTIVNOSTI, PODESIVOSTI PARAMETARA.ODBACITI RJEŠENJA KOJA NISU REALIZIBILNA.DA LIRJEŠENJEZADOVOLJAVA?NENA] I DRUGU PRENOSNUFUNKCIJU KOJA ZADOVOLJAVASPECIFIKACIJE FILTRADAOPTIMIZACIJA RJEŠENJA U SMISLU CIJENA/KVALITETLABORATORIJSKI MODELProcedura projektovanja, realizacije i simulacije filtra