Glava 4 ANALIZA I OBRADA SIGNALA U VREMENSKOM DOMENU

Glava 4ANALIZA I OBRADA SIGNALAU VREMENSKOM DOMENUObrada signala u vremenskom domenu podrazumijeva određivanje odziva napobudu proizvoljnog oblika. Dinamički linearni sistemi opisani sudiferencijalnim jednačinama i određivanje odziva njihovim direktnimrješavanjem u opštem slučaju nije jednostavan problem. Mi ćemo se zadržati naanalizi i obradi signala linearnim, vremenski invarijantnim (Linear TimeInvariant - LTI) sistemima. Vidjećemo da se LTI sistem u potpunosti možeopisati preko njegovog odziva na jediničnu impulsnu funkciju, odnosnoimpulsnog odziva. Ukoliko znamo impulsni odziv, operacija konvolucije, dokoje se dolazi predstavljanjem signala proizvoljnog oblika jediničnimimpulsnim funkcijama, omogućava nam da pronađemo odziv na proizvoljnupobudu. Analizirajući osobine LTI sistema vidjećemo da se, osim impulsnimodzivom, LTI sistem može okarakterisati i drugim funkcijama sistema, od kojihje pri obradi signala u vremenskom domenu najznačajniji jedinični odskočniodziv, definisan kao odziv na jediničnu odskočnu funkciju.

GLAVA 44.1 Impulsni odziv LTI sistemaImpulsni odziv h()t linearnog, vremenski invarijantnog sistema se definiše kaoodziv na pobudu u vidu jedinične impulsne (Dirakove) funkcije δ () t :() LTI { δ () t}ht= T , (4.1)gdje je sa T LTIoznačen operator kojim LTI sistem transformiše pobudnisignal u signal odziva.4.2 KonvolucijaMatematička operacija označena kao konvolucija omogućava pronalaženjeodziva LTI sistema na pobudni signal proizvoljnog oblika, ako je poznatimpulsni odziv sistema. Kako bismo to pokazali, prvo ćemo predstavitipobudni signal kao integral impulsnih funkcija, a zatim odrediti odziv na takozapisan signal, koristeći osobinu superpozicije LTI sistema.4.2.1 Predstavljanje signala impulsnim funkcijamaPosmatrajmo stepenastu aproksimaciju ˆx()t signala xt, () kao na Slici 4.1. Ovaaproksimacija se može izraziti kao linearna kombinacija pomjerenihpravougaonih impulsa:na sljedeći način:δ Δ t() t∞ 1 Δt, t 2(4.2)xt ˆ () = xk ( Δt) δΔt ( t−kΔt)Δt. (4.3)k =−∞56

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(a)(b)(c)(d)(e)Slika 4.1 (a) Stepenastaaproksimacijakontinualnog signala. (b-e)) Elementisume(4.1):primjeripomjerenihpravougaonihimpulsa.57

GLAVA 4Kada Δ→ t 0 , jedinični pravougaoni impuls δ Δ t () t postaje jednakDirakovoj funkciji δ () t . Razmaci tačaka kΔ t na vremenskoj osi postajubeskonačno mali, te kΔ t postaje kontinualna varijabla τ , a suma (4.3) prelazi uintegral. Aproksimacija signala ˆx()t u tom graničnom slučaju postaje:∞∞lim xt ˆ lim xk tδ tt k t t xτ δ t τ dτ() = ( Δ ) Δ ( − Δ ) Δ = ( ) ( − ) . (4.4)Δ→ t 0 Δ→ t 0k =−∞ −∞Posmatrajući Sliku 4.1 možemo primjetiti da smanjenjem Δ t aproksimacijaˆx()t teži signalu xt. () Pokazaćemo da se pri tome zapravo smanjuje razlikapovršina koje sa vremenskom osom zaklapaju signal xt () i njegovaaproksimacija ˆx()t.ΔtΔtU intervalu vremena mΔt− < t < mΔ t+ samo član sume (4.3) za2 2k = m je različit od nule. To je grafički ilustrovano na Slici 4.2. Primjetimo dapravougaoni impulsi δ Δ t ( t−kΔt)Δ t u (4.3) imaju jediničnu amplitudu.Aproksimacija signala ˆx()t u posmatranom intervalu je konstanta jednaka= mΔ t:vrijednosti signala xt () u tački tΔtΔtxt ˆ () = xk ( Δt) δ Δ t ( t−kΔt) Δ t = xm ( Δt), mΔt− < t< mΔ t+ . (4.5)k=m2 2Posmatrajući Sliku 4.2(c) možemo zaključiti da je vrijednost signala u tačkimΔ t jednaka površini posmatranog pravougaonog impulsa širine Δ t ix( mΔt)amplitude . Ako su vrijednosti signala u posmatranom intervaluΔtkonačne, u graničnom slučaju, kada Δ→ t 0 , površina posmatranogpravougaonog impulsa teži površini koju sa vremenskom osom naxt ()posmatranom intervalu zatvara funkcija , odnosno njenom integralu:Δ tΔtmΔ+t21x( mΔ t) = x( mΔt) δΔt ( t−mΔt) Δ t = x( τ)dτ, Δt→0Δt . (4.6)ΔtmΔ−t258

GLAVA 4Kada Δ→ t 0 , mΔ t postaje kontinualna varijabla t . U svakom trenutkuvremena vrijedi da je:∞() = ( τ) δ( τ − )xt x tdτ, (4.8)što je zbog parnosti Dirakove funkcije konačno jednako:−∞∞() = ( ) ( − )xt xτ δ t τ dτ. (4.9)−∞Izraz (4.9) je jednak aproksimaciji signala datoj sa (4.4). Na ovaj način smopokazali da je x() t = lim xˆt() t , ako signal xt () ima konačne vrijednosti, kao i daΔ→0se smanjivanjem Δ t smanjuje razlika površina koje sa vremenskom osomzaklapaju signal i njegova aproksimacija.Razmatrajući aproksimaciju signala pronašli smo način predstavljanja signalaimpulsnim funkcijama dat sa (4.9). Jednakost (4.9) nam govori da je signalproizvoljnog oblika moguće izraziti preko integrala jediničnih impulsnihfunkcija koje su pomjerene u vremenu i čije su težine (jačine udara) jednakevrijednostima signala u trenucima u koje su pomjerene. Ilustracija ovejednakosti je data na Slici 4.3, gdje je prikazan proizvoljni signal x( τ ), jediničnaδ t − τ kao funkcija od τ sa fiksnim t i njihov proizvod.impulsna funkcija ( )Jednakost (4.9) smo mogli jednostavije dokazati poznavajući osobineDirakove funkcije:∞ ∞ ∞τ δ τ τ δ τ τ δ τ τ x( ) ( t − ) d = x( t) ( t − ) d = x( t) ( t − ) d = x( t). (4.10)−∞ −∞ −∞Prethodno provedeno šire razmatranje ima za cilj da naglasi interpretacijusignala xt () preko jediničnih impulsnih funkcija. Iako sama po sebi ovakvainterpretacija signala proizvoljnog oblika nema svrhu, ona je veoma korisnaprilikom izvođenja izraza za konvoluciju kao metoda za određivanje odziva naproizvoljnu pobudu.60

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(a)(b)(c)Slika4. 3Grafičkaa interpretacijajednačinee (4.9): (a) signal x τ proipizvoljnogoblika; (b) pommjerena jediničnaimpulsnafunkcijaδ (t − −τ ) kaofunkcijaodτ sa fiksnimt i (c) proizvodova dvasignala.()4.2. 4 .2Konvolucioni integralKaoštosmoveć ranije istakli,, cilj namje dapronađemoodziv LTILsistemanapobuduu proizvoljnimsignalom.Vidjeeli smoda signal proizvoljnogoblikamožžemo aproksimirati pomoću jediničnihimpulsnih funkcija:( )ˆx t=∞ x(k =−∞∞)kΔt δδ Δ t()t − kΔt Δ t ,(4.11)61

GLAVA 4te da ova aproksimacija u graničnom slučaju, kada Δ→ t 0 , postaje jednakasignalu xt: ()∞∞xt xk tδ t k t t xτ δ t τ dτ() = lim ( Δ ) Δt( − Δ ) Δ = ( ) ( − ) . (4.12)Δ→ t 0k =−∞ −∞Pronađimo prvo odziv na aproksimaciju signala ˆx()t. Označimo sa hΔt () todziv na jedinični pravougaoni impuls δ Δ () t :Δt() { δΔt()}Za vremenski invarijantne sisteme vrijedi da je:gdje je sasistem.th t = T t . (4.13)( − Δ ) = { δΔ ( − Δ )}h t k t T t k t , (4.14)Δt TI tT TIoznačena transformacija koju unosi vremenski invarijantanOsobina superpozicije LTI sistema dopušta nam da odziv na aproksimacijusignala ˆx()t napišemo u obliku:∞yˆ() t = T { ˆLTIx()t } = TLTI x( kΔt) δΔt( t−kΔt)Δ t=k=−∞∞∞{ Δ } ( ) Δ ( )( ) T δ ( )= x kΔt t−kΔt Δ t = x kΔt h t−kΔt Δt.k=−∞LTI t tk=−∞(4.15)U graničnom slučaju, kada Δ→ t 0 , jedinični pravougaoni impuls δ Δ t () tpostaje jednak Dirakovoj funkciji δ () t , pa stoga odziv na jediničnipravougaoni impuls hΔ t () t postaje jednak impulsnom odzivu ht. () Uz to, kΔtpostaje kontinualna varijabla τ i suma prelazi u integral. Budući da u ovomgraničnom slučaju ˆx() t → xt (), odziv na ˆx()t postaje odziv na xt: ()62

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenuy( ( t)=T= limΔt→0k =−∞= limΔt→0k =−∞∞= x τ h t −τdτ.−∞LTI{∞∞x( )()} tx(((}=T)x kΔtT)kΔt h)LTIt Δ → 0k =− −∞LTIIΔtlimm({δΔt∞(t−k ΔtPosttupakodređivanjaa odziva nasignalproizvoljnog oblikaputemodzivananjegovustepenastuaproksimacijuilustrovanje naSlici 4.4.. Posebnosuprikazaniodzivii na pojedinačnepravougaoneimpulsekojima se saproksimirapobudni signal.Aproksimacijaa odziva jednaka jezbirutihpojedinačnihodziva.)(x kΔtt − kΔtΔ t =)})) δ Δ tΔ t =(t −kΔt)Δt =(4.16)(a)(b))Slika4. 4Grafičkaa interpretacijaodređivanjaa odziva:(a) pobudax tproizvoljnog oblikai (b) impulsniodzivsljedećoj stranici));h(t)()(nastavakk na63

GLAVAA 4(c)(d)(e)(f)Slika 4.4 (nastavak): (c-e) nekiodpojedinačnihpravougaonih impulsa kojimaase aprroksimirapobudai (f) aproksimacijaa pobudeˆx ( t)(nastavakk na nsljedećojstranici);64

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(g)(h)(i)(j)Slika 4.4 (nastavak):(g-i) odzivi napojdinačnepravougaone impulse i(j) aproksimativni odzivv ŷ ( t) (nastavakna sljedećojstranici);65

GLAVAA 4(k)Slika4.4(nastavak):(k)) odzivy ( t ) .Dakle,odzivy ( t ) linearnog,vremenskiinvarijantnogsistema na pobudux( ( t ) proizvoljnog oblikamožesedobiti na osnovu jednačinee (4.16). U svomkonačnomobliku:(y t =ova jednačinaje označenaa kao konvolucioni integral.Matematičkaoperacijaa konvolucije dva signala x(t) isimboličkioznačavaa sa:)∞−∞x(τ)h(t −τ ) )dττh( ( t )(4.17)data sa (4.17)se()y t =x( ( t)∗ h( ( )Konvolucijaje komutativna,asocijativnaa i distributivnaoperacija.Oveosobinekojeslijedee direktnoiz definicije konvolucije prekointegralaolakšavajuanalizusloženihsistema.Osobina komkmutativnostinamgovori da ulaznisignal i impulsniodziv moguzamijeniti uloge,a da se izlaznisignalnepromijeni:t .(4.18)y(t) = x(t ) ∗∗ h() = h( ( t)∗ x( ( t)t =.(4.19)666

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenu()T { }{ }xt T LTI y()tLTI12Slika 4.5 Blok šema kaskadne veze dva LTI sistema.Osobinu asocijativnosti možemo koristiti za pronalaženje impulsnog odzivakaskadne veze LTI sistema. Posmatrajmo kaskadnu vezu dva LTI sistema saimpulsnim odzivima h1() t i h2() t , prikazanu na Slici 4.5. Za pojedinačnesisteme vrijedi da je y1() t = x1() t ∗ h1()t i y2() t = x2() t ∗ h2()t . Kako je ulaz uprvi sistem jednak ulazu u cijeli sistem x1() t = x()t , ulaz u drugi sistem jednakizlazu iz prvog sistema x2() t = y1()t , a izlaz iz cijelog sistema jednak izlazu izy t = y t , slijedi:drugog sistema () ()2() = () = () ∗ () = () ∗ () = () ∗ () ∗ ()y t y2 t x2 t h2 t y1 t h2 t x1 t h1 t h2t . (4.20)Osobina asocijativnosti konvolucije nam omogućava promjenu redoslijedaoperacija, tako da je:() () () () () () ()y t = x t ∗ h t ∗ h t = x t ∗h t ∗ h t 1 2 1 2 . (4.21)Iz (4.21) zaključujemo da je impulsni odziv kaskadne veze dva LTI sistemajednak konvoluciji njihovih impulsnih odziva:() () ()ht = h t∗ h t . (4.22)1 2Posmatrajmo sada paralelnu vezu dva LTI sistema sa impulsnim odzivimah2t , prikazanu na Slici 4.6. Kod paralelne veze se isti pobudni signalx t = x t = x t , dok je izlazh1() t i ()istovremeno dovodi na ulaz oba sistema1() 2() ()cijelog sistema jednak zbiru izlaza pojedinačnih sistema y() t y () t y () tSlijedi da je odziv paralelne veze jednak:() () () () () () ()1 2 1 1 2 2= + .1 2y t = y t + y t = x t ∗ h t + x t ∗ h t . (4.23)67

GLAVA 4T LTI { }1xt ()y()tT LTI { }2Slika 4.6 Blok šema paralelne veze dva LTI sistema.Na osnovu osobine distributivnosti konvolucije, iz (4.23) slijedi da je:() () () () () () () ()y t = x t ∗ h1 t + x t ∗ h2 t = x t ∗ h1 t + h2t , (4.24)te je impulsni odziv paralelne veze dva LTI sistema jednak zbiru impulsnihodziva pojedinačnih sistema koji čine paralelnu konfiguraciju:() () ()ht = h t + h t. (4.25)1 24.2.3 Grafičko rješavanje konvolucijePosmatrajući konvolucioni integral:∞() = ( ) ( − )y t x τ h t τ dτ, (4.26)−∞zaključujemo da je u svakom trenutku t signal y()t jednak težinskomintegralu signala x( τ ), pri čemu su težine jednake h( t − τ ). Kako bismo došlido grafičkog metoda za određivanje konvolucije za specifičnu vrijednosth t τh τ , koji je funkcijavarijable t , prvo generišimo signal ( − ) iz signala ( )68

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenunezavisne varijable τ , tako što ćemo uraditi refleksiju signala h( τ ) okoishodišta i pomjeriti ga udesno za t ako je t > 0, ili ulijevo za t ako je t < 0 .Podintegralni signal dobijemo množenjem x( τ ) sa h( t − τ ) za različitevrijednosti t . Za jednu specifičnu vrijednost nezavisne varijable t , konvolucijay()t se dobije integrirajući proizvod x( τ) h( t− τ)u granicama od −∞ do ∞ ,što u geometrijskom smislu znači računajući površinu ispod proizvodax( τ) h( t− τ). Možemo zamisliti kao da signal h( t − τ ) "klizi" po τ osi i pritome gledamo koliko je njegovo preklapanje sa x( τ ). Konvolucija je mjera togpreklapanja izražena površinom koju sa τ osom zaklapa proizvodx( τ) h( t−τ). U slučajevima kada se radi sa jednostavnim signalima, površinase lako odredi geometrijskim metodima. Postupak je potrebno ponoviti zasvaku vrijednost nezavisne varijable t , odnosno za svaki vremenski trenutak ukom želimo da odredimo signal odziva. Pri izboru tačaka u kojima će seračunati konvolucija potrebno je prekriti čitav opseg u kome je proizvodx( τ) h( t− τ)različit od nule, što za signale konačnog trajanja znači upočetnom koraku pomjeriti reflektovani signal dovoljno ulijevo da se izbjegnepreklapanje sa signalom x( τ ), a sa računanjem prestati kada prilikompomjeranja reflektovanog signala udesno prestane preklapanje tih signala.Ukoliko trajanje bar jednog od signala koji učestvuju u konvoluciji nijekonačno, konvolucija se računa za sve vrijednosti nezavisne varijable t od −∞do ∞ . Postupak grafičkog rješavanja konvolucije ilustrovan je na Slici 4.7 naprimjeru konvolucije signala xt () i impulsnog odziva h()t . Oba signala su uobliku pravougaonog impulsa, ali različitih amplituda. Rezultati konvolucije utačkama u kojima se vrši računanje su na rezultujućoj Slici 4.7(z) naglašenisamo radi boljeg razumijevanja.69

GLAVAA 4(a)(b)(c)(d)(e)(f)Slika 4.7 Ilustracijaa grafičkog rješavanjaa konvolucije: (a) signalt ;(b) istii signalprikazanna τ osi i (c-f) stranici);pomjereni reflektovaniimpulsniodzivii (nastavak na sljedećojx()70

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(g)(h)(i)(j)(k)(l)Slika 4.7 (nastavak):(g) impulsnii odzivh ; (h) reflektovan impulsniodzivprikazannaτ osi i (i-l)) proizvodi signalaa x( τ) i pomjerenihreflektovanih impulsnihodziiva (nastavakna sljedećoj strasanici);() t71

GLAVAA 4(m)(n)(o)(p)(q)Slika 4.7 (nastavak): (m-qstranici); pomjereni reflektovani impulsni odzivi (nastavakna sljedećoj72

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(r)(s)(t)(u)(v)Slika 4.7 (nastavak):(r-v) proizvodisignala x τ i pomjerenihh reflektovanihimpulsnih odzziva(nastavak na sljedećojstranici);()73

GLAVAA 4(z)Slika4.7(nastavak): (z) rezultat konvolucije.Primjer4.1:Grafičkimputemodrediti odziv LTI sistemasaimpulsnimodzivom datimnaSlici4.8(a)na pobuduprikazanu na Slicii 4. 8(b).(a)(b)Slika4. 8(a) Impulsni odziv LTII sistemai (b) pobuda.74

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenuRješeenje:Odzziv LTI sistemaje dat konvolucijomimpulsnogodzivai pobudnogsignala.Akosegrafičkomrješavanju konvolucijeu ovomzadatkupristupitakoda sereflektujepobudnisignal, taj signal se nakonreflektovanjapomjeraulijevodokne prestanepreklapanjesa impulsnimodzivom. Preklapanjesa impulsnimodzivompočinje kadaa seprednjaa ivicareflektovanogpobudnogsignala nađeutački− T , štoodgovarasignalux ( −T −τ ) . Zasvakot < −TT nemapreklapanjaimpulsnogodziiva sapomjerenimreflektovanimpobudnimsignalom,pa jerezultatt konvolucijejednaknuli.U intervalu−TT < t T preklapanje se postepenosmanjuje ipotpunoprestajeza t = 2TT . Rezultatt konvolucijeje prikazann na Slici 4.9.Primmjetimo da se odziv LTIsistemasa impulsnim odzivomkoji nije n jednak nulizat < 0 pojavioprijepobude.Slika 4.9Konvolucijasignalaa saSlike4.8.75

GLAVAA 4Primjer4.2:Impulsni odziiv LTIsistemadat jenaSlici4.10(a). Grafičkimm putemodreditiodzivnapobudni signal prikkazan naSlici 4.10(b)).Rješenje:Istimpostupkomkaou Primjeru4.1 dobijamosignalodzivadat na Slici4. 11. Budućidajeimpulsni odzivLTIsistema jednaknuli zat < 0 , odzivpočinjeod trenutkapobuđivanja sistema.(a)(b)Slikka 4.10(a)ImpulsniodzivkauzalnogLTI sisteemai (b) kauzalnaa pobuda.76

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenuSlika4. 11Konvolucijasignalaa saSlike4.10.Primmjer4.3:Za kauzalni LTI sistemdatt na Slicii 4. 12( (a)na pobuudni signnal prikazanna Slici 4.12(b)).grafičkimputemodreditiodziv(a)(b)Slika4. 12(a) Impulsni odzivkauzalnog LTIsistemai (b) pobudni signal.77

GLAVAA 4Rješenje:Primjetimoda se pobudni signalmožerazložitii na elementarnesignalex( ( t)= x1 ( t ) + x 2( t ) kaona Slici4. 13.Potražićemoodzivsistema koristećiprincipsuperpozicije.Graffičkimputemodredimopojedinačnekonvolucijeimpulsnogodzivasa pravougaonimimpulsimasaSlike4.13. Rezultatiovihkonvolucijasu datinaSlicii 4. .14(a,b).Primjetimoda je pravougaoniimpulsx2 ( t) pomjerena verzijapravougaonog impulsax 1( t ) pomnoženasa -1,tj.x 2 ( t) = −x 1 (t − T ) .Poznavajući konnvolucijuy 1 () t = h( t) ∗x1( t) , konvolucijuimpulsnogodziva ipravougaonogimpulsax2( t) smo moglidobitii koristeći principlinearnosti ivremenskeinvarijantnosti kaoy 2 () t = h ( t) ∗ x2 ( t )= − y1( t− T ). Na Slicii 4. 14( (c)dat jerezultatt konvolucijekaoy t = + yt .()y 1() t2()Slika4.13Razlaganjesignala x( t) napravougaoneimpulsex 1( t )i x2()t .78

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskom domenu(a)(b)(c)Slika 4.14(a) Konvolucija y1t = t ∗ x 1; (b) konvolucijay 2 ( t )= h()t ∗ x 2 ( ) i (c) konvolucijay () t = h ( t) ∗ x ( t) .2t( ) = h( )() t79

GLAVA 4U analizi i obradi signala posebno mjesto zauzima konvolucija proizvoljnogsignala sa Dirakovim impulsima. Posmatrajmo konvoluciju signala xt ()proizvoljnog oblika sa pomjerenim Dirakovim impulsom δ ( t− t 0 ). Na osnovudefinicionog izraza za konvoluciju:dobijamo da je:() = () ∗ () = ( ) ( − )∞y t x t h t x τ h t τ dτ, (4.27)−∞∞y() t = x() t ∗δ ( t− t ) = x( τ) δ ( t−t −τ)dτ. (4.28)0 0−∞Po svojstvu odabiranja Dirakove funkcije znamo da je:te je konvolucija (4.28) jednaka:( τ) δ( τ) ( ) δ( τ)x t−t − = x t−t t−t− , (4.29)0 0 0() = ( − ) ( − − )∞y t x t t δ t t τ dτ. (4.30)0 0−∞Integral Dirakovog impulsa od −∞ do ∞ jednak je jedinici, neovisno od togau koju tačku vremena je Dirakov impuls pomjeren. Dakle, konvolucija signalaxt () proizvoljnog oblika sa Dirakovim impulsom pomjerenim u tačku t0jednaka je signalu xt, () pomjerenom u tačku t 0:( ) ( ) δ ( ) ( )yt = xt∗ t− t = xt− t . (4.31)0 0Na Slici 4.15 ilustrovano je grafičko rješavanje konvolucije proizvoljnogsignala xt () sa pomjerenim Dirakovim impulsom ht () = δ ( t− t 0 ). Prilikomformiranja proizvoda x( τ) h( t− τ)za svaku vrijednost nezavisne varijable tdobijamo proizvod x( τ) δ( t−t 0− τ), koji je po svojstvu odabiranja Dirakovext−t δ t−t− τ . Konvolucija u tački t je jednaka površinifunkcije jednak ( ) ( )0 080

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(a)(b)(c)(d)(e)(f)Slika 4.15Konvolucijasignalaproizvoljnog oblikai pomjerenogDirakovogimpulsa:(a)signalproizvoljnogoblikai (b) impulsniodzivprikazaninaτ osi; (c)(reflektovanimpulsniodziv; ( d,e)pomjerenireflektovaniimpulsni odzivi i (f)rezultatkonvolucije.81

GLAVA 4koju proizvod xt ( t0) δ( t t0τ)udara Dirakove funkcije i iznosi xt ( − t 0 ), te je y() t x( t t 0 )− − − zatvara sa τ osom. Ta površina je jačina= − .Posmatrajmo sada konvoluciju proizvoljnog signala xt ()ponovljenim Dirakovim impulsima δ() t = δ( t−kT)k =−∞smo označili sa T . Znajući da je xt ( ) δ ( t kT) xt ( kT)linearni operator, dobijamo da je:∞sa periodično . Period signala δ () t∗ − = − i da je konvolucija∞ ∞ ∞() = () ∗ δ () = () ∗δ( − ) = () ∗δ( − ) = ( − )xt xt t xt t kT xt t kT xt kT .(4.32)k=−∞ k=−∞ k=−∞Dakle, konvolucijom proizvoljnog signala xt () sa periodično ponovljenimDirakovim impulsima dobijamo njegovo periodično proširenje:∞() = ( − )xt xt kT . (4.33)k =−∞Za ilustraciju je na Slici 4.16 prikazana konvolucija trougaonog impulsa saperiodično ponovljenim Dirakovim impulsima. Rezultat te konvolucije superiodično ponovljeni trougaoni impulsi sa istim periodom.4.3 Jedinični odskočni odziv LTI sistemaOsim impulsnim odzivom, sistem je potpuno određen ako poznajemo jediničniodskočni odziv, tj. odziv na jediničnu odskočnu funkciju u()t . Koristećikonvolucioni integral, jedinični odskočni odziv a()t dobijamo kao:∞() = () ∗ () = ( ) ( − ) = 1⋅ ( − )at ut ht uτ ht τ dτ ht τ dτ∞ . (4.34)−∞082

Analiza i obradaa kontinualnih signalaa u vremenskomdomenu(a)(b)(c)Slika4. 16 Konnvolucijasignalaa saa periodičnoo ponovljenim Dirakovimimpulsima: (a) signal x ( t); (b) povorkaDirakovih impulsa i(c) rezultatt konvolucije.Zakauzalnesistemejeh(t −ττ ) = 0 za τ > t , pa gornja granica integrala,umjesto∞ , posstajet :ta( ( t ) = h( ( τ )dτ.(4.35)−∞Dakle,jediničnodskočniodzivje jednakintegralu impulsnog odziva, doksee impulsni odziiv može pronaći kao k izvodjediničnogodskočnogodziva:da( t)h(t )= . (4.36)dt83

GLAVA 44.4 Osobine LTI sistemaVidjeli smo da se odziv kontinualnog LTI sistema na proizvoljnu pobudumože dobiti konvolucijom ulaznog signala i impulsnog odziva. Stoga možemoreći da je kontinualni LTI sistem u potpunosti okarakterisan svojim impulsnimodzivom h()t . Osnovne osobine sistema, koje smo analizirali u Glavi 3,sada ćemo posmatrati pod uslovom da je sistem linearan i vremenskiinvarijantan.4.4.1 LTI sistemi bez memorijePodsjetimo se da je sistem bez memorije onaj sistem kod koga izlaz u nekomtrenutku zavisi od vrijednosti ulaza samo u tom trenutku. Jedini način da ovobude tačno za LTI sisteme je da sistem bude opisan sa:() Kx()ty t= . (4.37)Impulsni odziv se definiše kao odziv sistema na pobudni signal u viduDirakovog impulsa x() t = δ () t , te je za LTI sisteme bez memorije impulsniodziv oblika:() δ ()ht = K t . (4.38)Na izlazu sistema bez memorije signal može biti samo pojačan ili oslabljen uodnosu na ulazni signal. Za K = 1 radi se o sistemu kod koga je impulsni odzivht () = δ () t , te je signal na izlazu ovog LTI sistema jednak signalu na njegovomulazu. Bilo koji LTI sistem sa drugačijim impulsnim odzivom je LTI sistem samemorijom.4.4.2 Invertibilnost LTI sistemaPosmatrajmo LTI sistem sa impulsnim odzivom () h t . Napomenimo da jesistem po definiciji invertibilan ako je moguće pronaći inverzni sistem koji, kad84

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenuse veže kaskadno sa originalnim sistemom, formira takav složeni sistem načijem je izlazu odziv jednak ulaznom signalu.Ako sa hI() t označimo impulsni odziv inverznog sistema, da bi LTI sistembio invertibilan mora da vrijedi:() () δ ()ht∗ h t = t . (4.39)IBudući da je pod ovim uslovom impulsni odziv kaskadne veze Dirakovimpuls:K() () () δ ()h t = h t ∗ h t = t , (4.40)Ia znamo da je konvolucija proizvoljnog signala sa Dirakovim impulsomjednaka tom signalu, zaključujemo da je odziv kaskadne veze jednak signalu naulazu u kaskadnu vezu sistema, koji je istovremeno ulazni signal u originalnisistem sa impulsnim odzivom h()t .4.4.3 Kauzalnost LTI sistemaKada smo uvodili koncept kauzalnosti rekli smo da je sistem kauzalan akoodziv zavisi samo od trenutne i prošlih vrijednosti signala na ulazu u sistem.Zbog toga kod kauzalnih LTI sistema gornja granica konvolucionog integrala:∞() = ( ) ( − )y t x τ h t τ dτ, (4.41)−∞ne smije da bude veća od vrijednosti nezavisne varijable t za koju se računavrijednost odziva, jer bi u suprotnom u računanju odziva učestvovale ix τ za τ > t , te je:vrijednosti pobudnog signala ( )t() = ( ) ( − )Smjenom t −τ → τ integral (4.42) se svodi na:y t x τ h t τ dτ. (4.42)−∞85

GLAVA 4∞() = ( ) ( − )Zaključujemo da će opšti izraz za konvoluciju:y t h τ x t τ dτ. (4.43)0∞() = ( ) ( − )y t h τ x t τ dτ, (4.44)−∞koji je ekvivalentan sa (4.41), postati jednak (4.43) samo ako je ht () = 0 zat < 0 , te je uslov kauzalnosti kontinualnih LTI sistema da njihov impulsniodziv bude jednak nuli za t < 0 .4.4.4 Stabilnost LTI sistemaSistem je stabilan ako ograničen pobudni signal proizvodi ograničen signalodziva. Da bismo odredili uslove pod kojima je LTI sistem stabilan,posmatraćemo LTI sistem sa impulsnim odzivom h()t na koji djelujeograničen pobudni signal. Kad kažemo da je signal ograničen onda postojineka pozitivna konstanta B

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenuVidimo da je impulsni odziv ovog LTI sistema apsolutno integrabilan pa jesistem stabilan, što je bilo i za očekivati jer je odziv ovog sistema na bilo kojuograničenu pobudu jednak pomjerenoj verziji pobude, dakle ograničen.Posmatrajmo sada sistem opisan sa:t() ( τ)y t = x dτ, (4.48)−∞koji nazivamo integrator. Da bismo pronašli impulsni odziv sistemapretpostavimo da je x() t = δ () t . Tada je odziv jednak impulsnom odzivu, štoje u ovom konkretnom slučaju jedinična odskočna funkcija:t() = () = δ ( τ) τ = ()y t h t d u t. (4.49)−∞Ispitujući apsolutnu integrabilnost impulsnog odziva dobijamo beskonačnuvrijednost, jer je integral jedinične odskočne funkcije signal nagiba r()t kojibeskonačno raste sa porastom vremena:∞ ∞ ∞( ) ( ) h τ dτ = u τ dτ = 1⋅ dτ=∞, (4.50)−∞te zaključujemo da se radi o nestabilnom LTI sistemu.−∞04.5 Opis LTI sistema diferencijalnim jednačinamaU cilju opisa sistema potrebno je fizičkim sistemima pridružiti parametre ivarijable relevantne za njegovo ponašanje, te uspostaviti relacije između njih.Veze između parametara i varijabli sistema, kao i relacije koje povezuju ulazne iizlazne signale, određuju se na osnovu prirodnih zakona ili eksperimentalno. Urealnim fizičkim sistemima za varijable biramo mjerljive veličine.Vidjeli smo da je kod LTI sistema odziv dat konvolucionim integralom.Dakle, relacije između ulaznih i izlaznih signala u sistemu se mogu opisatiintegralno-diferencijalnim jednačinama. U slučaju da signali u sistemu zavise87

GLAVA 4samo od jedne nezavisne varijable (vremena) to su obične diferencijalnejednačine. Sistemi čije varijable zavise od više nezavisnih varijabli (npr.mijenjaju se i u vremenu i u prostoru), opisuju se parcijalnim diferencijalnimjednačinama. Kod LTI sistema bez memorije diferencijalne jednačine se svodey t = Kx t.na algebarske, jer je kod ovih sistema () ()4.5.1 Jednačine stanjaPretpostavimo da je za opis ponašanja nekog sistema dovoljno poznavanje nfizičkih veličina koje ćemo označiti kao varijable stanja. U tom slučaju su sveostale veličine u sistemu, izuzev ulaznih signala, zavisne varijable. Pretpostavimoda sistem može da bude pobuđen sa m ulaznih signala (ulaznih varijabli) i daima l izlaznih signala, odnosno izlaznih varijabli. Vektor varijabli stanjaTx 1() t , x2() t , , xn() t ćemo označiti kao vektor stanja x () t , dok ćemoTvektore ulaznih e1() t , e2() t , , em() t i izlaznih signalaTy1() t , y2() t , , yl() t označiti sa e () t i y () t , respektivno. Svaki odelemenata ovih vekora je funkcija vremena kao nezavisne varijable. Sa T suoznačeni transponovani vektori.Relacije koje povezuju varijable stanja i ulazne varijable opisuju se skupomsimultanih diferencijalnih jednačina prvog reda, koje se označavaju kao sistemjednačina stanja. U matričnoj formi sistem jednačina stanja u vremenskomdomenu ima oblik:() = () + ()Dx t Ax t Be t , (4.51)pri čemu operator D označava prvu derivaciju, pa je Dx () t vektor prvihizvoda varijabli stanja, A kvadratna matrica stanja i B pravougaona matricakoeficijenata uz ulazne signale.Izlazne varijable sistema su određene matričnom jednačinom:() t = () t + () ty Cx De , (4.52)gdje su C i D matrice koje povezuju izlazne varijable sa varijablama stanja iulaznim varijablama. Elementi matrica A , B , C i D zavise od parametara i88

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenustrukturne šeme sistema. Ukoliko se radi o vremenski invarijantnim sistemima,elementi matrica A , B , C i D se ne mijenjaju u toku vremena. Ako je neki odelemenata ovih matrica funkcija ulaznog ili izlaznog signala, onda se radi onelinearnim sistemima.4.5.2 Opis LTI sistema diferencijalnim jednačinamavišeg redaZa obradu signala LTI sistemima posebno su važni sistemi sa jednim ulazom ijednim izlazom, jer prilikom rada sa složenijim sistemima koristimo principsuperpozicije. Stoga se nećemo zadržavati na analizi sistema metodamavarijabli stanja, već ćemo iz jednačina stanja odrediti relaciju koja povezujejedan izlazni signal yj() t sa jednim ulaznim signalom ek() t . Gledanomatematički, sistem od n simultanih diferencijalnih jednačina (4.51) prvog redasvodimo na jednu diferencijalnu jednačinu n-tog reda sa konstantnimkoeficijentima:() ()() ()nmd yj t dyj t d ek t dektan + + an1+ a0yj()t = bm + + bm1+ b0ek() t . (4.53)dt dt dt dtPri tome koristimo i jednačine (4.52) koje povezuju izlazne varijable savarijablama stanja i pobudama. Uobičajena notacija pri radu sa varijablamastanja je da se sa xi() t označavaju varijable stanja, tj. elementi vektora stanjax () t , a sa ei() t pobudni signali (eksitacije), dok se pri analizi sistema sa jednimulazom i jednim izlazom sa xt () obično označava ulazni, a sa y()t izlaznisignal signal. Zbog toga ćemo u daljnjem izlaganju, kada budemo koristili opissistema diferencijalnim jednačinama višeg reda, koristiti sljedeći oblik:() ()() ()nmd y t dy t d x t dx tn+ +n1+0 () =m+ +m1+0a a a y t b b b x t . (4.54)dt dt dt dtSažeti oblik diferencijalne jednačine (4.54) se može zapisati sa:n kkd ym() t d x()tak= bk k. (4.55)kdtk= 0 k=0dt()89

GLAVA 4U literaturi se koristi i zapis diferencijalne jednačine (4.54) sa operatorimakD kojima se označava k -ta derivacija, pa se diferencijalna jednačina (4.54)može zapisati u obliku:−() ()n n−1 m m 1aDn+ an−1D + + aD1+ a 0 y t = bmD + am−1D + + bD1+ b 0x t . (4.56)Koeficijenti aki b ksu povezani sa vrijednostima elemenata matrica A , B ,C i D jer se diferencijalna jednačina (4.54) može izvesti iz sistema jednačina(4.51) i (4.52). Ako su koeficijenti a ki b kkonstante, radi se o linearnimvremenski invarijantnim sistemima. Ako neki od ovih koeficijenata zavisi odvremena, onda se ponašanje sistema u toku vremena mijenja, te oblik izlaznogsignala ne zavisi samo od oblika ulaznog signala, već i od trenutka pobuđivanjasistema, te kažemo da je sistem vremenski zavisan. Ako postoji neki koeficijentu jednačini (4.54) koji je funkcija ulaznog ili izlaznog signala, onda je tadiferencijalna jednačina nelinearna, te se radi o nelinearnim sistemima.Diferencijalna jednačina (4.54) je nehomogena jer je njena desna stranarazličita od nule. Desna strana (4.54) je funkcija pobude, koja u opštem slučajusadrži ulazni signal xt () i njegove derivacije do m -tog reda. Uslov fizičkeostvarljivosti sistema je da je n≥ m.Kod LTI sistema bez memorije svi koeficijenti osim a0i b 0su jednaki nuli,te se linearna diferencijalna jednačina (4.54) svodi na algebarsku jednačinu:b0y() t = x() t = Kx()t , (4.57)a0tako da je određivanje odziva u ovakvim sistemima jednostavno. Realnekauzalne LTI sisteme sa memorijom analiziramo u konačnom vremenskomintervalu, koji je ograničen početnim trenutkom t 0kada počinje pobuda ikrajnjim trenutkom t , koji može biti promjenljiv ako želimo da odredimoponašanje sistema u bilo kom trenutku vremena nakon početnog trenutkaposmatranja t 0.Postupak traženja odziva LTI sistema sa memorijom svodi se na traženjerješenja nehomogene linearne diferencijalne jednačine n-tog reda sakonstantnim koeficijentima, čiji je opšti oblik dat u formi (4.54-4.56). Odziv sesastoji od rješenja odgovarajuće homogene diferencijalne jednačine i90

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenupartikularnog dijela, a za kompletno rješavanje neophodno je specificirati ipočetne uslove u nekom trenutku vremena.Rješenje homogene diferencijalne jednačine:nd y tn n() dy()ta + + a1 + a0y t = 0 , (4.58)dtdtkoje se naziva sopstveni odziv sistema, je linearna kombinacija svih njenihpartikularnih rješenja. Svaku homogenu linearnu diferencijalnu jednačinu sastkonstantnim koeficijentima će zadovoljiti funkcija oblika e , s∈ .Uvrštavanjem ovog pretpostavljenog rješenja u (4.58) dobijamo:−1( n n−)()as a s as a e . (4.59)n n st+1+ +1+0= 0Vrijednosti s∈ za koje je jednačina (4.59) zadovoljena dobijaju iz:nn−1asn+ an−1s + + as1+ a0 = 0 . (4.60)Jednačina (4.60) se zove karakteristična jednačina sistema, a kompleksneučestanosti s∈ koje je zadovoljavaju zovu se sopstvene učestanosti sistema.Budući da je karakteristična jednačina n–tog reda, postoji ukupno n korijenakarakteristične jednačine s = pi, i= 1,2, , n, odnosno n sopstvenihučestanosti. Kada su sve sopstvene učestanosti različite, pojedinačna rješenjahomogene diferencijalne jednačine (4.58) su:pt 1 p2t() () ()pnty t = K e , y t = K e , , y t = K e . (4.61)1 1 2 2Opšte rješenje homogene diferencijalne jednačine je:gdje suis()nnn= ipt i, (4.62)i=1y t K eK konstante koje zavise od početnih uslova.U slučaju višestrukih korijena izrazi postaju složeniji. Pretpostavimo da jekorijen karakteristične jednačine p1reda r , tj. p1 = p2 = = pr. Tada se možepokazati da su pojedinačna rješenja homogene diferencijalne jednačine vezanaza ovu sopstvenu učestanost oblika:r−1 r−2() , () , , () , ()y t = K t e y t = K t e y t = K te y t = K e . (4.63)p 1 t p1 1 2 2 1 t p1 11 t p 1 tr−r−r r91

GLAVA 4Opšti oblik sopstvenog odziva je u ovom slučaju:rns i ii= 1 i= r+1r i pt 1pt i() = − + . (4.64)y t Kt e K eUkoliko postoji više višestrukih sopstvenih učestanosti, za svaku od njih seformira po jedna suma na način kao što je rađeno za višestruki korijen p 1u(4.64).Sopstveni odziv može da bude potaknut pobudom, ali on postoji i kada jepobudna funkcija jednaka nuli, jer predstavlja rješenje homogene diferencijalnejednačine. Sopstveno rješenje opisuje razmjenu energije u sistemu koja seodvija bez uticaja vanjske pobude u smislu da vanjska pobuda ne utiče na obliksopstvenog odziva. Pojam "sopstveno" potiče od činjenice da njegoveikomponente Ke p tiosciluju isključivo sopstvenim učestanostima pi, kojezavise samo od strukturne šeme i parametara sistema a ne od vanjske pobude.Vidjećemo kasnije da jedino konstante K isopstvenog rješenja zavise odpobudnog signala i zatečenog stanja, odnosno akumulisane energije u trenutkupobuđivanja sistema.Prinudni odziv sistema je partikularni dio rješenja nehomogene diferencijalnejednačine koji zavisi od pobude. Taj partikularni dio odziva se pronalazi takoda se pretpostavi rješenje u vidu linearne kombinacije članova koji se pojavljujus desne strane diferencijalne jednačine. Pri tome su koeficijenti linearnekombinacije nepoznati i određuju se uvrštavanjem pretpostavljenog rješenja unehomogenu diferencijalnu jednačinu. Kada se radi sa složenim oblicimaeksitacije, kod LTI sistema nema potrebe da se određuje partikularno rješenjena ovaj način. Dovoljno je pronaći impulsni odziv sistema, pa odziv naproizvoljnu pobudu odrediti kao konvoluciju pobudnog signala i impulsnogodziva.Kompletan odziv jednak je zbiru sopstvenog i prinudnog odziva. U slučajurazličitih sopstvenih učestanosti kompletan odziv je jednak:n i p. (4.65)i=1pt i() = + ()yt Ke y tKod stabilnih sistema prvi član iščezava tokom vremena i u sistemu seuspostavlja ustaljeno stanje kada je odziv jednak prinudnom odzivu. Zbog togakažemo da prvi član opisuje prelazni proces. Ako je pobuda konstanta ili92

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenuprostoperiodična (trajna) funkcija, ustaljeno stanje se često naziva stacionarnostanje.Kako bi odziv bio jednoznačno određen, neophodno je odrediti konstanteKi. One se mogu odrediti iz sistema od n jednačina koje se dobijuderiviranjem rješenja (4.65) n puta i uvrštavanjem poznatih vrijednostikompletnog i partikularnog odziva, kao i njihovih izvoda u trenutkupobuđivanja sistema t 0. Radi jednostavnosti, gdje god to priroda problemadopušta, uzima se da je t 0= 0 . Budući da rješenje (4.65) vrijedi za t ≥ 0+,njegovim deriviranjem n puta i uvrštavanjem t = 0+, formiramo sistem od nalgebarskih jednačina:( 0 ) ( 0 )y − y = Kdydt+ p +p( 0 ) ( 0 )i=1i=1n−1n−1nypn−11( 0 )1( 0 ) i i,n +− p Kn +=−− dtpi=1ddtndy− =dt+ +dynipKii(4.66)iz kojih je moguće odrediti n konstanti K i. Vidimo da je za pronalaženjeodziva neophodno poznavanje vrijednosti odziva neposredno nakonidydovođenja eksitacije, tj. vrijednosti ( 0 ), i 0,1, , n 1i += − . Dakle, potrebnodtje pronaći način kako iz poznatih vrijednosti odziva u trenutku t = 0−neposredno prije pobuđivanja sistema odrediti početne vrijednosti odziva utrenutku t = 0+. U slučaju kada su odzivi i sve njihove derivacije kontinualnei i idy dy dyfunkcije, rješenje je jednostavno jer je ( 0 ) ( 0 ) ( 0i −=i +=i), zadt dt dti = 0,1, , n−1. Kod neregularnih komutacija, kod kojih ovo nije uvijekzadovoljeno, problem se usložnjava i nećemo ga razmatrati u vremenskomdomenu, jer se lakše rješava u domenu Laplasove transformacije, što ćemovidjeti u Poglavlju 7.Iz ovako postavljenog sistema (4.66) se jasno vidi da konstante Kizavise odrazlike početnih vrijednosti kompletnog i prinudnog odziva i njihovihderivacija u trenutku = 0 . U specijalnom slučaju, kada jet+93

GLAVA 4iidy dyp( 0 ) ( 0 ), 0,1, , 1i += i ni += − , prelaznog procesa nema jer su svedt dtpkonstante Kijednake nuli i ustaljeno stanje se uspostavlja odmah nakondovođenja pobude. Možemo posmatrati još dva specijalna slučaja. Prvi je kadasu sve početne vrijednosti odziva i njegovih derivacija jednake nuli,idy( 0)= 0, i= 0,1, , n−1. Tada kažemo da se radi o sistemu bez akumulisaneidtenergije. Konstante Kii sopstveni odziv zavise samo od partikularnog rješenja,odnosno same pobude. Drugi specijalan slučaj je kada je sistem nepobuđen.Desna strana diferencijalne jednačine je tada jednaka nuli, što znači da je iidyppartikularno rješenje jednako nuli, te je ( 0 ) 0, i 0,1, , n 1i += = − . U ovomdtslučaju konstante Kii sopstveni odziv zavise samo odidy( 0)= 0, i= 0,1, , n−1, tj. od akumulisane energije zatečene u sistemu uidtpočetnom trenutku posmatranja.Označimo sa K0ikonstante koje se dobiju kada jeidyp( 0 ) 0, i 0,1, , n 1i += = − (nepobuđen sistem, sopstveni odziv zavisi samodtod akumulisane energije), a sa K pikonstante koje se dobiju kada jeidy( 0)= 0, i= 0,1, , n−1(akumulisana energija jednaka nuli, sopstveni odzividtzavisi samo od pobude). Po principu superpozicije vrijedi da je Ki = K0i + Kpi.Kompletan odziv u slučaju različitih sopstvenih učestanosti se tada možeprikazati u obliku:nnpt iptiy() t = K0ie + Kpie +yp()t, (4.67) i= 1 i=1 gdje dvije sume u zagradi predstavljaju sopstveni odziv, a yp() t je prinudniodziv sistema. Drugačijim grupisanjem ukupan odziv se može prikazati i uobliku:94

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenunny t K e K e y t y t y ti= 1 i=1pt ipt i() = 0i + pi+p() = a() +e(), (4.68)tj. kao zbir odziva na akumulisanu energiju, koji je dat prvom sumom i odzivasistema bez akumulisane energije, koji se sastoji od sopstvenog i prinudnogodziva na eksitaciju (grupisani u zagradi).Oblici sopstvenog odzivaSopstvene učestanosti su u opštem slučaju kompleksni brojevi pk = σk+ jΩ k.Ako se radi o realnim vrijednostima p k= σ k, odgovarajući članovi uksopstvenom odzivu su oblika Ke σ tk, dok su za kompleksne sopstvene( σ k + jΩk ) t σ ktučestanosti ti članovi jednaki Kek= Kek ( cosΩ kt+ jsinΩkt). Da biopšte rješenje za sopstveni odziv bilo realna funkcija vremena, sopstveneučestanosti moraju da se pojavljuju u konjugovano kompleksnim parovima ikonstante, koje stoje uz njih, takođe moraju da budu konjugovanokompleksne. To lako zaključujemo posmatrajući zbir dva člana sopstvenogodziva koji osciluju konjugovano kompleksnim sopstvenim učestanostima:( σ + jΩ ) t − ϕ ( σ − jΩ) t*pt k * pt k jϕk k k j k k kk k k kKe + Ke = K e e + K e e =j( Ω kt+ ϕk) − j( Ω kt+ϕk)( )= + =σ ktKke e e( t ϕ )σ kt= 2 K e cos Ω + ,k k k(4.69)gdje smo koristili prikaz kompleksnih konstanti u polarnom koordinatnomj ksistemu: Kk= Kke ϕ* j ki Kk= Kke − ϕ . Primjer rasporeda sopstvenihučestanosti u kompleksnoj s ravni dat je na Slici 4.17.Ako je realni dio σ kneke sopstvene učestanosti pk = σk+ jΩ kpozitivan,pt k ( σ k + jΩk) t σ ktčlan sopstvenog odziva e = e = e ( cosΩ kt + jsinΩkt)sa porastomvremenske varijable t poprima beskonačno veliku vrijednost, te je sistemnestabilan. Par jednostrukih konjugovano kompleksnih sopstvenih učestanosti*pk= jΩ ki pk=−jΩ kkoje se nalaze na imaginarnoj osi generišu u sopstvenomodzivu prostoperiodične oscilacije 2 Kk cos( Ωkt+ ϕk)sa konstantnomamplitudom. Sistem je stabilan, ali se nalazi na granici stabilnosti.95

GLAVA 4jΩs-ravanxxxxxxxσSlika 4.17 Primjer rasporeda sopstvenih učestanosti u kompleksnoj s ravni.Međutim, ako su korijeni na imaginarnoj osi višestruki (reda r+ 1, r≥ 1), onirće u sopstvenom odzivu generisati članove oblika t cos( Ω t+ ϕ ) kojineograničeno rastu sa porastom vremena. Prema tome, sistem sa korijenima naimaginarnoj osi je stabilan samo ako su ti korijeni jednostruki.Primjer 4.4:Odrediti sopstveni odziv sistema kod koga su ulaz i izlaz vezani relacijomdy()t+ 2yt() = xt (), ako je pobuda jedinična odskočna funkcija x() t = u()t , adty 0+ = y .početni uslov dat sa ( ) 0Rješenje:Data relacija na implicitan način opisuje odziv sistema. Kako bismo dobiliizlazni signal kao funkciju ulaznog signala, moramo riješiti nehomogenudiferencijalnu jednačinu:96

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenu()dy t+ 2yt() = xt (). (4.70)dtZnamo da se rješenje diferencijalne jednačine sastoji od homogenog ipartikularnog dijela, koji predstavljaju sopstveni ys() t i prinudni yp() t dioodziva:() = () + (). (4.71)y t y t y tsPartikularno rješenje je istog oblika kao pobuda i mora da zadovoljavanehomogenu diferencijalnu jednačinu. Za t < 0 pobuda je jednaka nuli, desnastrana diferencijalne jednačine je nula, pa je i prinudni odziv jednak nuli. Zat ≥ 0+pretpostavljamo prinudni odziv obliku konstante yp()t = Kp, tako danakon uvrštavanja pretpostavljenog rješenja u nehomogenu diferencijalnujednačinu dobijamo:12Kp= 1 Kp= . (4.72)2Partikularno rješenje, odnosno prinudni odziv je:1yp() t = u()t . (4.73)2Sopstveni odziv y () t je rješenje homogene diferencijalne jednačine:s()dy t+ 2yt() = 0. (4.74)dtSopstveni odziv pretpostavljamo u obliku:sts ()py t = Ke , (4.75)pa nakon njegovog uvrštavanja u homogenu diferencijalnu jednačinudobijamo:Karakteristična jednačina ovog sistema je:( )st st stKse + 2Ke = Ke s + 2 = 0. (4.76)97

GLAVA 4s + 2= 0, (4.77)čije rješenje daje sopstvenu učestanost s =− 2 .Sopstveni odziv je:Kompletan odziv je:2ts ()y t = Ke − . (4.78)−2t1() , 0y t = Ke + t ≥+. (4.79)2Konstantu K određujemo iz početnog uslova na sljedeći način:1 1y( 0+ ) = K + = y0 K = y0− . (4.80)2 2Konačno, kompletan odziv sistema je: 1−2t1y() t = y0− e + , t ≥ 0+. (4.81) 22Pri tome je prelazni proces dat sopstvenim odzivom: 1 −2tys() t = y0− e , t ≥0+, (4.82) 2 koji vremenom iščezava. Po završetku prelaznog procesa nastupa ustaljenostanje jednako prinudnom odzivu. Iako teorijski gledano prelazni procesprestaje tek nakon beskonačno dugo vremena, mi možemo smatrati da jenakon dovoljno dugo vremena vrijednost sopstvenog odziva jako mala, te je:1y() t ≈ yp() t = . (4.83)2Kad bi ovaj sistem bio nepobuđen, njegov odziv bi bio jednak odzivu naakumulisanu energiju:−2()tyat = y0 e , t ≥ 0. (4.84)S druge strane, da je početni uslov jednak nuli, odziv bi bio jednak odzivusistema bez akumulisane energije:98

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenu1 2() ( 1− tyet = −e ) , t ≥ 0+. (4.85)24.5.3 Određivanje impulsnog odziva iz diferencijalnejednačine LTI sistemaPodsjetimo se da impulsni odziv predstavlja odziv sistema na pobudu u vidujedinične impulsne funkcije. Prilikom određivanja bilo koje karakterističnefunkcije sistema, pa tako i impulsnog odziva, svi početni uslovi se postavljajuna nulu, jer karakteristike sistema ne zavise od trenutno zatečene akumulisaneenergije.Kako bismo odredili impulsni odziv LTI sistema opisanog diferencijalnomjednačinom, pretpostavimo da je desna strana diferencijalne jednačine opštegoblika:() ()() ()nmd y t dy t d x t dx tn+ +n1+0 () =m+ +m1+0a a a y t b b b x t (4.86)dt dt dt dtjednaka x0() t , pa potražimo rješenje nehomogene diferencijalne jednačine datesa:n−1() () ()nd y t d y t dy tn+n n−1 + +n−11+0=0() ()a a a a y t x t , (4.87)dt dt dtako je pobudni signal x0() t = δ () t i pri nultim početnim uslovima. Partikularnorješenje je jednako nuli, jer je za x0() t = δ () t desna strana diferencijalnejednačine jednaka nuli za t ≥ 0+. Kompletno rješenje je jednako rješenjuhomogene diferencijalne jednačine i za slučaj različitih sopstvenih učestanostiima oblik:npt ih0() t = Kei, t ≥0+. (4.88)i=1Budući da je pobuda jedinična impulsna funkcija i da su početni uslovi jednakinuli, kompletan odziv (4.88) možemo posmatrati kao impulsni odziv nekog()99

GLAVA 4sistema opisanog diferencijalnom jednačinom (4.87). Uveli smo oznaku h0() tkako bismo ovaj impulsni odziv razlikovali od impulsnog odziva posmatranogsistema koji je opisan diferencijalnom jednačinom (4.86). Posmatrani sistemopisan sa (4.86) se od sistema opisanog sa (4.87) razlikuje samo po načinu kakose formira pobudna funkcija (desna strana diferencijalne jednačine). Zamd x() t dx()tx0()t = bm+ + bm1+ b0x()t ove dvije diferencijalne jednačinedtdtpostaju jednake. To znači da je odziv sistema (4.87) na pobudumd δ() t dδ()tx0()t = bm+ + bm1+ b0δ() t jednak odzivu sistema (4.86) nadtdtpobudu x() t = δ () t . Budući da smo odredili h0() t kao odziv sistema (4.87) najediničnu impulsnu funkciju, impulsni odziv posmatranog sistema opisanog sa(4.86), na osnovu osobine linearnosti, pronalazimo kao linearnu kombinacijuodziva h () t i njegovih derivacija:0() ()md h0 t dh0tht () = bm+ + b1 + bh0 0 () t, t≥0m+. (4.89)dtdt4.6 Odziv LTI sistema na kompleksnueksponencijalnu pobuduPraćenje ponašanja sistema prilikom pobude kompleksnim eksponencijalnimsignalima omogućava sagledavanje karakteristika sistema u frekvencijskomdomenu. Posmatranje karakteristika sistema u frekvencijskom domenu veomaje važno pri analizi i obradi, a posebno pri filtriranju signala, pa su razvijene iposebne metode projektovanja filtara na osnovu zahtjeva koji se postavljaju ufrekvencijskom domenu. Pored toga, u poglavljima koja slijede, vidjećemo dase široka klasa signala može predstaviti linearnom kombinacijom elementarnihkompleksnih eksponencijalnih signala. Osobina linearnosti konvolucije namomogućava da odzive na signale složenih oblika pronađemo kao linearnukombinaciju odziva na elementarne kompleksne eksponencijalne signale.100

Analiza i obrada kontinualnih signala u vremenskom domenu4.6.1 Funkcija prenosa LTI sistemaPretpostavimo da je pobuda linearnog, vremenski invarijantnog sistemastkompleksna eksponencijalna funkcija data sa xt () = e . Pod tim uslovom odzivsistema je jednak:∞ ∞ ∞st ( − ) s styt () h( ) xt ( ) d h( ) e τ− τ= τ − τ τ = τ dτ = h( τ) e dτe,∀t−∞ −∞ −∞Definišimo funkciju prenosa sistema sa: . (4.90)∞−s( ) ( τ) H s = h e τ dτ. (4.91)stTada je odziv LTI sistema na pobudu oblika xt () = e dat sa:−∞() H( s) esty t= , (4.92)što znači da je istog oblika kao pobuda, samo korigovan funkcijom prenosa usmislu da je pomnožen konstantom H ( s ) i fazno pomjeren za arg H ( s ).Pobudna funkcija za koju LTI sistem ima odziv istog oblika kao pobuda nazivase sopstvena funkcija sistema. Vrijednosti H ( s ) i arg H ( s ) ovise o kompleksnojučestanosti s , što znači da će sistem na različite načine modifikovati pobudekoje imaju oblik kompleksne eksponencijalne funkcije, ali su različitihkompleksnih učestanosti.4.6.2 Frekvencijske karakteristike LTI sistemaUkoliko linearni vremenski invarijantan sistem pobudimo prostoperiodičnomj teksponencijalnom funkcijom datom sa xt () = e Ω , odziv je jednak:yt ( ) = h( τ) xt ( − τ) dτ = h( τ)e dτ = h( τ)e dτe−∞ −∞ −∞∞ ∞ ∞jΩ( t− τ )− jΩτjΩt . (4.93)Ako definišemo frekvencijsku karakteristiku LTI sistema sa:101

GLAVA 4∞j( ) ( τ) − ΩH Ω = h e τ dτ, (4.94)−∞lako uočavamo da je odziv takođe prostoperiodična eksponencijalna funkcijaiste učestanosti kao pobuda:j ty() t = H( Ω ) e Ω . (4.95)Modul H ( Ω ) je amplitudna karakteristika, dok je ( )arg H Ω faznakarakteristika sistema. Amplitudna karakteristika nam ukazuje na to kako ćesistem modifikovati amplitudu prostoperiodičnih signala različitih učestanosti,dok nam fazna karakteristika govori o tome kako će signal na izlazu biti faznopomjeren u odnosu na ulazni signal. To postaje jasnije ako posmatramopobudu u obliku x() t = cosΩ 0t. Budući da pobudni signal možemo napisatikao:odziv će biti jednak:()xtjΩ0t − jΩ0te + e= , (4.96)21 jΩ0t 1− jΩ0ty() t = H( Ω0) e + H( −Ω0)e =2 21 ( Ω ) 1( −Ω )= H( Ω ) e e + H( −Ω ) e e2 2jargH 0 jΩ0t jargH 0 − jΩ0t0 0Kod impulsnih odziva koji su realne funkcije vremena, vrijedi da je:.(4.97)*H ( )∞jΩthte ( ) dt−∞Ω = , (4.98)∞H −Ω = hte dt. (4.99)jΩt( ) ( )Iz prethodnih jednakosti jasno slijedi da je:−∞Zbog toga je:H*( ) H ( )−Ω = Ω . (4.100)102

GLAVA 4Ako posmatramo autokorelaciju, njena vrijednost je najveća u nuli, jer se tadprije računanja integrala sve vrijednosti signala kvadriraju. Kako bismo dokazalida je vrijednost autokorelacije najveća u nuli, pođimo od Švarcovenejednakosti:1 1∞ ∞ 2 ∞2 ∗2 2 x1 () t x2() t dt ≤ x1() t dt ⋅ x2()t dt (4.107)−∞ −∞ −∞i primijenimo je na autokorelaciju:1 1∞ ∞22 ∞22 *Rxx() t = x ( τ) x( t+ τ) dτ ≤ x( τ) dτ ⋅ x( t+ τ)dτ=−∞ −∞ −∞∞∞2*( τ) τ ( τ) ( τ) τxx ( )= x d = x x d = R−∞−∞0 ,(4.108)jer pomjeranje signala duž vremenske ose ne utiče na vrijednost integrala kojise računa od −∞ do ∞ . Dakle, vrijedi da je:xx() ( 0)R t ≤ R . (4.109)xxZbog ove osobine, korelacija se često koristi za prepoznavanje uzoraka, tj. zadetekciju signala poznatog oblika u nepoznatom signalu. Prilikom prevlačenjauzorka preko nepoznatog signala, ukoliko se u ispitivanom signalu naiđe na diokoji je istog ili sličnog oblika kao uzorak, vrijednost korelacije u tom trenutkupostaje znatno veća nego u trenucima kad ne postoji sličnost signala.Korelacija odgovara površini ispod proizvoda dva signala, pri čemu se jedanod njih pomjera u vremenu. Za razliku od konvolucije, pri računanju korelacijese ne radi refleksija signala. Veza korelacije i konvolucije se može iskazati nasljedeći način:∗() () () ( ) ( )∞Rxst = x t ⊗ s t = x θ s t+ θ dθ=−∞θ→−τ. (4.110)∞∗( τ) ( τ) τ ( ) ( )∗= x − s t− d = x −t ∗s t−∞Na Slici 4.18 dat je primjer korelacije signala.104

Analiza i obradaa kontinualnih signala u vremenskom domenuSlika4.18Korelacija signala.1051