Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

Приклад 1.3. Показати, що при n → ∞ послідовність⎧710 3n + 4 ⎫3⎨ , ,... ,... ⎬ має границю .⎩35 2n + 1 ⎭2Розв’язанняСкористуємось визначенням 1.3.Побудуємо а 3 3n + 4 3 5− = − = . Визначимо, при якому значенніn виконується нерівність < ε . Розв’язуючи цю нерівність,n2 2n + 1 2 2( 2n + 1)52( 2n +1)5 13отримаємо n > − . Наприклад при ε = 0,1 нерівність a n− < ε виконуєтьсяпри n > 12.4ε22До поняття числової послідовності ми ще повернемось при вивченнітеми «Ряди». Методи пошуку границь числових послідовностей цілкомспівпадають з методами пошуку границь неперервних змінних, що будутьрозглянуті в наступних розділах.1.2 Границя змінної величиниЯкщо змінна величинаnx n, товона є дискретною змінною. І границю такої змінної знаходять за визначенням1.3.Якщо змінна величина x набуває усіх числових значень деякого скінченогопроміжку X, то вона є неперервною змінною.х пробігає значення послідовності { }Визначення 1.5. Число x 0 називають границею змінної x, якщо длядовільного числа ε > 0 існує таке значення х’, починаючи з якого для усіхнаступних значень x виконується нерівність x x < ε , і пишуть− 0lim x = x 0 , або х → х0.Визначення 1.6. Якщо для довільного числа М>0 існує таке значеннях’, починаючи з якого усі наступні значення x задовольняють нерівністьх > M , то кажуть, що змінна х прямує до нескінченності і пишутьlim x = ∞, абох → ∞ .Таку змінну називають нескінченно великою змінною.Зауваження. З виразом ∞ не можна поводитись, як з числом, це –лише символ, який характеризує певну змінну величину.9